湖北省武汉市新洲第三中学2021年高三数学文模拟试题含解析

湖北省武汉市新洲第三中学2021年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知直线ax+y﹣1=0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2=1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（）A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【解答】解：由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r?sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，直角三角形中的边角关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．2.已知复数满足是虚数单位，则的虚部为（

）A． B． C． D．参考答案：考点：1.复数的概念；2.复数的四则运算.3.若函数（，，）在

一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.幂函数的图象经过点，则的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B5.已知长方体中，，为的中点，则点到平面的距离为A．1

B．

C．

D．2参考答案：A略6.集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{2，3} C．{3，4} D．{4，5}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，则A∩B={1，2}．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法以及交集的定义与应用问题，是基础题目．7.如右图所示，是圆上的三点，的延长线与线段交于圆内一点，若，则

(

)

A． B．C． D．参考答案：C略8.已知：，则的大小关系为（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：C略9.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则A.{5，7}

B.{2，4}

C.{2,4,8}

D.{1,3,5,7}参考答案：B10.设是等差数列，则这个数列的前6项和等于

（A）12（B）24（C）36（D）48参考答案：答案：B解析：是等差数列，

∴，则这个数列的前6项和等于，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.根据以上事实，可猜想下式横线处应填的值为

.

参考答案：12.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时（电台每隔一小时报一次时），求他等待的时间不多于10分钟的概率．参考答案：【考点】几何概型．【分析】由电台整点报时的时刻是任意的知这是一个几何概型，电台整点报时知事件总数包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，两值一比即可求出所求．【解答】解：设A={等待的时间不多于10分钟}…事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式可得…即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为…13.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是

．参考答案：乙（1）根据“甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小”可得：丙是体委；

（2）根据“丙的年龄比学委的大，体委比乙年龄小”可得：乙＞丙＞学习委员，由此可得，乙不是学习委员，那么乙是班长．

答：班长是乙．

故答案为：乙．【点睛】此题关键是根据题干中体委与甲和乙的年龄关系，得出，体委是丙．然后才能根据丙与乙和学委的年龄关系得出，乙不是学委，从而得出乙是班长．14.复数(是虚数单位)的模为

．参考答案：15.已知为坐标原点，点，点满足条件，则的最大值为_____________。参考答案：16.

如图，正四面体各棱长均为1，分别在棱上，且，则直线与直线所成角的正切值的取值范围是

参考答案：17.已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.参考答案：z＝，|z|＝||＝＝＝.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分14分）已知定点A(0，)(>0)，直线

：交轴于点B，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C．(I)求动点C的轨迹E的方程；(Ⅱ)设倾斜角为的直线过点A，交轨迹E于两点P、Q，交直线于点R．(1)若tan=1，且ΔPQB的面积为，求的值；(2)若∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．参考答案：解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l1，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴点C的轨迹是以A为焦点，l1为准线的抛物线，

∴轨迹E的方程为x2=4ay

…(4分)

(Ⅱ)直线l2的方程为y=kx+a，与抛物线方程联立消去y得

x2-4akx-4a2=0．记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2=4ak，x1x2a2<0.

…………(6分)(1)若tanα=1,即k=1,此时x1+x2=4a,x1x2=-4a2.∴SΔBPQ=SΔABP+SΔABQ=a|x1|+a|x2|=a|x2-x1|=a=a=a=4a2.

……(8分)∴4a2=，注意到a>0,∴a=

…(9分)(2)因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为(,-a).

……(10分)|PR|·|QR|=·＝（x1+，y1+a）·（x2+，y2+a）

=（x1+）（x2+）+（kx1+2a）（kx2+2a）

=(1+k2)x1x2+(+2ak)(x1+x2)++4a2

=-4a2(1+k2)+4ak(+2ak)++4a2

=4a2(k2+)+8a2≥8a2+8a2=16a2又α∈[,],∴k∈[,1],当且仅当k2=,即k=1时取到等号．

……(12分)从而|PR|·|QR|的最小值为16a2.

……(14分)略19.（本小题满分13分）

一口袋中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个大相同的小球，现从口袋中一次随机抽取两球，每个球被抽到的概率是相等的，用符号（）表示事件“抽到的两球的编号分别为”。

（Ⅰ）总共有多少个基本事件？用列举法全部列举出来；

（Ⅱ）求所抽取的两个球的编号之和大于6且小于10的概率。

参考答案：解：（Ⅰ）共有21个基本事件.…………2分具体为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1,7），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（3,7），（4,5），（4,6），（4,7），（5,6），（5,7），（6,7）………7分（Ⅱ）记“所抽取的两个球的编号之和大于6且小于10的概率”为事件A.

则事件A为“且，其中”，

由（Ⅰ）可知，事件A包含以下9个基本事件：（1,6），（1,7），（2,5），（2,6），（2,7），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5）.………10分

所以

…………………13分略20.某地区进行疾病普查，为此要检验每一人的血液，如果当地有N人，若逐个检验就需要检验N次，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k个人，把这个k个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k个人的血液全为阴性，因而这k个人只要检验一次就够了，如果为阳性，为了明确这个k个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k个人再逐个进行检验，这时k个人的检验次数为k+1次.假设在接受检验的人群中，每个人的检验结果是阳性还是阴性是独立的，且每个人是阳性结果的概率为p.（Ⅰ）为熟悉检验流程，先对3个人进行逐个检验，若，求3人中恰好有1人检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）设为k个人一组混合检验时每个人的血需要检验的次数.①当，时，求的分布列；②是运用统计概率的相关知识，求当k和p满足什么关系时，用分组的办法能减少检验次数.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①见解析，②当时，用分组的办法能减少检验次数.【分析】（Ⅰ）根据独立重复试验概率公式得结果;（Ⅱ）①先确定随机变量，再分别计算对应概率，列表可得分布列，②先求数学期望，再根据条件列不等式，解得结果.【详解】（Ⅰ）对3人进行检验，且检验结果是独立的，设事件：3人中恰有1人检测结果阳性，则其概率

（Ⅱ）①当，时，则5人一组混合检验结果为阴性的概率为，每人所检验的次数为次，若混合检验结果为阳性，则其概率为，则每人所检验的次数为次，故的分布列为

②分组时，每人检验次数的期望如下∴不分组时，每人检验次数为1次，要使分组办法能减少检验次数，需即所以当时，用分组的办法能减少检验次数.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.21.几何证明选讲：如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相交于点，为上一点，且．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求的长．参考答案：解：（Ⅰ）∵,∴∽,∴……2分又∵,∴,∴,∴∽，

∴，

∴…………4分又∵，∴．……5分（Ⅱ）∵,

∴，∵

∴由（1）可知：，解得.……7分∴．∵是⊙的切线，∴∴，解得．……10分

略22.（本小题满分12分）如图，在△AOB中，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段BA的中点．△AOC由△AOB绕直线AO旋转而成，记∠BOC=，∈（0，]．（1）证明：当=时，平面COD⊥平面AOB；（2）当