河南省焦作市博爱县群英中学高三数学理上学期期末试题含解析

河南省焦作市博爱县群英中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则之间的大小关系为

（

）A．

B．

C．

D．

w。w-w*k&s%5￥u参考答案：C略2.定义在R上的函数，且对任意的不相等的实数有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围（

）A. B.C. D.参考答案：D∵函数满足，∴函数为偶函数．又，∴，∴．由题意可得函数在上单调递增，在上单调递减．∴恒成立，∴恒成立，即恒成立．令，则，∴在上单调递增，在上单调递减，∴．令，则，∴在上单调递减，∴．综上可得实数的取值范围为．选D．点睛：解答本题的两个注意点（1）要根据条件中给出的函数的奇偶性的性质，将问题转化为上恒成立的问题，去掉绝对值后转化为不等式恒成立求解．（2）解决恒成立问题时，选用分离参数的方法进行，转化为求具体函数的最大值或最小值的问题，然后根据导数并结合函数的单调性去解即可．3.一平面截一球得到直径为cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是A．12cm3

B.36cm3

C．cm3

D．cm3参考答案：B4.已知函数，，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.以点（2，0）为圆心且与直线相切的圆的方程为A．

B．C．

D．参考答案：C略6.已知全集U=R，集合A={}，集合B={}，则如图所示的阴影部分表示的集合是

A．{}

B．{}

C．{}

D．{}参考答案：A略7.已知，则下面四个数中最小的是A.

B.

C.

D.参考答案：C略8.已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答： 解：设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，可得m=2a∴|PF1|=4a，|PF2|=2a∵双曲线∴|F1F2|=2a，∴cos∠F1PF2==．故选B．点评：本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9.已知双曲线C：的一条新近线与直线垂直，则此双曲线的离心率为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B10.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（）A．101 B．808 C．1212 D．2012参考答案：B【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】根据甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12求出每个个体被抽到的概率，然后求出样本容量，从而求出总人数．【解答】解：∵甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12∴每个个体被抽到的概率为=样本容量为12+21+25+43=101∴这四个社区驾驶员的总人数N为=808故选B．【点评】本题主要考查了分层抽样，分层抽样是最经常出现的一个抽样问题，这种题目一般出现在选择或填空中，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在钝角中，分别为角的对边，,则的面积等于___________．参考答案：略12.几何体三视图如图所示，其中俯视图为边长为1的等边三角形，则此几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥的高为俯视图三角形的高，底面为直角梯形．【解答】解：由三视图可知，几何体为四棱锥，棱锥的高为俯视图中等边三角形的高，棱锥的底面为直角梯形，梯形面积为（1+2）×1=．∴V==．故答案为．13.已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为

▲

．参考答案：略14.设复数为实数时，则实数的值是____________.参考答案：3略15.设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x﹣3y的最小值是．参考答案：﹣6【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z=2x﹣3y得，要使z最小，则在y轴上的截距最大，由此可知最优解，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，得可行域如图，使目标函数z=2x﹣3y取得最小值的最优解为A（3，4），∴目标函数z=2x﹣3y的最小值为z=2×3﹣3×4=﹣6．故答案为：﹣6．16.某程序框图如图2所示，现将输出值依次记为：

若程序运行中输出的一个数组是，则数组中的

. 参考答案：略17.以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的方程为______________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率为，通径长为.（1）求椭圆的方程；（2）过的动直线交椭圆于两点，（ⅰ）问在轴上是否存在定点，使恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.（ⅱ）延长交椭圆于点，分别为、的内心，证明四边形与的面积的比值恒为定值，并求出这个定值.参考答案：（1）由，得：又通径长为3，由代入椭圆方程得，则，解得椭圆的方程为

…………4分（2）（ⅰ）假设在轴上存在定点，使为常数.①当直线的斜率不为0时，设，联立方程

得

设，则恒成立，，…………6分所以，因为与无关，则时，②直线的斜率为0时，也成立故在轴上存在定点，使为常数.

…………10分（ⅱ）椭圆的方程为，设的内切圆的半径为，则，则，同理得，.所以，

四边形与的面积的比值为.

…………14分19.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．参考答案：【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）根据二倍角公式和辅角公式先将函数f（x）化简成：f（x）=2sin（ωx+）﹣1+m，再由最小正周期T=（2π）÷ω=3π求出ω，又当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0可以得出m的值，进而得到函数f（x）的表达式．（2）将f（C）=1代入（1）中f（x）的表达式中求出C的值，再化简2sin2B=cosB+cos（A﹣C）又根据三角形的内角和为π求出sinA的值．【解答】解：（Ⅰ）．依题意：函数．所以．，所以f（x）的最小值为m．依题意，m=0．．（Ⅱ）∵，∴．．在Rt△ABC中，∵，∴．∵0＜sinA＜1，∴．20.已知函数.（1）解不等式；（2）若关于的不等式在R上的解集为R，求实数的取值范围.参考答案：（1）不等式可化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即；当时，，解得，即，

…………3分综上所述，不等式的解集为或.…5分（2）由不等式可得，∵，

…………8分∴，即，解得或，故实数的取值范围是或.

…………10分21.近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5

B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求E（X）．参考答案：考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）利用表格数据，根据甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，即可求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）求出两周后非低碳族的概率、低碳族的概率，结合这25个人中低碳族人数服从二项分布，即可求出分布列．解答：解：（1）设事件C表示“这4人中恰有2人是低碳族”．

…（1分）=0.01+0.16+0.16=0.33．

…（4分）答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33；

…（5分）（2）设A小区有a人，两周后非低碳族的概率．故低碳族的概率P=1﹣0.32=0.68．…（9分）随机地从A小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即，故．

…（12分）点评：本题考查概率的计算，考查分布列，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.（13分）已知椭圆E：（a＞b＞0）与双曲线G：x共焦点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，P是椭圆E与双曲线G的一个交点，O为坐标原点，△PF1F2的周长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）已知动直线l与椭圆E恒有两个不同交点A，B，且，求△OAB面积的取值范围．参考答案：【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（I）由双曲线G：知F1（﹣2，0），F2（2，0），可得在椭圆E：中有c=2，又△PF1F2的周长为4+4，可得|PF1|+|PF2|=4=2a，b2=a2﹣c2，解出即可．（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△＞0，可得（8k2﹣m2+4）＞0，要使，需使x1x2+y1y2=0，可得3m2﹣8k2﹣8=0，而原点到直线l的距离d=，又|AB|==，对k分类讨论即可得出取值范围，利用S△OAB=，即可得出．解：（I）由双曲线G：知F1（﹣2，0），F2（2，0），∴在椭圆E：中有c=2，又△PF1F2的周长为4+4，∵|PF1|+|PF2|=4=2a，a=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆E的方程为，（II）当直线l的斜率存在时，其方程可设为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），解方程组，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，则△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0，即（8k2﹣m2+4）＞0，∴x1+x2=﹣，，要使，需使x1x2+y1y2=0，即+=0，∴3m2﹣8k2﹣8=0，8k2﹣m2+4＞0对于k∈R恒成立，而原点到直线l的距离d=，d2===