湖南省永州市梅岗中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省永州市梅岗中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若曲线y=x4的一条切线L与直线垂直，则L的方程是（

）A.4x-y-3=0

B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0

D.x+4y+3=0参考答案：答案：A2.设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是A.是偶函数

B.是奇函数

C.

是奇函数

D.是奇函数参考答案：C设，则，∵是奇函数，是偶函数，∴，为奇函数，选C.3.若集合，则A∪B=A.

B.C.

D.参考答案：B4.在整数集Z中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，

即，．给出如下四个结论：①；②；③；④整数属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论为（）．A．①②④

B．①③④C．②③④

D．①②③参考答案：C5.已知一个几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为

A.4

B.8

C. D.

参考答案：A略6.已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是(

)A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0参考答案：C【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．【解答】解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=1，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1?q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正确，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．7.曲线y=与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为(

) A．2ln2 B．2﹣ln2 C．4﹣ln2 D．4﹣2ln2参考答案：D考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：作出函数的图象，可得围成的封闭图形为曲边三角形ABC，它的面积可化作梯形ABEF的面积与曲边梯形BCEF面积的差，由此结合定积分计算公式和梯形面积公式，不难得到本题的答案．解答： 解：令x=4，代入直线y=x﹣1得A（4，3），同理得C（4，）由=x﹣1，解得x=2，所以曲线y=与直线y=x﹣1交于点B（2，1）∴SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF而SBCEF=dx=2lnx|=2ln4﹣2ln2=2ln2∵S梯形ABEF=（1+3）×2=4∴封闭图形ABC的面积SABC=S梯形ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2故选D点评：本题利用定积分计算公式，求封闭曲边图形的面积，着重考查了利用积分公式求原函数和定积分的几何意义等知识，属于基础题．8.如图，在正四面体ABCD中，E为AB的中点，F为CD的中点，则异面直线EF与AC所成的角为（

）

A.90o

B.60o

C.45o

D.30o参考答案：C9.若，则（

）A. B. C. D.参考答案：【知识点】对数的运算性质．B7C

解析：因为，所以，则，故选C.【思路点拨】先将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质得到结果。10.已知函数在单调递减，则的取值范围(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图所示，某城镇由6条东西方向的街道和6条南北方向的街道组成，其中有一个池塘，街道在此变成一个菱形的环池大道．现要从城镇的A处走到B处，使所走的路程最短，最多可以有

种不同的走法．参考答案：答案：3512.如图，是圆的切线，切点为，，是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径等于________．参考答案：13.在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且

则=

。参考答案：414.已知集合，且，则实数的取值范围是____________．参考答案：15.若x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到使取最大值的最优解，求出其最大值，在的最小值可求．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），∴的最大值为3，则的最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．16.如图，的两条弦，相交于圆内一点，若，，则该圆的半径长为

．参考答案：17.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用最小二乘法，求得回归方程所对应的直线分别为l1：y=0.7x﹣0.5和l2：y=0.8x﹣1，则这两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值S与对变量y的观测数据的平均值t的和是

．参考答案：8【考点】BK：线性回归方程．【分析】由题意，两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，可得两组数据的样本中心点都是（s，t），数据的样本中心点一定在线性回归直线上，可知回归直线l1和l2都过点（s，t）两条直线有公共点（s，t），即两条直线的交点．即可得解．【解答】解：由题意，∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s，对变量y的观测值的平均值都是t，∴两组数据的样本中心点都是（s，t）∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上，∴回归直线t1和t2都过点（s，t）∴两条直线有公共点（s，t），联立：，解得：s=5，t=3，∴s+t=8．故答案为：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分12分）某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为（1）求的分布列和数学期望.（2）记“函数是偶函数”为事件A,求A发生的概率；参考答案：解：（1）的可能取值为…………（3分）的分布列为123…………（7分）【评分建议】分布列和数学期望各计2分.（2）因为是偶函数,所以或…………（9分）…………（12分）19.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知，M是SD上任意一点，，且m＞0．（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在△ABC中，由已知可得AB2+AC2=BC2，得到AB⊥AC，再由面面垂直的性质可得AC⊥平面SAB，进一步得到平面SAB⊥平面MAC；（2）由，可得VS﹣MAC=VM﹣SAC=，转化为三角形的面积比，可得m=2．【解答】（1）证明：在△ABC中，由于，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC?平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC?平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC；（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=，AC=4，∴，．又∵，∴VS﹣MAC=VM﹣SAC=，∴=，即m=2．故m的值为2．20.随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象．交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2）畅通；T∈[2，4）基本畅通；T∈[4，6）轻度拥堵；T∈[6，8）中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段（T≥3），从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：（I）据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；（II）据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估算交通指数的中位数和平均数．（Ⅱ）设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，由此能求出3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率．（Ⅲ）由题意，求出所用时间X的分布列，由此能求出此人上班路上所用时间的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由直方图知：T∈[3，5）时，频率为0.1+0.20=0.30，T∈[5，6）时，频率为0.24，∴交通指数的中位数为5+1×=．…（2分）交通指数的平均数为：4.5×0.2+5.5×0.24+6.5×0.2+7.5×0.16=4.72．…（4分）（Ⅱ）设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P（A）=0.1，则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：P=C32×（）2×（1﹣）+C33×（）3=，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为．…（8分）（Ⅲ）由题意，所用时间X的分布列如下表：X30354560P0.10.440.360.1则E（X）=30×0.1+35×0.44+45×0.36+60×0.1=40.6，所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．…（12分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.等比数列{an}的各项均为正数，且.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn.参考答案：（1）

（2）试题分析：（1）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（2）把（1）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的