二元一次不等式组与简单线性问题

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题无法显示该图片。【知识梳理】1.必会知识 教材回扣 填一填(1)二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类:①满足Ax+By+C

=0的点;②满足Ax+By+C

>0的点;③满足Ax+By+C

<0的点.(2)二元一次不等式表示平面区域的判断方法:直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,当点在直线l的同一侧时,点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号,当点在直线l的两侧时,点的坐标使Ax+By+C的值具有相反的符号.(3)线性规划中的基本概念:名

称意

义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x,y的函数解析式

,如z=x+2y线性目标函数关于x,y的

一次

解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)名

称意

义可行域所有

可行解组成的集合最优解使目标函数取得

最大值或最小值

的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的

最大值或

最小值问题2.必备结论 教材提炼 记一记(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:①直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;②特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.

(3)最优解和可行解的关系:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.3.必用技法 核心总结 看一看(1)常用方法:特殊点法,平移法.

(2)数学思想:数形结合思想.

(3)记忆口诀:线定界,点定域,一画二移三求.【小题快练】1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.(

)(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.(

)(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(

)

(4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.(

)【解析】(1)错误,不等式Ax+By+C>0表示的平面区域不一定在直线Ax+By+C=0的上方,因为(Ax+By+C)·B>0不一定成立.

(2)错误,当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域.

(3)正确,当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时,最优解无穷多.截距.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×(4)错误,目标函数z=ax+by(b≠0)中,z是直线ax+by-z=0在y轴上的b2.教材改编 链接教材 练一练(1)(必修5P86T3改编)不等式组

x

-

3y

+

6

<

0,

表示的平面区域是(

)x

-

y

+

2

‡

0【解析】选C.x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方部分,x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方部分.故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分.则z=-3x+y的最大值为

.【解析】由题意画出平面区域为:-x

+

y

-

2

‡

0,(2)(必修5P93习题3.3A组T2改编)已知x,y满足x

+y

-4

£

0,x

-

3y

+

3

£

0,当直线-3x+y=0经过点A时,z取得最大值.所以zmax=-3x+y=-3×1+3=0.答案:0由-x

+y

-可2

=得0,x

+

y

-

4

=

0,即点x

A=1(,1,3).y

=

3,3.真题小试 感悟考题 试一试则z=2x-y的最大值为(

)A.10

B.8

C.3

D.2【解析】选B.画出可行域,可知可行域为三角形,经比较斜率,可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选B.x

+

y

-

7

£

0,(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件x

-3y

+1

£

0,3x

-

y

-

5

‡

0,则目标函数z=x+2y的最小值为(

)A.2

B.3

C.4

D.5【解析】选B.作出可行域如图,结合图象可知,当目标函数通过点(1,1)时,z取得最小值3.x

+

y

-

2

‡

0,(2)(2014·天津高考)设变量x,y满足约束条件x

-y

-2

£

0,y

‡1,且z=2x+y的最小值为-6,则k=

.【解析】如图,画出可行域,l0:2x+y=0,当l0:2x+y=0运动到过点A(k,k)时,目标函数取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2.答案:-2y

£

x,(3)(2014·湖南高考)若变量x,y满足约束条件x

+y

£

4,y

‡

k,考点1

平面区域面积的问题【典例1】(1)(2015·北京模拟)在平面直角坐标系xOy中,不等式组表示图形的面积等于(

)D.4

.1

£

x

+

y

£

3,-1

£

x

-

y

£1A.1

B.2

C.3x

-

y

+1

‡

0,(2)(2015·扬州模拟)已知不等式组

x

+

y

-1

‡

0,

表示的平面区域3x

-

y

-

3

£

0为D,若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是【解题提示】(1)作出不等式组对应的平面区域,根据平面区域的图形即可计算对应的面积.

(2)画出不等式组表示的平面区域,直线y=kx+1过定点(0,1),利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点,然后代入求k值.【规范解答】(1)选B.不等式组对应的平面区域如图,对应的区域为正方形ABCD,其中A(0,1),D(1,0),边长AD=2,则正方形的面积S=

2

·

=2

2,故选B.(2)区域D如图中的阴影部分所示,直线y=kx+1经过定点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.由方程组x

+y

-1解=得0,A(1,0).3x

-

y

-

3

=

0,由方程组x

-y

+1解=得0,B(2,3)．3x

-

y

-

3

=

0,(

,

)2

2

2

2所以AB的中点坐标为

3 3

代，入直线方程y＝kx＋1得，

3＝3

k＋1，3解得k＝1

.答案：13x

‡

0,【互动探究】若把本例题(2)的条件改为

x

+

3y

‡

4,

所表示的平面3x

+

y

£

4区域被直线

y＝kx＋4

分为面积相等的两部分，则k的值是

.3【解析】由图可知，平面区域为△ABC边界将区域平均分成面积相等的两部分，故过BC的中点3及内部，y＝kx＋恰4过A(0，4)，y＝kx＋43

32

3

3D(

1，5)，5＝k

·

1＋4，k＝7

.2

2

2答案：73【规律方法】平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积:①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形

(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可.

(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形

结合的方法去求解.x

‡1,【变式训练】(2015·汕头模拟)已知约束条件x

+y

-4

£

0,kx

-

y

£

0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(

)A.1 B.-1

C.0 D.-2对应的平面区域，如图：【解析】选A.先作出不等式组x

‡1,x

+

y

£

4要使阴影部分为直角三角形，2所以k＞0，则必有BC⊥AB，因为x+y-4=0的斜率为-1，所以直线kx-y=0的斜率为1，即k=1,故选A．2当k=0时，此三角形的面积为1

·3·3＝9所„以1，不成立，【加固训练】(2014·郴州模拟)已知点P(x，y)满足0

£

x

£1,0

£

x

+

y

£

2，则点Q(x+y，y)构成的图形的面积为(

)A.1

B.2

C.3

D.4【解析】选B.设点Q(u，v)，则x+y=u，y=v，则点Q(u，v)满足0

£

u

-v

£1,0

£

u

£

2，在uOv平面内画出点Q(u，v)所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为2×1=2．故选B．考点2

简单的线性规划问题知·考情线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式考查的重要内容,在线性规划中,通过最优解求最值或求参数的取值范围问题是高考的热点和重点,高考中常以选择题、填空题的形式出现.明·角度且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n=(

)A.5

B.6

C.7

D.8【解题提示】画出可行域，标出边界点，目标函数对应动直线的斜率为－2.命题角度1：已知约束条件求目标函数的最值y

£

x,【典例2】(2014·广东高考)若变量x,y满足约束条件x

+y

£1,y

‡－1【规范解答】选B.如图,可行域是以的等腰直角三角形，所以当动直线z=2x+y经过点C(2,－1)时取得最大值3，经过点B(－1,－1)时取得最小值－3，所以m－n=6.1B1(－1,－1),C(2,－1)为顶点A(

,

),2

2命题角度2：已知目标函数的最值，求参数的取值或取值范围的最小值为-4，则k的值为(

)y

‡

0,x

+

y－2

‡

0,【典例3】(2014·北京高考)若x,y满足kx－y

+2

‡0,且z=y－xA.2 B.-2 C.

1

D.-

12

2【解题提示】作出可行域，向右下平移l0:y-x=0判断最小值.【规范解答】选D.如图，作出可行域，向右下平移l0过点A时，z取2最小值，此时xk=-

,

y

=

0，k所以0

+2

=解-4得,1

.2k

=-命题角度3：已知目标函数的最优解的个数求参数x

+

y

-

2

£

0,【典例4】(2014·安徽高考)x,y满足约束条件x

-2y

-2

£

0,2x

-

y

+

2

‡

0，若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(

)A.

1

或-1

B.2或

1

C.2或1

D.2或-12

2【解题提示】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则目标函数和其中一条直线平行,然后根据条件即可求出a的值.【规范解答】选D.由线性约束条件可得其图象如图所示,由图象可知直线z=y-ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一,此时a=2或-1.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选D.画出可行域,如规范解答中图所示,可知点A(0,2),C(2,0),B(-2,-2),则z(A)=2,z(C)=-2a,z(B)=2a-2.要使对应最大值的最优解有无数组,只要z(A)=z(B)>z(C)或z(A)=z(C)>z(B)或z(B)=z(C)>z(A),解得a=-1或a=2.悟·技法1.利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可.2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法利用约束条件作出可行域,通过分析可行域及目标函数确定最优解的点,再利用已知可解参数的值或范围.3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.通·一类则目标函数z=x-2y的最大值为(

)x

+

y

‡1,1.(2015·天津模拟)设变量x，y满足约束条件x

-y

‡0,2x

-

y

-

2

£

0，B.1A.

322C.

-

1D.-

2【解析】选B.由约束条件即A(1，0)．所以目标函数z=x-2y的最大值为1-2×0=1．故选B．x

+

y

‡1,x

-

y

‡

0作,

出可行域如图，2x

-

y

-

2

£

0由z=x-2y，得y＝

x

-z，2

2由图可知，当直线y＝x过-z可行域内2

2点A时直线在y轴上的截距最小，z最大．联立x

+y

=1,解得2x

-

y

-

2

=

0，x

=1,y

=

0．2.(2015·杭州模拟)若x，y满足约束条件最小值时的点有无数个，则k=(

)A.-1

B.2 C.-1或2x

+

y

-1

‡

0,y

‡2x

-2,

且z=kx+y取得y

£

2，D.1或-2【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).由z=kx+y,得y=-kx+z,若k=0,此时y=z,此时z只在B处取得最小值,不满足条件.若k>0,则目标函数的斜率-k<0.平移直线y=-kx+z,由图象可知当直线y=-kx+z和直线x+y-1=0平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个,此时-k=-1,即k=1.若k<0,则目标函数的斜率-k>0.平移直线y=-kx+z,由图象可知当直线y=-kx+z和直线y=2x-2平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个,此时-k=2,即k=-2.综上,k=1或k=-2.故选D.3.(2015·枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件A.-2

B.2C.-1D.1x

>

0,4x

+

3y

£

4,y

‡

0，x则

w＝y

+1

的最小值是(

)D．【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图：w＝y

+1的几何意义是区域内的点xP(x，y)到定点A(0，-1)之间的斜率，由图象可知当P位于点D(1，0)时，直线AP的斜率最小，此时y

+1的最小值为x-1-

0

故=1选.0

-1x

+

2y

-

4

£

0,4.(2014·浙江高考)当实数x,y满足

x

-

y

-1

£

0,

时，1≤ax+y≤4恒x

‡1成立，则实数a的取值范围是

.可知，a≥0且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)点取得最大值，所以a≥1,2a+1≤4，故a的取值范围为答案：x

+

2y

-

4

£

0,【解析】作出不等式组x

-y

-1所£表0,示的区域，由1≤ax+y≤4，由图x

‡13[1,

].23[1,

]2考点3

线性规划的实际应用【典例5】某企业生产A,B两种产品,生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电如下表:产品品种劳动力(个)煤(吨)电(千瓦)A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?【解题提示】题目的设问是“该企业如何安排生产,才能获得最大利润”,这个利润是由两种产品的利润所决定的,因此A,B两种产品的生产数量决定着该企业的总利润,故可以设出A,B两种产品的生产数量,列不等式组并建立目标函数求解.【规范解答】设生产A,B两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,依题意,得作出可行域,如图中阴影部分.当直线7x+12y=0向右上方平行移动时,经过M时z取最大值.3x

+10y

£

300,9x

+

4y

£

360,4x

+

5y

£

200,x

‡

0,

y

‡

0.目标函数为z=7x+12y.解方程组3x

+10y

=300,得x

=20,4x

+

5y

=

200,

y

=

24.

因此,点M的坐标为(20,24).所以该企业生产A,B两种产品分别为20吨和24吨时,才能获得最大利润.【规律方法】解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意,设出未知量.

(2)列出线性约束条件和目标函数.

(3)作出可行域并利用数形结合求解.

(4)作答.【变式训练】农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,则黄瓜和韭菜的种植面积分别是多少亩?年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元【解析】设种植黄瓜x亩,韭菜y亩,由题意得1.2x

+0.9即y

£

54,x

‡

0,

y

‡

0,设总利润为z,则z=x+0.9y.作可行域如图所示,x

+

y

£

50,

x

+

y

£

50,4x

+

3y

£180,x

‡

0,

y

‡

0,由x

+y

=5得0,A(30,20).4x

+

3y

=180,当目标函数线l向右平移,移至点A(30,20)处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大.所以,黄瓜和韭菜分别种植30亩、20亩时,一年的种植总利润最大.【加固训练】(2015·江门模拟)甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位同学往返车费是5元,每人可为3位老人服务,乙校每

位同学往返车费是3元,每人可为5位老人服务,两校都有学生参加,甲

校参加活动的学生比乙校至少多1人,且两校同学往返总车费不超过45元.如何安排甲、乙两校参加活动的人数,才能使受到服务的老人最多?受到服务的老人最多是多少?【解析】设甲、乙两校参加活动的人数分别为x,y,受到服务的老人的人数为z=3x+5y,依题意,x,y应满足的约束条件为x

-

y

‡1,5x

+

3y

£

45,x,

y

˛

N*,可行域为图中阴影部分中的整点,画直线l0:3x+5y=0,并向右上方平移l0到l,当l经过可行域的某点,这一点的坐标使目标函数取最大值.解方程组x

-y

=1,x

=

6,

5x

+

3y

=

45,得

M(6,5)满足约束条件,y

=

5,因此,当x=6,y=5时,z取最大值,zmax=3×6+5×5=43.答:甲、乙两校参加活动的人数分别为6和