2015中考试题研究数学第二部分题型一专题三

第二部分 题型研究题型一

选填重难点突破专题三

规律探索题类型一 数式规律（

2014年考查5次，2013年考查3次，2012年考查2次）典例精讲一、数字循环规律探索例1

（2014桂林）观察下列运算：81=8,82=64,83=512,84=4096,85=32768,86=262144,…则:81+82+83+84+…+82014的和的个位数字是

2

.【解析】81＝8，82＝64，83＝512，84＝4096，85＝32768，86＝262144，87＝2097152,88＝16777216,…，观察发现，每四个一组，个位数字循环，个位数字依次是：8，4，2，6，并且每组中的第一个数和第三个数的和的个位数字是0，第二个数和第四个数的和的个位数字是0，即每个循环中的四个数的和的个位数字是0；从81到82014共2014个数，每4个数分一组，∴2014÷4＝503……2，则共有503组余两个数，这两个数的个位数字与每组中的前两个数的个位数字相同，个位数字分别是8，4，∴所求算式的个位数字是2．【方法指导】对于数字循环变换类规律题，求第N个数字时，需要观察这组数字的变化规律，通过变化规律求出第N

个数字（或某个量），具体步骤如下：通过观察这组数的变化规律，得到该组数字（或某个量）经过一个循环变换所包含的数的个数，记为n；用N除以n，当商b……m(0≤m＜n)时，第N次变换后对应的数字（或某个量）就是一个循环变换中前m次变换后对应的数字（或某个量）；3.

根据题意，找出前m次变换后对应的数字（或某个量），推断出第N个数字（或某个量）.【针对演练】见学生用书第179页针对演练第2题，第8题，第9题.二、数字递推规律探索例2（2014贵港）已知点A1(a1，a2),

A2(a2，a3),A3(a3，a4),…，An(an，an+1)(n为正整数)都在一次函数y=x+3的图象上，若a1=2,则a2014=

6041

.【解析】由题意可知

A1(2,5),A2(5,8),A3(8,11),A4(11,14)，…，An(3n-1，3n+2),

∴a2014=3×2014-1=6041.【方法指导】解答数字递推规律探索题的方法，一般通过题中给出的关系式，得到该组数据中的前几项数字，找出每项数字间的关系来求解，步骤为：第一步：标序数；第二步：对比序数（1，2，3，…，n）和每项中具体数字的关系，得出每项数字与序数的关系式；第三步：根据找出的规律得出某一个具体的数字，并检验.【针对演练】见学生用书第179页针对演练第4～6题.三、数式规律探索例3

(2012牡丹江)观察下列数：1,-1

,x2

x3x41

,-

1

,…，按此规律排列，第十个数为x5-

1x11

.，…，可得，第n个数是：(-1)n+1，则第十个数为.【解析】由1

，-x21,

1

,-1x3

x4

x51xn+1(-1)10+11x10+1

x11=

-

1【方法指导】对于此类数式规律探索题的推导步骤为：第一步：标序数；第二步：分别对比所给式子的各部分与序数（1，2，3，…，n）之间的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来，例如：所给的式子是分式时，分别找出分子和分母与序数之间的关系，用含序数n的代数式分别表示出分子和分母，按照数字规律来求解即可；第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验.第四步，若所求的式子前面的符号是

正（+）、负（-）交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个式子的符号用(-1)n或（-1）n-1表示.同样，对于等式规律探索的推导方法，第一步：标序数，第二步：将等式左边的每项用含序数的式子表示出来，得到关系式，第三步：将等式右边的每项用含序数的式子表示出来，即得解.【针对演练】见学生用书第179页针对演练第1题，第3题，第7题.针对演练24

6

81.

（2014北海）下列式子按一定规律排列：a

,

a3

,a5

,

a7

,…，则第2014个式子是a4027

4028

.2.

（2014玉林模拟）有一列数：a1、a2、a3、…an，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1=2，则a2007等于-1

.x2

x33.

观察下列数据：

3

，

15

，

,

,

,35

63

99x4

x5

x6…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，xn+1第n个数据是

(2n)2

-1

.4.

（2014贵港模拟）已知一列数a1，a2，a3，…，an，…中，a1=0，a2=2a1+1，a3=2a2+1，…，an+1=2an+1，…．则a2014-a2013的个位数字是

6

.5.

（2014南充）一列数a1,a2,a3，…，an,其中，2a1=-1,

a

=11

-

a31

1,a

=21

-

an-111

-

an，…，a=2011则a1+a2+a3+…+a2014=

2

.6.

（2014柳州模拟）一列数a1，a2，…，an,n+1（n为正整数），其中a1=a1，=2anna

+

21则a2013等于

1007

.7.

（2014百色）观察以下等式：32－12＝8，52－12＝24，72－12＝48，92－12＝80，…由以上规律可以得出第n个等式为(2n+1)2-12=4n(n+1)

.8.

（2014钦州）甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…，依此循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束.若报出的数是偶数，则该同学得1分.当报数结束时甲同学的得分是分

336

.9.

（2014桂林模拟）下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字…，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和等于

495

.类型二 图形规律（

2014年考查2次，2013年考查3次，2012年考查4次）典例精讲一、图形累加规律探索例1

（2014梧州）如图，下列图案都是由小正方形组成的，它们形成矩形的个数是有规律的：第（1）个图案中，矩形的个数是1个；第（2）个图案中，矩形的个数是4个；…；第（25）个图案中，矩形的个数是个

.625【解析】本题考查图形规律探索.由给出的图案可知，（1）中有1个矩形，即12；（2）中有4个矩形，即22；（3）中有9个矩形，即32；（4）中有16个矩形，即42；…；由此可以发现规律，第n个图案中矩形的个数为n2个，所以第25个图案中矩形的个数为252，即625个.【方法指导】解答此类图形累加规律探索题的方法：第一步：标序数：按图号标序；第二步：算结果：计算每个图中所求量的个数；第三步：找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第四步：归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图中所求量的个数；第五步：验证：代入序数验证所归纳的式子是否正确；第六步：求出结果：将要求项系数代入关系式求得结果.【针对演练】见学生用书第181页针对演练第1～3题.A2、A3、…在x轴的正半轴上，点B1、B2、D.192二、图形边长与面积的变换规律探索题例2（2013百色）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝

3

x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、3B3、…在直线l上，若△OB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…均为等边三角形，则△A5B6A6的周长为(

C

)3

3A.24

3

B.

48

3

C.961

2

21

1

2

2，解得x

=3，同理，设A

A

=x

，则A1A2=A2B2=x2，在Rt△AA2B2，即，解得【解析】由题意可知，A（-

3

,0），B(0,

1),所以tan∠BAO=

3

，所以∠BAO=30°，所3以OA=OB

=

3

,A1B1⊥l，

A

B

⊥l，AA1

2A3B3⊥l，…，设OA1=x1，则OA1=A1B1=x1，在Rt△AA1B1中，A1B1

=1

，2x

1即

1

=3

+

x1中，A2

B2

=

1AA2

2x2

=

12 3

+

x22x2=

2 3

，同理可得，

A2A3=

4 3

，32A3A4=

8

3，A4A5=

16

3，A5A6=

3，因此△A5B6A6的边长为

32 3,周长是96 3

.【方法指导】几何图形变换规律探索题涉及的类型有以下三种类型具体如下：1.已知一个几何图形的边长，通过一定变

换确定第Ｍ次变换后的图形的边长（或周长），解题步骤是：根据题意可得出第一次变换前图形的边长（或周长）；通过计算得到第一次变换后图形的边长（或周长），第二次变换后的边长（或周长），第三次变换后图形的边长（或周长），第四次变换后图形的边长（或周长），归纳出每次变换后的图形边长（或周长）与序数之间的关系式，并验证；（3）根据（2）中关系式，得到第M次变换后的图形边长（或周长）．2.将几何图形在同一方向上旋转变换，通过Ｍ次变换后，求起始点到终点的线段长度，解题步骤是：（1）根据题意求出所给的ｍ边形的边长；（2）得到该图形的周长为a，可以确定每一个循环M次旋转变换后起始点到终点的线段长度等于ａ，例如三角形旋转３次变换后起始点到终点的线段长度等于该三角形的周长；要求通过Ｍ次变换后，起始点到终点的距离，可以用Ｍ÷m＝ｗ……ｑ（０≤ｑ＜m）；求出起点到终点的线段长度等于wa加上该m边形在一个循环变换中已旋转过的q条边的边长和．3.图形面积规律探索问题，解题步骤是：根据题意可得出第一次变换前图形的面积；通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，第四次变换后图形的面积，归纳出每一次变换后的面积与序数之间的关系式，并验证；通过（2）中的关系式求出第Ｍ次变换后图形的面积．【针对演练】见学生用书第181页，针对演练第5题，第7～8题，第10题.三、图形变换求点坐标的规律探索A.

(-1,0)C.

(1,1)B.

(1,-2)D.

(-1,-1)例3（2014崇左）如图，在平面直角坐标系中，A(1,1),B(-1,1),C(-1,-2),D(1,-2).把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C-D-A…的规律在四边形ABCD的边上绕，则细线另一端所在位置的点的坐标是(

D)【解析】矩形的周长=（2+3）×2=10，201410=201……4，于是能绕201圈，还多4个单位，即由A点出发，先向左移动两个单位，再向下移动两个单位，因为点A坐标为（1,1），B（-1，1），C（-1，-2），所以细线的另一端为（-1，-1）.【方法指导】根据图形点坐标的变换特点可知这类题有三种考查形式：1.已知线段在固定图形（或固定点坐标构成的图形）上环绕，求绕过M个单位长度后端点坐标，解题步骤为：（1）先观察线段环绕方向是按顺时针环绕还是按逆时针环绕的，找出经过一个循环线段所绕过的长度，记为n；（2）用总线段长M÷n=w……q(0≤q<n)，则线段绕过M个单位后的端点坐标为从起点开始绕指定方向旋转q个单位长的点坐标.2.图形绕某一点按顺时针或逆时针旋转变化时，求图形上某点A经过变换后的点坐标，解题步骤为：（1）根据题意可得出点A第一次变换前的坐标；（2）通过计算得到该点第一次变换后的点坐标，第二次变换后的点坐标，第三次变换后的点坐标，第四次变换后的点坐标，归纳出每一次变换后的点坐标与序数之间的关系式，并验证；（3）找出该点循环一周的变换次数，记为n，用M÷n=w……q(0≤q<n)，则第M次变换后的点坐标与每个循环中第q次变换的点坐标相同；（4）根据（2）中的关系式得到该点第M次变换后的点坐标.3.图形沿x轴旋转（沿y轴旋转），求图形上某点坐标经过变换后的点坐标，解题步骤为：根据图形变换规律，得出一个循环周期图形变换的次数n；求出第一个循环周期中每次变换后该点对应的点坐标；（3）若M÷n=w……q(0≤q<n)，则第M次变换后该点对应的点的纵坐标（横坐标）与第一个循环变换中第q次变换后该点对应点的纵坐标（横坐标）相同，横坐标（纵坐标）为一个循环变换后该点对应点的横坐标（纵坐标）的w倍加上第一个循环变换中第q次变换的横坐标（纵坐标）.【针对演练】见学生用书第181页针对演练第4题，第6题，第9题.针对演练1.（2014牡丹江）如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第n个图形中，点的个数为n2+2

.2.

（2014武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…….按此规律第5个图中共有点的个数是

46

.3.

(2014赤峰)平移小菱形

可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由

平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数80是0

.4.

（2014莱芜）如图在坐标系中放置一菱形

OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1.现将菱形

OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转

60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2,B3,B4，…，则B2014的坐标为B2014(1342,0)

.5.

（2014珠海）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…,则OA4的长度为

.46.（2014齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将

Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O，…，依此规律，得到等腰直角三角形A2014OB2014，则点.A2014的坐标为(-2201