2021-2022学年江西省新余市第十中学高三数学文模拟试题含解析

2021-2022学年江西省新余市第十中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），且f（1）＞f（3），要得到函数，f（x）的图象可将函数y=2cosx的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】结合条件利用余弦函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=2cos（x+φ）图象的一个对称中心为（2，0），∴+φ=kπ+，k∈Z，故可取φ=﹣，f（x）=2cos（x﹣），满足f（1）＞f（3），故可将函数y=2cosx的图象向右平移个单位，得到f（x）=2cos（x﹣）的图象，故选：C．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．2.

函数的图象可能是下列图象中的（

）

参考答案：答案：C3.已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为

A.1

B．

C.

D.3参考答案：4.设集合=

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.若命题p：函数的单调递增区间是[1,+∞)，命题q：函数的单调递增区间是[1,+∞)，则（

）A.是真命题 B.是假命题C.是真命题 D.是真命题参考答案：D【分析】由二次函数的单调性可判断命题p为真，利用增+增为增结合函数的定义域可得增区间进而知命题q为假命题，从而可得解.【详解】命题p：函数的对称轴为，且开口向上，所以在上单调递增，命题p为真；命题q：函数的定义域为，且和为增函数，所以函数的增区间为和，所以命题q为假命题.所以是真命题.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性及复合命题的真假判断，注意区别在区间上单调递增和增区间的区间，属于基础题.6.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟和效果最好的模型是（

）A．模型1的相关指数R2为0.25

B．模型2的相关指数R2为0.50C．模型3的相关指数R2为0.98

D．模型4的相关指数R2为0.80参考答案：C7.定义行列式运算=．将函数的图象向左平移个单位，以下是所得函数图象的一个对称中心是

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B略8.已知数列的前n项和为Sn，则“为常数列”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：C【知识点】充分条件与必要条件【试题解析】若为常数列，则；

反过来，若，则，即为常数列。

所以“为常数列”是“，”的充分必要条件。

故答案为：C9.已知，f（x）在x=x0处取得最大值，以下各式中正确的序号为（）①f（x0）＜x0；②f（x0）=x0；③f（x0）＞x0；④；⑤．A．①④ B．②④ C．②⑤ D．③⑤参考答案：B【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，代入验证，即可得到结论．【解答】解：求导函数，可得令g（x）=x+1+lnx，则函数有唯一零点，即x0，∴﹣x0﹣1=lnx0∴f（x0）==x0，即②正确=∵﹣x0﹣1=lnx0，∴=x=时，f′（）=﹣＜0=f′（x0）∴x0在x=左侧∴x0＜∴1﹣2x0＞0∴＜0∴∴④正确综上知，②④正确故选B．【点评】本题考查导数知识的应用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．10.已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（）A．（，2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：′＜0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反．故建立不等式组，解不等式组求的结果．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x），所以：f（﹣x）=﹣f（x）设f（x）的导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则：xf′（x）+f（x）＜0即：′＜0所以：函数F（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上是单调递减函数．由于f（x）为奇函数，令F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数．所以函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．则：满足F（3）＞F（2x﹣1）满足的条件是：解得：所以x的范围是：（）故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在平面BCD上的射影，则异面直线BM与OA所成角的余弦值为_______．参考答案：【分析】设点在平面上的射影为，得、、三点共线，且是的中点，得异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.在中求解即可【详解】设点在平面上的射影为，则、、三点共线，且是的中点，则异面直线与所成角等于异面直线与所成角，即.设正四面体的棱长为2，则，，，所以中，.故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质，准确计算是解题关键，是基础题12.已知实数满足则的最大值为；参考答案：

13.设函数f（x）＝，观察：，

根据以上事实，由归纳推理可得：当＿＿＿．参考答案：略14.中，如果，那么等于_____________．参考答案：略15.已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则△ABN的周长为

．参考答案：40【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义及其三角形中位线定理即可得出．【解答】解：由椭圆C：+=1，可得a=6，b=2，c==4．如图所示，设线段MN的中点为P．由题意利用三角形中位线定理可得：|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|，|AB|=2|F1F2|，∵|PF1|+|PF2|=2a=12，|F1F2|=2c=8，：|AN|+|BN|+|AB|=2×（12+8）=40，故答案为：40．16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=2sinC，，则A=．参考答案：考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：由正弦定理知sinB=，故由sinB=2sinC，得到b=2c，再由，得到a=，由此利用余弦定理能够求出cosA，进而能够求出A．解答：解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，∴，∴sinB=，∵sinB=2sinC，∴，即b=2c，∵，∴a2﹣4c2=3c2，∴a=，∴cosA===﹣，∴A=．故答案为：．点评：本题考查三角形中内角大小的求法，解题时要认真审题，注意正弦定理和余弦定理的合理运用．17.△ABC中，BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C的值为.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（Ⅰ）利用散点图判断，和（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）对数据作出如下处理：令，，得到相关统计量的值如下表：根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为（其中），根据（Ⅱ）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考答案：（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合；（Ⅱ）；（Ⅲ）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【分析】（Ⅰ）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函数类型；（Ⅱ）根据所给数据，代入公式求得回归直线方程；（Ⅲ）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.【详解】（Ⅰ）由散点图知，选择回归类型更适合．（Ⅱ）对两边取对数，得，即由表中数据得：，∴，∴，∴年研发费用与年销售量的回归方程为.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，，∴，令，得，且当时，,单调递增；当时，,单调递减．所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.19.已知为坐标原点，，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若的定义域为，值域为[2，5]，求的值.参考答案：略20.（16分）已知f（x）=x2+mx+1（m∈R），g（x）=ex．（1）当x∈[0，2]时，F（x）=f（x）﹣g（x）为增函数，求实数m的取值范围；（2）若m∈（﹣1，0），设函数G(x)=，H(x)=﹣x+，求证：对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数F（x）的导数，分离参数，问题转化为m≥ex﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=ex﹣2x，x∈[0，2]，根据函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为证G（x）max≤H（x）min，根据函数的单调性分别求出G（x）的最大值和H（x）的最小值，从而证出结论．【解答】解：（1）∵F（x）=x2+mx+1﹣ex，∴F′（x）=2x+m﹣ex，∵x∈[0，2]时，F（x）是增函数，∴F′（x）≥0即2x+m﹣ex≥0在[0，2]上恒成立，即m≥ex﹣2x在[0，2]恒成立，令h（x）=ex﹣2x，x∈[0，2]，则h′（x）=ex﹣2，令h′（x）=0，解得：x=ln2，∴h（x）在[0，ln2]递减，在[ln2，2]递增，∵h（0）=1，h（2）=e2﹣4＞1，∴h（x）max=h（2）=e2﹣4；（2）G（x）=，则G′（x）=﹣，对任意x1，x2∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立，即证G（x）max≤H（x）min，∵x∈[1，1﹣m]，∴G（x）在[1，1﹣m]递增，G（x）max=G（1﹣m）=，∵H（x）在[1，1﹣m]递减，H（x）min=H（1﹣m）=﹣（1﹣m）+，要证G（x）max≤H（x）min，即证≤﹣（1﹣m）+，即证4（2﹣m）≤e1﹣m[5﹣（1﹣m）]，令1﹣m=t，则t∈（1，2），设r（x）=ex（5﹣x）﹣4（x+1），x∈[1，2]，即r（x）=5ex﹣xex﹣4x﹣4，r′（x）=（4﹣x）ex﹣4≥2ex﹣4＞0，∴r（x）在[1，2]递增，∵r（1）=4e﹣8＞0，∴ex（5﹣x）≥4（x+1），从而有﹣（1﹣m）+≥，即当x∈[1，1﹣m]，G（x1）＜H（x2）恒成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．21.设,若直线与轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则面积的最小值为

。参考答案：322.由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为．

1，3，6，10

1，4，9，16

1，5，12，22

1，6，15，28（1）求使得的最小的取值；（2）试推导关于、的解析式；（3）是否存在这样的“边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）9;（2）（3）存在;满足题意的数列为“三角形数列”.试题分析：（1）由题意可得,归纳可得,由累加法可得.解可得的范围.从而可得其最小值.（2）设边形数列所对应的图形中第层的点数为，则.从图中可以得出：后一层的点在条边上增加了一点，两条边上的点数不变，所以，.从而可得.（3）由(2)可得“边形数列”，它的任意连续两项的和为.显然可得.同时因为完全平方只有一个根,所以上式的判别式必为0,也可求得.试题解析：（1）

…3分

由题意得,

所