第七章 7.5合情推理与演绎推理

§7.5合情推理与演绎推理最新考纲推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理．

考情考向分析以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题.合情推理类型类型定义特点根据某类事物的部分对象具有某些特征，推出该归纳 由部分到整体、由个类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者推理 别到一般由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的类比某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 由特殊到特殊推理的推理演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？为我们提供证明的思路和方向．3前提是否可以省略？提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9推理一个数列的前三项是，2，，那么这个数列的通项公式是a(N*×)n题组二教材改编2．[P711a}中，a＝1，a＝aa，a，a后，猜想an

n 1的表达式( )

n n－1

2 3 4A．anCa＝2n答案C

B．anD．a＝3n－1n解析aa＋＝aa＋＝aa＝1a1a2a3a＝4，猜想a2 1＝2.

3 2 4 3

1 2 3 4 nT5aaa＋a＋…＋a＝a＋a＋…＋a

(n<19，n 10

1 2 n 1 2

19－nN*)成立类比上述性质在等比数{b}中若b1则存在的等式 ．n 9答案bb…bbb…b(<1，N)12 n 12 17－n解析利用类比推理，借助等比数列的性质，2b·b，9 1＋n 17－n可知存在的等式为bb…b＝bbb(<1，N12题组三易错自纠

n 12

17－n)＝sin＋1)是正弦函数，因此(＝sin21上推( )A．结论正确C．小前提不正答案C

B．大前提不正确D．全不正确解析(＝sin＋1①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行则正确的结论．(填序)答案①④解析显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．6．(201·河南八市联考)观察下列关系式：1＋＝＋；1)2≥＋，1＋)3≥1＋3x，……，由此规律，得到的第n个关系式答案解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n＋)≥n(N)．题型一归纳推理题型一归纳推理命题点1与数式有关的的推理例1(1)(2018·数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：

”当做数字1，把阴爻“ ”当卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“A．18B．17C．16D．15答案B

”表示的十进制数( )解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“ ”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.13 1 15 1 1 17(2)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1222 22 323 22 32 4241 1 122 2 ＋＋＋…＋ < .22 2 3 20184035答案2018解析由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分23a＝3＋(22017×2＝4035.命题点2与图形变化有关的推理例2哈师大附中模)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论新学科其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形则当时该黑色三角形内去掉小三角形个数( )A．81C．364答案C

B．121D．1093解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，a＝1；1a＝3＋1＝4；2a＝3×4＋1＝13；3a＝3×13＋1＝40；4a＝3×40＋1＝121；5a＝3×121＋1＝364，故选C.6思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)伪性．跟踪训练1某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数( )A．21B．34C．52D．55答案D解析由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.题型二类比推理3(1a＝5，a＋a＋a＋…＋a

＝5×2019.若{b}为等比数列，n 1010

1 2

2019 nb＝5，{b类似的结论( )1010 nA．b＋b＋b＋…＋b＝5×20191 2 3 2019B．bbb…b＝5×2019123 2019C．b＋b＋b＋…＋b

＝520191 2 3 2019D．bbb…b

＝52019123 2019答案Da}中，令＋a＋a＋…＋a，n则＋a＋a

1 2 3＋…＋a，

20192019

2

2017 1＋a

)＋(a＋a

)＋(a＋a

)＋…＋(a

＋a)＝2019(a＋a)1 2

2 2

3 2

2019 1

1 2019＝2019×2a＝10×2019，1010∴S＝a＋a＋a＋…＋a＝5×2019.1 2 3 2019b}中，令bb…b，n 123 2019则bb…b，201920182017 1∴2(bb

)(bb

)(bb

)…(b

b)2

)2019，12019

22018

32017

2019

1010bb…b

＝(b

)2019＝52019.12

2

1010(2)(2015世纪末提出祖暅(1)是一个半径为R(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．(圆柱和圆锥的底面半径和高均为利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy坐标系中，设抛物线C的方程为1－2C围绕yπ π 2π 3πA.3 B.2 C.3 D.4答案B解析构造如图所示的直三棱柱，高设为x，底面两个直边长为2，1，π2＝π1＝2下面说明截面面积相等，设截面距底面为t，矩形截面长为a，圆形截面半径为r，a1－t a t由左图得到，＝ 2 1

＝2(1－)，t π t2(12＝(1－)π，＝12＝(1)π，∴二者截面面积相等，∴体积相等．∴抛物体的体积为V

Sh1 ππ＝三棱柱

＝×2×1×＝.故选B.2 2 22在平面上，设h是△ABC到相应a b cPPPP，P，P，我们可以得到结论：＋＋a b c

hhha b c棱锥中的类似结论．PPPP答案 d＝1hhhha b c d解析设h，h，h，h分别是三棱锥为三棱锥A－BCD内任一点，a b c d

PPPPPP＋＋＋题型三演绎推理

a b c d

n＋2

hhhha b c d例4数列a}的前n项和记为S，已知a，a＝ S(N*．证明：nS

n 1 n＋1 nn(1)数列n是等比数列；n(2)S＝4a.n＋1 n证明(1)∵a＝S－S，a

n＋2＝ S，n＋1

n＋1

n n＋1 nn∴(n＋2)S－S)，即nS

.n n＋1 nS S

n＋1 n∴nn＋1＝2·＋1 nS又1＝1≠0，(小前提)1S故n是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)n(大前提是等比数列的定义，这里省略了)S S(2)由(1nn＋1＝4·nn－1＋1 －1S ∴Sn－1＝4· ·Sn＋1

n－1＝4ana＝3S＝3，S＝a＋a＝1＋3＝4＝4a2 1 2 1 2 1∴对于任意正整数，都有S＝4an＋1 n(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E两车连续四天都能上路行驶车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的( )今天是周六C．A答案B

今天是周四D．C车周五限行是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．故选B.1．(2018·豫南九校联考)“对数函数是非奇非偶函数，f(x)＝log|x|是对数函数，因此f(x)2＝log|是非奇非偶函数，以上推( )2结论正确C．答案C

大前提错误D．解析本命题的小前提是2＝log且2 a数．故选C.2．(2018·四川冲刺演练)中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创7738可用算筹表示为 .19这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，3log264的运算结果可用算筹表示( )答案D解析根据题意，3log264＝3672，用算筹记数表示为 ，故选D.3．(2018·西北师大附中冲刺诊下列推理是归纳推理的( )为定点，动点PP的轨迹是以为焦点的双曲线由a＝2，a求出S，S，Sa}的前n项和

的表达式1 n 1 2 3

n n2 2由圆＋22的面积＝π，猜想出椭圆＋1的面积＝πab2 2答案B解析A3个S，S

的值，1 2 3猜想出Sn

C选项由圆＋2的面积＝2，猜想2 2出椭圆＋＝1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．D选项用的是演绎推理，2 2不符合要求．故选B.根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等( )A．192答案C

B．202

C．212

D．222解析因为13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为(1＋2)2，(1＋2＋3)2，(1＋2＋3＋4)2，所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212，故选C.5．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁戊、己庚辛、壬、癸十二地支即子丑、寅、卯、辰、巳、午未申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子，第二年为“乙丑，第三年为“丙寅，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌“乙亥，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时( )A．丙酉年B．戊申年C．己申年D．己酉年答案D解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，19492029801949194980÷10＝8，20298，2029D.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级．老师说“你们四人中有2人A等人B等人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级．看后甲对大家说“我知道我的成绩等级了．根据以上信息则( )A．甲、乙的成绩等级相同B．C．乙、丙的成绩等级相同D．答案D解析由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，AC丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的．7(201·π＝；4＝2＝π3.应用合情推理，若3四维空间中“特级球”的三维测度＝1π，则其四维测度＝ .答案3π4解析＝＝π2；观察发现4′＝π＝π′3＝，∴四维空间中“特级球”的三维测度＝1π，猜想其四维测度，则3＝π4.8．已知aiaa1aa1122≥ ；3aaaa3aaa1 2 3≥3

；1234≥4aaaa4≥4aaaa1 2 34

1234…a＋a＋…＋a照此规律，当N*2时，1 2n .nanaa…a12 na＋a＋…＋a解析根据题意得1 2

aa…aN*，2．n 12 nx

f

)(fN，则f

(x)的表达1＋x 1

n＋1 n

2019式为 ．x答案f2019

1＋2019xx xx 1＋x x 1＋2x x解析f()＝ f()＝ ＝ f(＝ ＝ …f(＝(f())1 1＋x

x 1＋2x1＋ x

x 1＋ x

n＋1 n1＋x＝1＋(n＋1)x，x

1＋2归纳可得f.2019

1＋2019x定理＝＋2垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S，截面面积为1 2 3的结论．答案22＋2＋21 2 3解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：2＝2＋122.2 311(201诀自诩无所阻，额上坟起终不悟22＝322＝32，33

3 3 4＝4，415＝ 3＝4，4158 8 1555245524＝5，……，248n＝8n＝则按照以上规律，若8 n 具有“穿墙术，则＝ .答案63222－1222－1＝2，23解析∵2 3332－1332－1＝3，383 ＝38442－1442－1＝4，4154 ＝415552－1552－1＝5，5245 ＝5248∴按照以上规律8

88，可得82－＝63.1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理2201820172除余1且被3除余1a}，则此数列的项数为n 答案336解析因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项ann n n 16＋1≤2018

≤2017，所以

≤336.6所以此数列的项数为336.一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束(0，1)，第41，1)，那么第2018步结束时该质点所在位置的坐标．答案(16，－22)解析当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动22 n 22坐标为－，－.而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2018，即(＋1≤2018N*)，解得44.198038(16，－22)．14．(2019·贵州适应性考试)为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定aaahaaahh＝a123 11232 1 1a，h＝h a，运算规则为0＝0，0 1＝1，1 例如：原信息2 2 1 3为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则列接收信息出错的( )A．01100B．11010C．10110D．11000答案D解析A选项原信息为110，则h＝a a＝1 ＝h

a＝0 0＝0，所以传输信1 1 2息为01100，A选项正确；B选项原信息为101则h＝a a1 ＝hh

2 1 3a＝1 11101，B选项正确；

1 1 2

2 1 3C选项原信息为011h＝a

a0 ＝hh

a＝1 11011，C选项正确；

1 1 2

2 1 3D选项原信息为100h＝a

a1 ＝hh