2021-2022学年山西省大同市新世纪中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年山西省大同市新世纪中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则复数=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.（5分）（2014?天津学业考试）已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3参考答案：C【分析】：利用直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断，成立的证明，不成立的可举出反例．解；①∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，又∵m?β，∴l⊥m，①正确．②由l⊥m推不出l⊥β，②错误．③当l⊥α，α⊥β时，l可能平行β，也可能在β内，∴l与m的位置关系不能判断，③错误．④∵l⊥α，l∥m，∴m∥α，又∵m?β，∴α⊥β故选C【点评】：本题主要考查显现，线面，面面位置关系的判断，属于概念题．3.对于定义域为的函数，若满足①；②当，且时，都有；③当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；；；.则其中是“偏对称函数”的函数个数为A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：B4.函数y=的图象与函数y=2sinπx，（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．8 B．6 C．4 D．2参考答案：A【考点】数列与函数的综合；数列的求和．【分析】函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：函数y1=，y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，如图，当1＜x≤4时，y1＜0而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（1，）和（，）上是减函数；在（，）和（，4）上是增函数．∴函数y1在（1，4）上函数值为负数，且与y2的图象有四个交点E、F、G、H相应地，y1在（﹣2，1）上函数值为正数，且与y2的图象有四个交点A、B、C、D且：xA+xH=xB+xG=xC+xF=xD+xE=2，故所求的横坐标之和为8．故选：A．5.（文）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．参考答案：6.非零向量使得成立的一个充分非必要条件是

(

)A.

B.

C.

D.

参考答案：D

7.函数的最大值与最小值之和为（

）

A.B.0C.－1D.参考答案：A因为，所以，则，所以当时，函数的最小值为；当时，函数的最大值为，所以最大值与最小值之和为.选A.8.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．840参考答案：C【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．9.已知是虚数单位，则(

)

A． B． C． D．参考答案：A略10.设n∈N*，则=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】归纳推理．【分析】利用数列知识，即可求解．【解答】解：=．故选A．【点评】本题主要考查推理证明的相关知识，比较基础．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，,,则的面积是_

_.参考答案：略12.若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在区间［0，］上的最大值是，则ω＝

参考答案：13.若，则二项式（）6的展开式中的常数项为

参考答案：160略14.已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是

.参考答案：15.已知长方体内接于球，底面是边长为的正方形，为的中点，平面，则球的表面积为

．参考答案：16.已知f（x）=2x3+ax2+b﹣1是奇函数，则a﹣b=

．参考答案：-1略17.设数列{an}的前n项和为Sn，若（n∈N*），则=

．参考答案：1【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质即可得出．【解答】解：∵（n∈N*），∴n=1时，，解得a1=．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣﹣，化为：=．∴数列{an}是等比数列，首项为，公比为．∴==1．故答案为：1．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx﹣（1+a）x﹣1（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜﹣﹣a（x+1）．参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数以及函数的定义域，（1）当a≤﹣1时，f′（x）的符号，判断f（x）的单调性．（2）当a＞﹣1时，由f′（x）的符号以及好的单调性．（Ⅱ）当a＜1时，要证在（0，+∞）上恒成立，转化为只需证在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出两个函数的导函数，然后求解两个函数的最值，通过F（x）max＜g（x）min，得到a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），恒成立．【解答】解：（Ⅰ）由题知…（1）当a≤﹣1时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增…（2）当a＞﹣1时，由f′（x）＞0得，由f′（x）＜0得即f（x）在上递增；

在上上递减…综上所述：当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上递增；当a＞﹣1时，f（x）在上递增，在上递减…（Ⅱ）当a＜1时，要证在（0，+∞）上恒成立只需证在（0，+∞）上恒成立令，因为易得F（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故F（x）≤F（1）=﹣1…由得当0＜x＜e时，g′（x）＜0；

当x＞e时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，e）上递减，在（e，+∞）上递增．所以…又a＜1，∴，即F（x）max＜g（x）min所以在（0，+∞）上恒成立故当a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），恒成立…19.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线的极坐标方程为:,点,参数.(Ⅰ)求点轨迹的直角坐标方程;

(Ⅱ)求点到直线距离的最大值.参考答案：解:(Ⅰ)且参数,所以点的轨迹方程为-------------------------------4分

(Ⅱ)因为,所以,所以,所以直线的直角坐标方程为

法一:由(Ⅰ)点的轨迹方程为,圆心为,半径为2.,所以点到直线距离的最大值-------10分法二:,当,,即点到直线距离的最大值

--------10分略20.已知椭圆E：，左焦点是F1．（1）若左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．求椭圆E的方程；（2）过原点且斜率为t（t＞0）的直线l1与（1）中的椭圆E交于不同的两点G，H，设B1（0，1），A1（2，0），求四边形A1GB1H的面积取得最大值时直线l1的方程；（3）过左焦点F1的直线l2交椭圆E于M，N两点，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，其中p是常数，设，，计算λ+μ的值（用p，a，b的代数式表示）．参考答案：【考点】KQ：圆锥曲线的定值问题；K3：椭圆的标准方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．列出方程组求解a，b可得椭圆方程．（2）设直线l1的方程y=tx，联立，求解，，，推出四边形A1GB1H的面积，求出最大值，然后求解直线方程．

（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合题设，，求解λ+μ即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）左焦点F1与椭圆E的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上．∴，所以椭圆方程

（2）设直线l1的方程y=tx联立，可以计算，，∴，∴，所以直线l1的方程是

（3）设直线l2的方程y=k（x+c）交椭圆b2x2+a2y2﹣a2b2=0于M（x1，y1），N（x2，y2），（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2k2c2﹣a2b2=0，直线l2交直线x=﹣p（p＞0）于点P，根据题设，，得到（x1+p，yp）=λ（﹣c﹣x1，0﹣y1），（x1+p，yp）=λ（﹣c﹣x2，0﹣y2），得，==﹣=﹣==λ+μ的值为：结论21.（本小题满分14分）已知函数．（1）求在上的最大值；[来源:gkstk.Com]（2）若直线为曲线的切线，求实数的值；（3）当时，设，且，若不等式恒成立，求实数的最小值．参考答案：（1），…………2分令，解得（负值舍去），由，解得．（ⅰ）当时，由，得，在上的最大值为．…………………3分（ⅱ）当时，由，得，在上的最大值为．……4分（ⅲ）当时，在时，，在时，，在上的最大值为．…………………5分（2）设切点为，则

……………6分由，有，化简得，即或，……………①

由，有，……………②由①、②解得或．

……………9分（3）当时，，由（2）的结论直线为曲线的切线，，点在直线上，根据图像分析，曲线在直线下方．…………10分下面给出证明：当时，．

，当时，，即．………12分，，．要使不等式恒成立，必须．……………13分又当时，满足条件，且，因此，的最小值为．

…………………14分22.（12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了80斤米粉，以x（斤）（其中）表示米粉的需求量，T（元）表示利润.（1）估计该天食堂