自动控制原理第五章频率法

自动控制原理第五章频率法第一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三第一节频率特性输入正弦信号：e1=E1Sinwt在稳态下输出：e2=E2Sin(wt+φ)仍是正弦信号,频率不变,幅值和相角发生变化.变化与w有关.1/jwC

1写成矢量形式：e2=—————e1=————e1

R+1/jwC

1+jwRC

e21-—=————与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关

e11+jwRCG(jw)=1/(1+jwRC)——频率特性线性系统或环节在正弦函数作用下稳态输出与输入之比。第二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三频率特性幅相特性:G(jw)=A(w)ejφ(w)

幅频特性：A(w)=|G(jw)|A(w)=|e2/e1|=1/[1+(wRC)2]1/2相频特性：φ(w)=∠G(jw)

φ(w)=φ2(w)-φ1(w)=-tg-1(RCw)实虚特性:G(jw)=P(w)+jQ(w)

实频特性

P(w)=Re[G(jw)]虚频特性

Q(w)=Im[G(jw)]第三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三幅相特性与传递函数之间的关系

频率特性----传递函数?

b0Sm+…+bmC(S)=G(S)R(S)=——————R(S)

a0Sn+…+anr(t)=Arsimwt，R(S)=Arw/(S2+w2)

b0Sm+…+bmArw

C(S)=———————*———

a0Sn+…+anS2+w2CiBD=Σ——+[———+———]

i=1S-SiS+jwS-jw

式中：Si——特征根.

Ci，B，D——待定系数第四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三幅相特性与传递函数之间的关系

C(t)=ΣCieSit+Be-jwt+Dejwt

对于稳定的系统，特征根Si具有负实部，C(t)的第一部分瞬态分量ΣCieSit将随时间t的延续而逐渐消失，C(t)的稳态输出为：

CS(t)=Be-jwt+Dejwt

其中：B=G(S)*[Arw/(S2+w2)](S+jw)|S=-jw=G(-jw)Arw/(S-jw)|S=-jw=|G(jw)|e-j∠G(jw）Ar/(-2j)=|G(jw)|Are-j[∠G(jw-π/2)]/2

同理：D=|G(jw)|Arej[∠G(jw-π/2)]/2第五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三幅相特性与传递函数之间的关系CS(t)=[|G(jw)|/2]Are-j[∠G(jw-π/2)]+[|G(jw)|/2]Arej[∠G(jw-π/2)]=[|G(jw)|/2]Ar{e-j[∠G(jw-π/2)]+ej[∠G(jw-π/2)]}=|G(jw)|Arcos[wt+∠G(jw)-π/2]=|G(jw)|Arsin[wt+∠G(jw)]=Acsin(wt+φ）系统的稳态输出CS(t)是与输入同频的正弦振幅：Ac=|G(jw)|Ar

相位:φ=∠G(jw)第六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三幅相特性与传递函数之间的关系输出输入的振幅比（幅频特性）：

A(w)=Ac/Ar=|G(jw)|=G(S)|S=jw输出输入的相位差（相频特性）：

φ(w)=φ-0=∠G(jw)=∠G(S)|S=jw所以：G(jw)=G(S)|S=jw

频率特性传递函数证毕第七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三一、幅相频率特性(Nyquist曲线)G(jw)=A(w)ejφ(w)矢量的长度=A(w)相对于极坐标轴的转角=φ(w)当w由0到∞变化时，G(jw)矢量的终端描绘出一条曲线——称为Nyquist曲线。一条曲线,同时表示幅频和相频特性----幅相频率特性.第八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三幅相频率特性绘制方法:1.G(jw)=A(w)ejφ(w)

计算幅值,幅角相对简单,

但计算幅角时有时会遇到多值性的问题.2.G(jw)=P(w)+jQ(w)

计算实部,虚部相对复杂.第九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三二、对数频率特性（Bode图）通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形——对数频率特，也称Bode图。

G(jw)=A(w)ejφ(w)lgG(jw)=lgA(w)+jφ(w)lge=lgA(w)+j0.434φ(w)

两张图：对数幅频特性,对数相频特性第十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三对数频率特性对数幅频特性图纵坐标：L(w)=20lg|G(jw)|=20lgA(w)单位：分贝(db)线性分度A(w)每变化10倍，L(w)变化20db。横坐标：w单位：1/S对数分度w每变化10倍，横坐标变化一个单位长度。第十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三对数频率特性对数相频特性图纵坐标：φ(w)=∠G(jw)

单位：度线性分度横坐标：w

单位：1/S

对数分度

w每变化10倍，横坐标变化一个单位长度对数幅频特性+对数相频特性=对数频率特性（Bode图）第十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三对数频率特性特点：

1、对串联环节，变乘为加；

2、有近似画法；

3、高低频特性兼顾。第十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三第二节基本环节的频率特性一、比例环节

传递函数：G(S)=K

幅相频率特性：G(jw)=K=K+j0第十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三比例环节对数频率特性：L(w)=20lgA(w)=20lgK

φ(w)=0

K﹥1，20lgK﹥0dbK﹤1，20lgK﹤0db

第十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三惯性环节传递函数：G(S)=K/(TS+1)幅相频率特性：G(jw)=K/(jwT+1)K=1时，G(jw)=P(w)+jQ(w)=1/(1+T2w2)-jTw/(1+T2w2)

W

Re

Im

0

1

0

1/T

1/2

-1/2∞

0

0第十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三惯性环节对数频率特性：对数幅频（近似画法）：

L(w)=20lgA(w)=-20lg(1+T2w2)1/2

低频段:w＜＜1/T，L(w)≈-20lg1=0db

高频段:w＞＞1/T，L(w)≈-20lgTw(直线)w=1/T，L(w)=-20lgTw=0db(w=1/T处过横轴)w1=10/T，L(w1)=-20lgTw1=-20lg10=-20db

斜率：-20db/dec（每十倍频程-20db）转折频率：1/T对数相频：

φ(w)=∠G(jw)=∠[1/(1+jTw)]=-tg-1Tw

Wφ（w）

0

0

1/T-45°∞-90°第十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三惯性环节1/T处误差最大：误差=实际值-近似值

=-20lg(1+T2w2)1/2︱w=1/T-0

=-20lg21/2-0

=-3db

第十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三积分环节传递函数：

G(S)=1/S幅相频率特性：

G(jw)=1/(jw)=0–j(1/w)

W

Re

Im

0

0

-∞

1

0

-1∞

0

0第十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三积分环节对数频率特性：

L(w)=20lgA(w)=-20lgw直线

w=1，L(w)=0，（过横轴）

斜率：-20db/dec

φ(w)=-90°φ(W)WW-20db/dec1/T00-90°第二十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三振荡环节传递函数：G(S)=Wn2/(S2+2ζWnS+Wn2)

=1/(T2S2+2ζTS+1)

标准形式

幅相频率特性：G(jw)=1/(1-T2w2+j2ζTw)A(w)=1/[(1-T2w2)2+(2ζTw)2]1/2φ(w)=-tg-1[2ζTw/(1-T2w2)]

WA(w)φ(w)0101/T1/(2ζ)-90°∞0-180°第二十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三振荡环节对数频率特性：

L(w)=20lgA(w)

=-20lg[(1-T2w2)2+(2ζTw)2]1/2

低频段：w＜＜1/T，

L(w)≈-20lg1=0db高频段：w＞＞1/T，

L(w)≈-20lgT2w2

=-40lgTw直线斜率：-40db/dec(每十倍频程-40db)转折频率：w=1/Tφ(w)=-tg-1[2ζTw/(1-T2w2)]第二十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三振荡环节误差=实际值-近似值

=-20lg[(1-T2w2)2+(2ζTw)2]1/2︱w=1/T-0

=-20lg(2ζ)db误差除与w有关,还与ζ有关.ζ＞0.5负误差ζ＜0.5正误差令:dA(w)=0,可得峰值频率:wm=wn(1-2ξ)1/2ζ＞0.707,无峰值频率ζ＜0.707,wm＜wn,转折频率前出现峰值.ζ=0,wm=wn,信号频率(峰值频率)=自然振荡频率----共振.第二十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三微分环节理想微分环节

G(S)=S

是积分环节的倒数

L2(w)=-L1(w)φ2(w)=-φ1(w)

第二十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三微分环节一阶微分环节

G(S)=TS+1

是惯性环节的倒数二阶微分环节

G(S)=T2S2+2ζTS+1

是振荡环节的倒数。第二十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三一阶不稳定环节具有正实部特征根（即不稳定根）的环节----不稳定环节。传递函数:G(S)=1/(TS-1)频率特性:G(jω)=1/(jωT-1)幅频特性:与惯性环节相同

相频特性:与惯性环节不同实频特性:

与惯性环节不同虚频特性:与惯性环节相同第二十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三一阶不稳定环节

当由0变化时，惯性环节的相频由0趋向于-90；相位角的绝对值小,称为最小相位环节.

一阶不稳定环节的相频则由-180趋向-90。相位角的绝对值大称为非最小相位环节.

推广之，传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统）称为非最小相位环节（或系统），而传递函数中没有右极点、右零点的环节（或系统）则称为最小相位环节（或系统）。第二十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三一阶不稳定环节一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所不同，是在-180至-90范围内变化.第二十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三时滞环节传递函数：

G(S)=e-τS幅相频率特性：

G(jw)=e-jτw

A(w)=1

φ(w)=-τw第二十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三时滞环节对数频率特性：

L(w)=20lgA(w)=20lg1=0φ(w)=-τw

（横坐标对数分度，曲线）第三十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三第三节系统开环频率特性一、系统开环幅相频率特性简单系统常用的两种方法:

GK(jw)=P(w)+jQ(w)

无tg-1的多值性问题.

GK(jw)=A(w)ejφ(w)

较简单，可与对数特性兼容.

第三十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环幅相频率特性举例例1:试绘制某0型单位负反馈系统的开环幅相频率特性。

GK(S)=K/[(1+T1S)(1+T2S)]解：

GK(jw)=K/[(1+jT1w)(1+jT2w)]A(w)=K/[(1+T12w2)1/2(1+T22w2)1/2]φ(w)=-tg-1T1w-tg-1T2wWA(w)φ(w)0K01/Ta-b°∞0-180°第三十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环幅相频率特性举例例2:试绘制某I型单位负反馈系统的开环幅相频率特性。

GK(S)=K/[S(1+TS)]解：

GK(jw)=K/[jw(1+jTw)]A(w)=K/[w(1+T2w2)1/2]φ(w)=-90°-tg-1TwWA(w)φ(w)0∞-90°1/TKT/21/2-135°∞0-180°第三十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三2.复杂系统开环频率特性复杂系统是由多个环节环节组成,若逐点计算绘图十分繁琐.工程上常用概略幅相曲线绘制法.(1).将开环传递函数按典型环节分解K(T1S+1)…KlGK(S)=------------------------------------=----∏Gi(S)SV(T2S+1)(T2S2+2ζTS+1)…SVi=1式中：Ｋ----开环增益V----积分(微分)环节数Gi(S)----除K/SV外的其它典型环节第三十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(2).确定幅相曲线的起点和终点A.起点

ω→0(低频段),除比例,积分(微分)环节外,其它典型环节的幅相特性均为1.KGK(j0)=lim-------

ω→0(jω)V

0;V＜0即微分环节│GK(j0)│=│K│;V=0即无微分,积分环节∞;V＞0即有积分环节∠GK(j0)=-90°V;K＞0-90°V-180°;K＜0第三十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(2).确定幅相曲线的起点和终点B.终点

ω→∞(高频段),频率特性的幅值与分子分母多项式的阶次差(n-m)有关.│GK(j∞)│=0;n＞m│K│;n=m

∠GK(j∞)=-90°(n–m);K＞0-90°(n–m)-180°;K＜0当n＞m时，幅相曲线趋于原点,并按-90°(n–m)角与实轴或虚轴相切.第三十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(3).确定幅相曲线与负实轴的交点及中频段的其他特征点A.幅相曲线与负实轴的交点令:Im[GK(jω)]=0或∠GK(jω)=(2K+1)∏

解出ω,再代入Re[GK(jω)]中,即得幅相曲线与负实轴的交点.B.幅相曲线与虚轴的交点令:Re[GK(jω)]=0解出ω,再代入Im[GK(jω)]中,即得幅相曲线与虚轴的交点.第三十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三确定幅相曲线与负实轴的交点及中频段的其他特征点例:系统的开环频率特性如下,试绘制其幅相频率特性.10GK(jω)=------------------------------jω(1+j0.2ω)(1+j0.05ω)解:此系统:m=0n–m=3V=1低频段:ω→0时,GK(jω)=∞∠-90°高频段:ω→

∞时,GK(jω)=0∠-270°第三十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三确定幅相曲线与负实轴的交点及中频段的其他特征点中频段:令Im[GK(jω)]=0解出ω=±10取ω=10代入Re[GK(j10)]=-0.4即为幅相曲线与实轴的交点.再令Re[GK(jω)]=0解出ω=0为幅相曲线的起点.曲线与虚轴交于无穷远处.-0.40ReIm第三十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三二、系统开环对数频率特性的绘制开环传递函数由几个基本环节串联组成：

GK(S)=G1(S)G2(S)…Gn(S)

A(w)ejφ(w)=A1(w)ejφ1(w)…An(w)ejφn(w)A(w)=A1(w)…An(w)L(w)=20lgA(w)

=20lgA1(w)+20lgA2(w)+…+20lgAn(w)

第四十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三系统开环对数频率特性的绘制L(w)=L1(w)+L2(w)+…+Ln(w)由串联基本环节的幅频特性相加

φ(w)=φ1(w)+φ2(w)+…+φn(w)由串联基本环节的相频特性相加第四十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三例1:绘制系统开环对数频率特性

GK(S)=10/[(1+T1S)(1+T2S)]

解：

GK(S)=10[1/(1+T1S)][1/(1+T2S)]

系统开环传递函数由三个典型环节串联组成

比例环节：10

惯性环节：1/(1+T1S)

惯性环节：1/(1+T2S)L(w)=20lg10-20lg[(1+T12w2)1/2]-20lg[(1+T22w2)1/2]

φ(w)=-tg-1T1w-tg-1T2w

系统开环对数频率特性的绘制举例第四十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三绘制近似对数幅频特性更简便的方法1．确定低频段

20lgK，纯微分(纯积分)2．每遇一转折频率，改变一次斜率惯性：增加-20db/dec

振荡：增加-40db/dec

一阶微分：增加+20db/dec

二阶微分：增加+40db/dec第四十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例例:GK(S)=10*[1/(1+T1S)]*[1/(1+T2S)]

低频段:20lg10=20db

转折频率:1/T1

惯性-20db/dec1/T2

惯性-20db/decL(W)2001/T11/T2第四十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三例2：绘制系统开环对数频率特性

GK(S)=10/[S(1+0.1S)]

解：

L(w)=20lg10–20lgw–20lg[(1+0.12w2)1/2]

φ(w)=-tg-10.1w-90°

低频段：比例

20lg10=20db

积分

20lgw

转折频率：1/0.1=10

惯性-20db/dec举例第四十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例例3：Bode图如图，求传递函数解：低频段:斜率=-20db/dec积分

W=1时,L(W)≠0比例

20lgK=40dbK=100转折频率：2-20db/dec惯性

5+20db/dec一阶微分

20-20db/dec惯性

Gk(S)=(1/S)*(100)*{1/[1+(1/2)S]}*[1+(1/5)S]*{1/[1+(1/20)S]}

=800(S+5)/[S(S+2)(S+20)]第四十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三第四节用频率法分析控制系统的稳定性闭环系统的稳定性，可以用系统的开环特性来判断。因为开环模型中包含了闭环的所有元部件，包含了所有环节的动态结构和参数。

由于闭环系统的稳定性取决于闭环特征根的性质，因此用开环特性研究闭环的稳定性，首先应该明确开环特性与闭环特征式的关系。第四十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三一、系统开环频率特性与闭环特征式的关系以单位负反馈系统为例

GB(S)=GK(S)/[1+GK(S)]设：GK(S)=M(S)/N(S)则：GB(S)=[M(S)/N(S)]/{1+[M(S)/N(S)]}

=M(S)/[N(S)+M(S)]其中：N(S)——开环特征式

N(S)+M(S)——闭环特征式取辅助函数：

F(S)=1+GK(S)

=[N(S)+M(S)]/N(S)

=闭环特征式

/开环特征式第四十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三系统开环频率特性与闭环特征式的关系

F(jw)=1+GK(jw)=[N(jw)+M(jw)]/N(jw)

其中：GK(jw)——开环频率特性

N(jw)+M(jw)——闭环特征式

1+GK(jw)=[N(jw)+M(jw)]/N(jw)1+开环频率特性=闭环特征式/开环特征式第四十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三二、Nyquist稳定判据

开环幅相频率特性——闭环稳定性

当W由0到∞变化时，辅助向量函数[1+GK(jw)]在其复平面中的幅角增量为pπ角，则闭环系统稳定。

△∠[1+GK(jw)]=pπ

w:0→∞

其中：p——开环特征方程N(S)=0中，右根(实部为正的根)的个数。第五十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三Nyquist稳定判据证明

1+GK(jw)=[N(jw)+M(jw)]/N(jw)*GK(S)=M(S)/N(S)

因为M(S)的阶次不高于N(S)的阶次，所以*式分子分母同阶。可写成：

1+GK(jw)=KП(jw-Si)/П(jw-Pi)Si——闭环特征根

Pi——开环特征根

K——闭环和开环特征式最高阶次项系数之比上式的幅角当W由0到∞变化时的增量为：△∠[1+GK(jw)]=Σ△∠(jw–Si)-Σ△∠(jw–Pi)**第五十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三Nyquist稳定判据证明∠[1+GK(jw)]=Σ△∠(jw–Si)-Σ△∠(jw–Pi)**设ɑi为特征根（包括Si和Pi），分四种情况：1．当ɑi为负实根当W由0到∞变化时,子项(jw–ɑi)的幅角增量为△∠(jw-ɑi)=△∠(jw+|ɑi|)=π/2第五十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三Nyquist稳定判据证明2．当ɑi为正实根当W由0到∞变化时,子项(jw–ɑi)的幅角增量为△∠(jw-ɑi)=△∠(jw-|ɑi|)=-π/2第五十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三Nyquist稳定判据证明3．当ɑi为负实部的共轭复根ɑi±jwi△∠[jw–(ɑi+jwi)]+△∠[jw–(ɑi–jwi)]=△∠[j(w–wi)+|ɑi|]+△∠[j(w+wi)+|ɑi|]=(π/2+β)+(π/2–β)=2π/2

每个根的平均幅角增量为π/2.第五十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三Nyquist稳定判据证明4．当ɑi为正实部的共轭复根ɑi±jwi△∠[jw–(ɑi+jwi)]+△∠[jw–(ɑi-jwi)]=△∠[j(w–wi)-|ɑi|]+△∠[j(w+wi)-|ɑi|]=-(π/2+β)–(π/2–β)=-2π/2

每个根的平均幅角增量为-π/2.第五十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三Nyquist稳定判据证明

综合情况1,2,3,4，特征根(包括Si和Pi)实部为负，则子因式(jw-ɑi)的幅角增量平均为π/2；实部为正，则子因式的幅角平均增量为-π/2。闭环系统稳定，必须使其n个闭环特征根Si的实部均为负。故对闭环稳定系统，**式应为：△∠[1+GK(jw)]=nπ/2-[(n-p)π/2-pπ/2]=pπ其中：第一项nπ/2表示n个闭环特征根全部为负；

第二项(n-p)π/2表示(n-p)个开环特征根为负；

第三项pπ/2表示p个开环特征根为正.证毕第五十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三三、稳定判据的推论推论1．若系统是开环稳定的(最小相位系统)，p=0

则闭环稳定的条件为：△∠[1+GK(jw)]=0第五十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三稳定判据的推论推论2．

[1+GK(jw)]平面的坐标原点=[GK(jw)]平面的(-1+j0)点

[1+GK(jw)]向量对其原点的转角相当于GK(jw)曲线对(-1，j0)点的转角。因此判据可改为：当W由0到∞变化时，开环幅相特性GK(jw)曲线绕(-1，j0)点转pπ角，则闭环稳定。若开环稳定(p=0)，则当W由0到∞变化时，GK(jw)曲线绕(-1，j0)点转角为零[或曰不包围(-1，j0)点]，则闭环稳定。第五十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三稳定判据举例例：单位负反馈系统的开环幅相特性曲线分别如下，试判断各闭环系统的稳定性.解:第五十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三四、对特殊情况(开环零根)的处理例1：GK(S)=K/[S(TS+1)]，试用乃氏判据判稳。解：

GK(jw)=K/[jw(jwT+1)]A(w)=K/[w(1+T2w2)1/2]φ(w)=-90°-tg-1Tw

开环零根(开环临界稳定)，

p=？怎么应用乃氏判据?WA(w)φ(w)0∞-90°1/TKT/21/2-135°∞0-180°第六十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三对特殊情况(开环零根)的处理解决方案：将零根视为稳定根。但稳定根的子因式(jw-ɑi)，当W由0到∞变化时，其幅角增量平均为π/2；而零根的子因式(jw-0)，当W由0到∞变化时，其幅角增量为0。为使二者一致，假设：零根的子因式(jw-0)在w=0时从正实轴开始，以无穷小的半径转至虚轴,之后再随w的增加沿虚轴趋向无穷。即补充一个π/2的小圆弧.则零根即可相当于稳定根。第六十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三对特殊情况(开环零根)的处理从G（jw）曲线看，jw在个G（jw）的分母上。无穷小半径—无穷大半径，正转π/2----转π/2。相当于在w=0处给幅相曲线补充一个半径为无穷大，负转π/2的大圆弧,之后再随w的增加按原曲线变化。本例中,视为P=0,当W由0到∞变化时，曲线不包围（-1，j0）点。系统稳定。第六十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例例2：GK(S)=K/[S2(TS+1)]，试用乃氏判据判稳。解：

GK(jw)=K/(jw)2(jwT+1)]A(w)=K/[w2(1+T2w2)1/2]φ(w)=-180°-tg-1Tw

两个零根，补充半径无穷大，负转2π/2=π的大圆弧。

P=0

当W由0到∞变化时，曲线包围（-1，j0）点.

系统不稳定。WA(w)φ(w)0∞-180°1/TKT/21/2-225°∞0-270°第六十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三五、用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性幅相特性与对数特性之间的关系1．幅相特性中的单位圆——对数特性中的0dB线

A(w)=1L(w)=20lgA(w)=0db第六十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性2．幅相特性中的负实轴——对数特性中的-180°线

Φ(w)=-180φ(w)=-180°第六十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性闭环稳定系统（开环也稳定）

φ(wg)=-180°wg的定义

A(wg)＜1稳定条件

A(wc)=1wc的定义

φ(wc)＞-180°稳定条件

第六十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性在对应的对数特性上：

φ(wg)=-180°wg的定义

L(wg)＜0db稳定条件

L(wc)=0dbwc的定义

φ(wc)＞-180°稳定条件（在-180°线以上）第六十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性不稳定系统（开环是稳定的）

φ(wg)=-180°wg的定义

A(wg)＞1不稳定条件

A(wc)=1wc的定义

φ(wc)＜-180°不稳定条件第六十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性在对应的对数特性上：

φ(wg)=-180°wg的定义

L(wg)＞0db不稳定条件

L(wc)=0dbwc的定义

φ(wc)＜-180°不稳定条件第六十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三闭环稳定条件1．对开环是稳定的系统

(最小相位系统，p=0)

φ(w)=-180°时，L(w)＜0db

或写成:L(wg)＜0db

L(w)=0db时，φ(w)＞-180°

或写成:φ(wc)＞-180°第七十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三闭环稳定条件2．对开环是不稳定的系统

(非最小相位系统，p≠0)

在L(w)＞0的范围内，φ(w)曲线对-180°线的正、负穿越次数之差为p/2.

当有多个wc时，选用最大的一个。正穿越：自下而上。负穿越：自上而下。第七十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例例：系统的开环传递函数为：

GK(S)=K/[S(TS+1)]

试用Bode图判断系统在闭环时的稳定性。解：画Bode图.p=0φ(wc)＞-180°系统闭环稳定。第七十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三六.控制系统的相对稳定性相对稳定性——衡量稳定的程度。最小相位系统稳定与否取决于GK(jw)曲线是否包围(-1，j0)点，所以GK(jw)曲线离(-1，j0)点越远，稳定的程度越高。

第七十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三1、相角裕度

在|GK(jw)|=1的频率Wc上，使闭环系统达到临界状态[GK(jw)曲线通过(-1,j0)点]所需附加的相移量称为相角裕度。

γ=180°+∠GK(jwC)γ＞0稳定

γ=0临界稳定

γ＜0不稳定第七十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三2、幅值裕度在∠GK(jw)=-180°的频率Wg上，|GK(jwg)|

的倒数称为幅值裕度。

Kg=1/|GK(jwg)|

用db表示时：

20lgKg=-20lg|GK(jwg)|Kg＞1(20lgKg＞0)稳定

Kg=1(20lgKg=0)临界稳定

Kg＜1(20lgKg＜0)不稳定对于复杂的系统，必须:γ＞0，Kg＞1都成立，系统才稳定。第七十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例例1:系统如图试求当K=10和K=100时的幅值裕度和相角裕度。第七十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例解：⑴．图解法将GK(S)化成标准形式

GK(S)=(1/5)K/{S(S+1)[(1/5)S+1]}

当K=10时

GK(S)=2/{S(S+1)[(1/5)S+1]}20lg2≈6db

由图中可得：γ≈20°Kg≈8db

系统稳定。第七十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例当K=100时GK(S)=20/{S(S+1)[(1/5)S+1]}20lg20≈26db由图中可得：γ≈-40°Kg≈-12db系统不稳定。第七十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例⑵．计算法计算思路：令：|GK(jw)|=1,解得wC

相角裕度：γ=180°+∠GK(jwC)

令:Im[GK(w)]=0,解得wg

幅值裕度：Kg=-20lg|GK(jwg)|

第七十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例当K=10时:GK(S)=K/[S(S+1)(S+5)]令:|GK(jw)|=10/[w(1+w2)1/2(25+w2)1/2]=1解得:w=wC=1.23相角裕度:γ=180°+[-90°-tg-11.23-tg-1(1.23/5)]=25.3°又:GK(jw)=10/[jw(jw+1)(jw+5)]

=10/[-6w2+j(5w-w3)]令:Im[GK(w)]=5w-w3=0解得:

w=wg=51/2幅值裕度:Kg=-20lg|GK(j51/2)

|=-20lg{10/[51/2(5+1)1/2(5+25)1/2]}=9.54db系统稳定。第八十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例当K=100时

wC=3.19γ=-23.68°

wg=51/2Kg=-10.46db

系统不稳定。第八十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三第五节开环频率特性与系统动态性能的关系开环传递函数包含了系统中所有元部件,因此系统的开环频率特性对系统闭环后的动态性能肯定应有所表现.第八十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环频率特性与系统动态性能的关系一.低频段低频段----L(W)的近似线在第一个转折频率以前的区段.

这一区段的特性完全取决于积分环节和开环增益.主要反映系统的稳态精度.

设低频段对应的传递函数:G(S)=K/SV

对应的对数频率特性:20lg︱k/w︱=020lg│G(jw)│=20lgK–V20lgwk=w0(V=0)-20(V=1)-40(V=2)-60(V=3)0K1/3K1/2KwL(w)K第八十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环频率特性与系统动态性能的关系20lg│G(jw)│=20lgK–V20lgw斜率=-20Vdb/dec高度由K决定:

将低频段对数幅频的延长线交于0db线,

即20lg(k/wV)=0K=wV或曰交点处的w=K1/V

斜率绝对值越大,对应串联的积分环节越多,稳态精度越高.

位置越高,开环增益越大.0(V=0)-20(V=1)-40(V=2)-60(V=3)0K1/3K1/2KwL(w)K第八十四页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环频率特性与系统动态性能的关系二.中频段中频段----L(W)的近似线在剪切频率WC附近的区段.

这一区段的特性集中反映系统动态响应的稳定性和快速性.1.中频段有较宽的-20db/dec斜率对应的开环传递函数:GK(S)≈K/S=Wc/S

对于闭环传递函数:GB(S)=GK(S)/{1+GK(S)]=1/[(1/Wc)S+1]

相当于一阶系统,阶跃响应无振荡,有较好的稳定性.-20db/decwcw0L(w)近似

实际第八十五页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环频率特性与系统动态性能的关系2.频段有较宽的-40db/dec斜率对应的开环传递函数:GK(S)≈K/S2=Wc2

/S2对于闭环传递函数:GB(S)≈Wc2

/(S2

+Wc2

)相当于零阻尼的二阶系统,输出等幅振荡.如中频段的斜率为-40db/dec,则所占频率区间不宜过宽,否则σ%及ts将会显著增大.中频段的斜率在-40db/dec以上,则闭环系统将难以稳定.-40db/decwcL(w)0第八十六页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三开环频率特性与系统动态性能的关系三.高频段高频段----L(W)在中频段以后(W＞Wc)的区段.

这一区段的特性决定了系统的抗干扰能力.远离Wc,分贝值较低,对系统动态性能影响不大.20lg│G(jw)│﹤﹤0│G(jw)│﹤﹤1

对单位负反馈系统:│GB(jw)│=│GK(jw)│/[1+│GK(jw)│]≈│GK(jw)│

即闭环幅频特性约等于开环幅频特性．系统开环对数幅频特性在高频段的幅值,直接反映了对输入高频干扰信号的抑制能力.分贝值越低,抗干扰能力越强.第八十七页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三第六节系统的闭环频率特性一.闭环频率特性的绘制(一).一般方法GB(S)=GK(S)/[1+GK(S)](单位负反馈)GK(jw1)=OA=│OA│ejφ

1+GK(jw1)=1+OA=PA=│PA│ejθGB(jw)=GK(jw)/[1+GK(jw)]=OA/PA=[│OA│/│PA│]ej(φ-θ)OAP(-1)(w=w1)φθ第八十八页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三系统的闭环频率特性GB(jw)=[│OA│/│PA│]ej(φ-θ)闭环频率特性的幅值等于向量OA与PA幅值之比,相角等于向量OA与PA相角之差.只要分别测出不同频率处向量的幅值和相角,就可以逐点地画出闭环频率特性曲线.第八十九页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(二).等M圆开环频率特性:GK(jw)=X(w)+jY(w)闭环频率特性:

GK(jw)X+jYGB(jw)=----------=-----------=M(w)eja(w)1+GK(jw)1+X+jY

其中:X2+Y2

M2(w)=-----------(1+X)2+Y2

可改写为:M2M2Y2+(X+------)2=----------M2-1(M2–1)2第九十页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(二).等M圆圆的方程:

圆心:X0=-M2/(M2–1)Y0=0

半径:r0=M

/(M2–1)

给出不同的M值,便可得到一簇圆(等M圆).第九十一页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(二).等M圆1.当M>1时，M圆的半径随着M值的增大而减小，位于负实轴上的圆心不断向（-1，j0）点靠近。M=∞时，r0=0，x0=-1，最后收敛于(-1,j0)点。2.当M=1时，r0=∞，x0=-∞。故M=1的圆为一个圆心在无穷远处，半径为∞的圆。它实际上是一条平行于Y轴的直线.3.当M<1时，随着M值的减小，M圆的半径越来越小，其位于正实轴上的圆心不断向坐标原点靠近。当M=0时，r0=0，x0=0，最后收敛于原点。第九十二页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三(三).等M圆的作用

可以事先画出M为不同值的一族等M圆，制成等M圆图。(不论对任何不同的系统，其等M圆图都是相同的)。再在等M圆图上画出具体系统的开环幅相频率特性曲线。曲线与各圆交点，表示在这一频率下所对应的M值，亦即为这一频率所对应的闭环频率特性的幅值。因此，根据不同的各个交点即可绘出闭环幅频特性。第九十三页，共一百零五页，编辑于2023年，星期三举例例:若系统的开环频率特性为:10GK(jw)=---------------------------------------jω(0.2jω+1)(0.05jω+1)

求单位反馈后的闭环幅频特性。解:

将系统的开环频率特性(Nyquist曲线)画在等M圆图上。根据G