自动控制原理四

自动控制原理四聊城大学汽车与交通工程学院第一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院§4-1根轨迹的基本概念根轨迹——当系统的某个参数（如开环增益K）由零变到无穷时，闭环特征根在S平面上移动的根轨迹。设控制系统如图示：第二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院第三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院分析:1.k1变化时,根轨迹均位于左半s平面,系统恒稳定.2.根轨迹有两条,两个起点s1=0,s2=－23.0<k1<1时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态.第四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院4.K1=1时,闭环特征根为一对重根,系统为临界阻尼系统.5.1<k1<∞时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡.6.开环增益K可由根轨迹上对应的k1值求得.k1为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.第五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院Matlab根轨迹第六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院闭环零、极点与开环零、极点间的关系第七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院第八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院第九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院绘制根轨迹的基本条件系统特征方程1+G(s)H(s)=0根轨迹方程

G(s)H(s)=－1幅值条件:|G(s)H(s)|=1相角条件:∠G(s)H(s)=±(2q+1)π,q=0,1,2,…开环传递函数第十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院(1)幅值条件(必要条件)(2)相角条件(充要条件)绘制根轨迹只要依据相角条件就可以,而幅值条件用来确定根轨迹上各点对应的k1值。第十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例单位反馈系统的开环传递函数为

在s平面上取一试验点s1=-1.5+j2.5,试检验它是否为根轨迹上的点；如果是，则确定与它相对应的K1值是多少。第十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院解：开环极点为：p1=0,p2=－2,p3=－6.6;

开环零点为：z1=-4,根据相角条件可知s1确实是根轨迹上的一点。根据幅值条件第十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院§4.2绘制根轨迹图的基本规则以开环根轨迹增益K1为参变量绘制根轨迹的基本规则系统特征方程1+G(s)H(s)=0根轨迹方程

G(s)H(s)=－1180°根轨迹第十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院当时，起点：说明根轨迹起始于开环传递函数的极点，n阶系统共有n个开环极点，每个开环极点都对应根轨迹的一个起点，所以共有n个起点。根据幅值条件1.根轨迹的起点和终点第十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院当时，终点：（1）有m条根轨迹终止于开环传递函数的m个有限零点。把这m个零点称之为系统的有限零点。第十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院当时，（2）有n-m条根轨迹终止于开环传递函数的（n-m）个无限零点。有n-m条根轨迹的终点在无穷远处。我们把无穷远处的零点称之为无限零点。第十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院终点（）：终止于开环传递函数的零点。起点（）：起始于开环传递函数的极点；0=K1包括m个有限远的零点（简称有限零点）和(n-m)个无限远的零点(简称无限零点)。综上所述：第十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院2、根轨迹的分支数和对称性一条完整的根轨迹称为根轨迹的一个分支。所有的根轨迹都是有头有尾、有始有终。根轨迹的分支数等于开环的极点数。根轨迹对称于实轴。第十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院3.实轴上的根轨迹实轴上凡有根轨迹的线段，其右侧实轴的开环零点、极点之和必为奇数。第二十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院4.

根轨迹的渐近线渐近线共有(n-m)条，且相交于实轴上的同一点。

渐近线与实轴的交点为:n-m条渐近线的倾角为:第二十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例1：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。渐近线与实轴正方向的夹角：解：p1=0,p2=-1,p3=-5;z1=-4;n-m=3-1=2条渐近线渐近线与实轴交点：第二十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例2：已知系统的开环传递函数，试确定根轨迹的渐近线。渐近线与实轴交点：渐近线与实轴正方向的夹角：解：p1=0,p2=-1+j,p3=-1-j,p4=-4;z1=-1;n-m=4-1=3条渐近线第二十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院5、根轨迹的分离点与会合点根轨迹是对称的，分离点（会合点）或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平面中。第二十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院方法2：均需检验：代入G(s)H(s)=－1

看K1是否大于0.分离点求解方法1：若无零点：第二十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例：已知开环传递函数

解得s1=-0.423(分离点)

s2=-1.577(略去)分离点：r为重根数，即分离点上根轨迹的分支数。第二十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院6.

根轨迹的出射角和入射角出射角入射角出射角(或入射角)是指根轨迹离开复极点(或终止复零点)处切线的倾角。第二十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院7.

根轨迹与虚轴的交点方法:①用劳斯判据求解;构造劳斯表，出现全零行（第一列不变号）②将s=jω带入特征方程求解。D(s)=0,令s=jω，实部和虚部均为零。第二十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例已知开环传递函数试绘制其根轨迹图。解：1.起点

p1=0,p2=－1,p3=－2,n=3

终点

趋于无穷远处零点m=0

2.实轴上[-1,0],(-∞,-2]之间为根轨迹段3.渐近线

n-m=3条

倾角

交点第二十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院

解得s1=-0.423(分离点)

s2=-1.58(略去)4.分离点5.与虚轴交点

D(s)=s(s+1)(s+2)+K1=0或s3+3s2+2s+K1=0(1)用劳斯判据求解第三十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院

s312

s23k1

s1

s0k1

D(s)=s3+3s2+2s+k1=0第三十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院(2)令特征方程中的s=jw,然后令其实部、虚部分别等于零。D(s)=s3+3s2+2s+k1=0(jw)3+3(jw)2+2(jw)+K1=0化为(K1－3w2)+jw(2－w2)=0根轨迹与虚轴交点第三十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院-6-5-4-3-2-1012-4-3-2-101234-1-20xxxK1=6•jws第三十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院8.闭环极点的和与积

系统特征方程(n>m时)为第三十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例已知与开环传递函数相对应的根轨迹与虚轴的交点，求交点处的临界K1值及第三个特征根。解系统特征方程为s3+3s2+2s+K1=0得s3=－3K1也可以用幅值条件求得。第三十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院根轨迹绘制举例【例1】

已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解（1）

p1=0，p2=-3,p3,4=-1±j，无开环零点。（2）

根轨迹分支数n=4条。（3）

在实轴上[-3,0]之间为根轨迹段。（4）

渐近线n－m=4条。第三十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院(5)由特征方程求分离点。解得根为s1=-2.3,s2,3=-0.73±j0.37(6)求出射角由对称性知qp4=71.60经验证s1是分离点；分离角为±90°第三十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院(7)求根轨迹与虚轴的交点。特征方程s4+5s3+8s2+6s+K1=0s418K1s356s234/5K1s1

s0K1

辅助方程(34/5)s2+K1=0,令s=j，K1=8.16代入上式，求得=±1.1处,对应的K1=8.16。根轨迹如下图。第三十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院-8-6-4-2024-5-4-3-2-1012345

p3

p2

p4

p1

j1.1k1=8.16

第三十九页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院Matlab根轨迹第四十页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院【例2】已知开环传递函数,试绘制根轨迹。解（1）

p1=0，p2=-4,p3,4=-2±j4，无开环零点。（2）

根轨迹分支数n=4条。（3）

在实轴上[-4,0]之间为根轨迹段。（4）

渐近线n－m=4条。第四十一页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院(6)求出射角由对称性知qp4=900(5)求分离点(7)求根轨迹与虚轴的交点第四十二页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院-10-8-6-4-20246-8-6-4-202468σ

p3p4p2

p1

jω

第四十三页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院Matlab根轨迹第四十四页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院§4-3广义根轨迹4.3.1.参数根轨迹1.定义负反馈系统,以非K1为参变量的根轨迹。2.绘制方法:引入等效传递函数的概念,则前述规则均适用。K1为参变量a为参变量第四十五页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院例试绘制系统以a为参变量的根轨迹。解给定系统的特征方程为或s(s+a)+4=0(1)将式(1)化为如下形式该式的特点是：左边写成两部分之和,参变量a只包含在第二部分中,而且是这一部分的一个单独因子。第四十六页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院现用第一部分除全式，得等效开环传函绘制a从零变化到无穷大时的根轨迹(1)起点p1,2=±2j；终点z1=0(2)

在实轴上(-∞,0]之间为根轨迹段(3)会合点(4)出射角第四十七页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院第四十八页，共五十三页，编辑于2023年，星期三聊城大学汽车与交通工程学院4.3.2零度根轨迹正反馈情况下:

系统特征方程1－G(s)H(s)=0根轨迹方程

G(s)H(s)=1幅值条件:|G(s)H(s)|=1相角条件: