信息安全数学基础(许春香)习题答案

信息安全数学基础(许春香)习题答案第一章（1）5,4,1,5.（2）100=22*52,3288=23*3*137.（4）多种解法，其中一种：a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr,b=q1q2––qs，又因为(a,b)=1，表明a,b没有公共(相同)素因子.同样可以将an,bn表示为多个素因子相乘an=(p1p2––pr)n,bn=(q1q2––qs)n明显an,bn也没有公共(相同)素因子.（5）多种解法，其中一种：由算术基本定理：a,b可分解为有限个素数的乘积。得：a=p1^r1*p2^r2*……*pn^rn,b=p1^r1’*p2^r2’*……*pn^rn’,若a|b不成立，则存在素数pi使得pi在a中的幂ri大于pi在b中的幂ri‘，即：ri>ri’a^n=p1^r1n*p2^r2n*…*pi^rin*…*pn^rnn,b^n=p1^r1’n*p2^r2’n*…*pi^ri’n*…*pn^rn’n，则ri*n>ri’*n，所以a^n|b^n不成立。（6）多种解法，其中一种：由于a,b,c互素且非零所以(a,b)=1,(b,c)=1所以存在u,v,r,s使ua+vc=1，rb+sc=1两式相乘得：(ur)ab+(usa+vrb+vsc)c=1所以(ab,c)=(a,b)(a,c)=1（11）对两式进行变形有21=0(modm),1001=0(modm)，可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数,为7和1.（12）多种解法，其中一种：70！=(70*69*68*67*66*65*64*63*62)*61!70*69*68*67*66*65*64*63*62≡(-1)(-2)…(-9)(mod71)≡1mod71所以70！≡61!（13）多种解法，其中一种：当n是奇数时，不妨设n=2k+1,k为整数则2^n+1≡(-1)^(2k+1)+1≡0(mod3)当n是偶数时，不妨设n=2k,k为整数则2^n+1≡(-1)^(2k)+1≡2(mod3)综上，n是奇数时，3整除2^n+1，n是偶数时，3不整除2^n+1（14）第一个问题：因为(c,m)=d.假设ac=k1m+r,bc=k2m+r，有ac=k1d(m/d)+r,bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(modm/d)，因为(c,m/d)=1，所以两边可以同除以一个c,所以结论成立.第二个问题：因为a=b(modm),所以a-b=ki*mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi公倍数，所以[mi]|a-b.（15）将整数每位数的值相加,和能被3整除则整数能被3整除,和能被9整除则整数能被9整除,(1)能被3整除,不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能常见问题：1.写出构成群和不构成群的原因13.证明ab-1∈A∩B即可14.用群的定义证明(题意是证明映射后的集合为一个群)第二章1.判断方法：分别验证1.对运算是否封闭,2.对任意的a,b,c是否满足结合律,3.对任意a是否存在单位元,4.对任意a是否存在逆元.可以得出在(1)-(10)中(2),(3),(6),(7)(10)构成群(1)不满足结合律，不存在逆元,(4)不存在单位元(5)不满足结合律(8)不构成，不存在逆元(9)不构成，不存在逆元2.a-b-c≠a-(b-c)，所以不构成，不满足结合律5．证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x,假设存在一个元素a满足方程x2=x,则有a2=a,两边同乘以a-1有a=e.所以在群中只有单位元满足方程x2=x.6．证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e,所以对群中任意元素a,b有aa=e,bb=e,(ab)2=abab=e.对abab=e,方程两边左乘以a,右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab,有ab=ba,所以G是交换群.7．证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb,方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元,有a-1ababb-1=a-1aabbb-1,有ab=ba,所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群,所以对任意元素a,b有ab=ba,方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb,有(ab)2=a2b2.8．证明：方程xaxba=xbc两边同时左乘a-1x-1，右乘a-1b-1有a-1x-1xaxbaa-1b-1=a-1x-1xbca-1b-1，化简得x=a-1bca-1b-1，可知方程有解。设方程存在两个不同的解x,y（x≠y）.则a-1bca-1b-1≠a-1bca-1b-1，显然不成立。综上，方程有且只有一个解。9．证明：对群中任意元素a,b有ab(ab)-1=e,方程两边先左乘以a的逆元有b(ab)-1=a-1,在左乘以b的逆元有(ab)-1=b-1a-1,所以结论成立.13．证明：设群G的两个子群为G1,G2,则对任意a,b∈G1∩G2有ab-1∈G1,ab-1∈G2,所以ab-1∈G1∩G2,所以G1∩G2也是G的子群.14．证明：设G是一个群,对任意a,b∈G,存在一个G到H的映射f，并且f(ab)=f(a)f(b).对任意f(a),f(b)∈H有f(a)f(b)=f(ab)∈H,所以H