浙江省宁波市北仑松花江中学高二数学文联考试题含解析

浙江省宁波市北仑松花江中学高二数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G是△A′BD的()A．垂心

B．外心

C．内心

D．重心

参考答案：D略2.设x，y为正数，则（x+y）（+）的最小值为(

)A．6 B．9 C．12 D．15参考答案：B【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值【解答】解：x，y为正数，（x+y）（）=≥1+4+2=9当且仅当时取得“=”∴最小值为9故选项为B．【点评】利用基本不等式求最值，需要满足的条件“一正，二定，三相等”3.一束光线从A（1，0）点处射到y轴上一点B（0，2）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是（）A．x+2y﹣2=0 B．2x﹣y+2=0 C．x﹣2y+2=0 D．2x+y﹣2=0参考答案：B【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由反射定律可得点A（﹣1，0）关于y轴的对称点A′（1，0）在反射光线所在的直线上，再根据点b（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．【解答】解：由反射定律可得点A（1，0）关于y轴的对称点A′（﹣1，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，2）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为=1，即2x﹣y+2=0，故选：B．4.

的值是(

)A、

B、

C、

D、

参考答案：C5.根据下图给出的2011年至2016年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是A．逐年比较，2014年是销售额最多的一年B．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）C．2011年至2012年是销售额增长最快的一年D．2014年以来的销售额与年份正相关参考答案：D6.在空间，下列条件可以确定一个平面的是

（

）A.两条直线

B.一个三角形

C.一点和一条直线

D.三个点参考答案：B7.设、是两个平面，、是两条直线，下列推理正确的是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据空间线面位置关系的定义，判定定理和性质进行判断．【详解】对于A，若，结论错误，对于B，根据线面平行的性质定理可知B正确；对于C，由，平行可知，没有公共点，故，平行或异面，故C错误；对于D，若，相交，，均与交线平行，显然结论不成立，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查线线，线面，面面位置关系的判定及性质，属于基础题.8.（5分）（2014?郑州模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据双曲线的定义，以及正弦定理，即可得到结论．解：∵在双曲线﹣=1，∴a=4，b=3，c=5，即A，C是双曲线的两个焦点，∵顶点B在双曲线﹣=1，∴|BA﹣BC|=2a=8，AC=10，则由正弦定理得=，故选：C．【点评】：本题主要考查双曲线的定义的应用，利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键．9.若双曲线方程为，则其渐近线方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案： B10.在由正数组成的等比数列中，若，则的值为（）A. B. C.1 D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为

▲

．参考答案：40略12.已知直线和平面，试利用上述三个元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断⊥的真命题参考答案：

⊥或⊥略13.经过点M(–2，m)、N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为__________．参考答案：114.若抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是________________

参考答案：15.两平行直线：3x+4y-2=0与：6x+8y-5=0之间的距离为

.

参考答案：略16.长方体中，AB=12，=5，与面的距离为_________________；参考答案：17.过点P（-2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为____________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568

已知，.（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个，求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中，的最小二乘估计分别为，）参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）利用平均数求出即可；（Ⅱ）参考公式求解线性回归方程即可得解；（Ⅲ）结合（Ⅱ），满足的共有3个“好数据”，又从6个销售数据中任取2个，共有种不同的取法，利用概率公式运算即可.【详解】（Ⅰ），可求得.（Ⅱ），，所以所求的线性回归方程为.（Ⅲ）利用（Ⅱ）中所求的线性回归方程可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.与销售数据对比可知满足的共有3个“好数据”：、、.又从6个销售数据中任取2个，共有=15种不同的取法，设所求事件用A表示，则.【点睛】本题考查了回归直线及概率公式，属中档题.19.（本题满分12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出，并猜测的表达式；(2)求证：＋＋＋…＋．参考答案：解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…f(2)－f(1)＝4×1，∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1时，f(1)也适合f(n)．∴f(n)＝2n2－2n＋1.

--------6分(2)当n≥2时，＋＋＋…＋，∴…＋.

--------12分20.(本小题满分16分)设函数的导函数为.若不等式对任意实数x恒成立，则称函数是“超导函数”.（1）请举一个“超导函数”的例子，并加以证明；（2）若函数与都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数是“超导函数”；（3）若函数是“超导函数”且方程无实根，（e为自然对数的底数），判断方程的实数根的个数并说明理由.参考答案：解：（1）举例：函数是“超导函数”，因为，，满足对任意实数恒成立，故是“超导函数”.……4分注：答案不唯一，必须有证明过程才能给分，无证明过程的不给分.（2）∵，∴，∴

……………6分因为函数与都是“超导函数”，所以不等式与对任意实数都恒成立，故，，①

………8分而与一个在上单调递增，另一个在上单调递减，故，②由①②得对任意实数都恒成立，所以函数是“超导函数”.

……10分（3）∵，所以方程可化为，设函数，，则原方程即为，③

……………12分因为是“超导函数”，∴对任意实数恒成立，而方程无实根，故恒成立，所以在上单调递减，故方程③等价于，即，

……………14分设，，则在上恒成立，故在上单调递增，而，，且函数的图象在上连续不断，故在上有且仅有一个零点，从而原方程有且仅有唯一实数根.……………16分注：发现但缺少论证过程的扣4分.

21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB=2，设E为PB的中点，求AE与平面ABCD所成角．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【专题】整体思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）根据直线和平面所成角的定义找出直线和平面所成的角，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）解：设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD=，∵PD⊥底面ABCD，∴OE⊥底面ABCD，则∴∠EAO为AE与平面ABCD所的角，∵PD=AB=2，∴PD=2，AB=，在Rt△AOE中，OE=，∵AB=，∴A0=1，∵AB=AO，∴∠AEO=