江苏省连云港市青口第一中学2021年高三数学理期末试题含解析

江苏省连云港市青口第一中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略2.设集合A=，B=，则满足的集合M的个数是()高考资源网首发A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C略3.设，，为不同的直线，，为不同的平面，则正确的命题为（

）A．若，则

B．若则C．若则

D.若且则参考答案：D略4.若函数在上可导，且满足，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由于恒成立，因此在上时单调递增函数，，即，故答案为A考点：函数的单调性与导数的关系5.在中，，，则的最小值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知正数a，b满足，则的最大值为（）A. B.2 C. D.1参考答案：A【分析】令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），由此a2+b2＝ab+1可化为（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），然后再令x＝cosα，，结合三角函数的性质可求.【详解】令a＝x﹣y，b＝x+y，（x＞y＞0），则a2+b2＝ab+1化为（x﹣y）2+（x+y）2＝（x﹣y）（x+y）+1，即x2+3y2＝1（x＞y），令x＝cosα，，∵x＞y＞0，∴cos0，∴0，则z＝（）a+2b＝（1）（x﹣y）+2（x+y）＝（1）x﹣（3）y，＝（1）cosα﹣（3）＝2sin（），∵0，∴，当sin（）＝1时有最大值2，故选：A．【点睛】本题考查了不等式的基本性质、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（

）A.－1 B.1 C.27 D.－27参考答案：A依题意二项式系数和为.故二项式为，令，可求得系数和为.8.已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A．若l⊥α，m?α，则l⊥m B．若l⊥m，m?α，则l⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m参考答案：A【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若l⊥α，m?α，则根据直线与平面垂直的性质定理知：l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m?α，则根据直线与平面垂直的判定定理知：l⊥α不正确，故B不正确；对于C，∵l∥α，m?α，∴由直线与平面平行的性质定理知：l与m平行或异面，故C不正确；对于D，若l∥α，m∥α，则l与m平行，异面或相交，故D不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要注意空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系的合理运用．9.若,则等于(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：10.已知集合，则A∩B=（

）A.(－∞,1) B.(0,1) C.(－1,0) D.(－1,1)参考答案：B【分析】先化简集合A,B，再求得解.【详解】由题得所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个总体分为甲、乙两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本．已知乙层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为

．参考答案：18012.在的展开式中，常数项为______.(用数字作答)参考答案：展开式的通项公式为，由得，所以常数项为。13.已知正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为

.参考答案：试题分析：根据题意可知三棱锥的三条侧棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，而且，三棱柱中，底面边长为，外接圆的半径为；∴球的半径为，四面体ABCD外接球表面积为：．考点：1.球内接多面体；2.球的体积和表面积．【思路点睛】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，三棱锥的三条侧棱，底面是正三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积即可．14.（2）（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于圆O，点在的延长线上，是圆O的切线，若，，则的长为

．参考答案：（2）15.小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度,但由于地形的原因,树的影子总有一部分落在墙上,某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米,留在墙部分的影高为1.2米,同时,他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长(球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离)为0.8米,根据以上信息,可求得这棵树的高度是

米.(太阳光线可看作为平行光线)

参考答案：6

16.已知，，

。参考答案：，所以,.17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1各个顶点都在球面上，，，过棱AB作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为

．参考答案：5易知球的半径为，取中点，则当截面与垂直时，截面面积最小，此时球心到截面的距离为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知等比数列的所有项均为正数，首项且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列的前项和为若求实数的值.参考答案：（1）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以………………………2分解得

由数列的所有项均为正数,则=2

……………………4分数列的通项公式为=…………………6分（2）记,则…………7分若不符合条件；………8分若，则，数列为等比数列，首项为，公比为2,此时

…………11分又＝,所以

……………13分19.某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品.表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图.表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95,100)[100,105)[105,110)[110,115)[115,120)[120,125]频数14192051

图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（1）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；

甲套设备乙套设备合计合格品

不合格品

合计

（2）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（3）将频率视为概率.若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E(X).附：P(K2≥k0)500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635

.参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）试题分析：（1）根据表1和图1即可完成填表，再由将数据代入计算得即把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据题意计算甲、乙两套设备生产的合格品的概率，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散，从而做出判断（3）根据题意知满足，代入即可求得结果解析:（1）根据表1和图1得到列联表

甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100

将列联表中的数据代入公式计算得∵，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关（2）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散.因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备.（3）由题知，∴.20.（本小题满分12分）已知中∠ACB=90°，AS=BC=1，AC=2，SA⊥面ABC，AD⊥SC于D，（1）求证：AD⊥面SBC；（2）求二面角A-SB-C的大小.参考答案：（1）证明：

又面

又AC∩SA=A,

面

…………2分∵AD平面SAC，

……………4分又面

………6分（2）由（1）AD⊥面SBC，过D作DE⊥BS交BS于E，连结AE，则∠AED为二面角A-SB-C的平面角，………8分，由AS=BC=1，AC=2，得AD=，………….10分在直角△ADE中，，即二面角A-SB-C的大小为………12分.略21.

已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，设,求在区间[1,2]上的最大值．参考答案：(I)当时，

所以.

所以，切点为.

所以曲线在点处的切线方程为即

…6分（）因为，,令,则当时,,,为减函数所以的最大值为当时,时+

0

-↗

极大↘

所以的最大值为当时,时，恒成立，为增函数所以的最大值为

………………13分22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可