广西壮族自治区南宁市市第二十八中学2021年高二数学理联考试卷含解析

广西壮族自治区南宁市市第二十八中学2021年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）A．zmax=12，zmin=3 B．zmax=12，z无最小值C．zmin=3，z无最大值 D．z既无最大值，也无最小值参考答案：C【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）．当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值．故选C．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边C的值是()A．8B．C．

D．参考答案：D略3.数列{an}满足a1=1，=，记Sn=ai2ai+12，若Sn≤对任意的n（n∈N*）恒成立，则正整数t的最小值为（）A．10 B．9 C．8 D．7参考答案：C【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】先求出数列{an2}的通项公式，再求Sn，注意运用裂项相消求和，以及不等式的性质，可求正整数t的最小值．【解答】解：∵a1=1，=，∴+4=，∴﹣=4，∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，∴=4n﹣3，∴an2=，an2?an+12=?=（﹣），∴Sn=ai2ai+12=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜Sn≤对任意的n（n∈N*）恒成立，即为t≥30?=7.5，而t为正整数，所以，tmin=8．故选C．【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题，学会用不等式处理问题．本题对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，属于中档题．4.已知异面直线a、b的方向向量分别为、，平面α、β的法向量分别为、，则下列命题中是假命题的是(

▲

)A．对于，若存在实数x、y使得，则共面B．若∥，则a⊥αC．若=，则l与所成角大小为D．若二面角α—l—β的大小为γ，则γ=<,>或π－<,>.参考答案：C略5.空间直角坐标系中，设，若，则实数的值是（

）A

3或5

B

-3或-5

C

3或-5

D

-3或5

参考答案：A略6.用数学归纳法证明=，则当时左端应在的基础上加上（

）A．B．C．D．参考答案：D7.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）参考答案：D略8.用简单随机抽样的方法，从总体个数为10的总体中抽取样本容量为2的一个样本，记其中某个个体第一次被抽到的概率为，第一次未被抽到而第二次被抽到的概率为，则有（

）A．

B．C．

D．参考答案：A9.已知m,n是两条不重合的直线，,,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若则；②若则；③若则；④若m,n是异面直线,则。其中正确的命题是（

）A.①和②

B.①和③

C.③和④

D.①和④参考答案：D10.下面的程序框图（如图所示）能判断任意输入的数的奇偶性：

其中判断框内的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，由P（B|A）=能求出事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率．【解答】解：记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B，则有P（B|A）===．∴事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是．故答案为：．12.若函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，则的取值范围是．参考答案：（3，6）【考点】简单线性规划的应用；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，画出可行域，如图所示，目标函数z=2+，表示2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合求得的范围，可得z的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+2b在区间（0，1），（1，2）内各有一个零点，∴，即，画出可行域，如图所示：表示△ABC的内部区域，其中A（﹣3，1），B（﹣2，0），C（﹣1，0）．目标函数z=2+，即2加上点（a，b）与点M（0，4）连线的斜率．数形结合可得，的最小值趋于KAM==1，的最大值趋于KBM==4，故z的最小值趋于2+1=3，最大值趋于2+4=6，故答案为（3，6）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，简单的线性规划，斜率公式，体现了转化以及数形结合的数学思想，属于中档题．13.复数，则__________．参考答案：【分析】首先求得复数z，然后计算其模即可.【详解】，．故答案为：．【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆与轴的交点到两焦点的距离分别是3和1，则椭圆的标准方程是________参考答案：略15.已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=．参考答案：﹣6【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（a）=a4+ab+1=8，从而a4+ab=7，由此能求出f（﹣a）．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，f（a）=8，∴f（a）=a4+ab+1=8，∴a4+ab=7，∴f（﹣a）=﹣a4﹣ab+1=﹣7+1=﹣6故答案为：﹣6．16.抛物线的焦点坐标为

。参考答案：略17.为中线上的一个动点，若，则的最小值为

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线x2=2py（p＞0）与直线2x﹣y+1=0交于A，B两点，，点M在抛物线上，MA⊥MB．（1）求p的值；（2）求点M的横坐标．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，由弦长公式求得p的值；（2）由（1）求出A，B的坐标，设出M的坐标，利用MA⊥MB得，代入根与系数的关系求得答案．【解答】解：（1）将y=2x+1代入x2=2py，得x2﹣4px﹣2p=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4p，x1x2=﹣2p，由及p＞0，得p=1．（2）由（1）得设点，，，由MA⊥MB得，即，，，∴（x1+x0）（x2+x0）+4=0，∴．19.(本小题满分14分)某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大．

参考答案：（1）如图，连接，设圆心为，连接．在直角三角形中，，，所以．由于，所以弧的长为．

3分所以，即，．

6分（2），

8分令，则，

10分列表如下：+0增极大值减

所以，当时，取极大值，即为最大值．

13分答：当时，绿化带总长度最大．

14分20.(8分)已知，求参考答案：

即或（舍）---2分

---2分21.(本小题满分14分)如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，边长为2，，点为的中点，四边形的两对角线交点为．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求点到平面的距离．参考答案：（1）证明：连结,在中,点为的中点，点为的中点，所以

1分，

3分

4分（2）证明：连接．因为四边形是菱形，所以．

5分又因为平面，平面，所以．

6分而，

7分所以平面．

8分平面PBD，所以．

9分（3）设点到平面的距离为.由，是的中位线，则，故

正三角形的面积

平面，

11分，易求得，

13分所以

故点到平面的距离为．

14分22.已知曲线.(1)求曲线在(2,2)处的切线方程；(2)求曲线过原点O的切线方程.参考答案：（1）；(2)或.【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点（0