江苏省盐城市东台溱东中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

江苏省盐城市东台溱东中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（）A．4 B．2 C． D．参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=4x2，即x2=y的焦点到准线的距离为：p=．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．2.在等比数列{an}中，a1=1，则“a2=4”是“a3=16”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行求解即可．【解答】解：在等比数列{an}中，a1=1，若a2=4，则公比q=，则a3=a2q=4×4=16．若a3=16，则a3=1×q2=16，即q=±4，当q=﹣4时，a2=a1q=﹣4，此时a2=4不成立，即“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件，故选：A．3.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i参考答案：A试题分析：由题意，得，则，故选A．考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．4.曲线|x―1|+|y―1|=1所围成的图形的面积为

A.1

B.2

C.4

D.参考答案：B5.设集合A={2,3,4}，，则A∩B=(

)A.{4} B.{2,3} C.{3,4} D.{2,3,4}参考答案：C【分析】先解不等式求出，再利用交集定义求解．【详解】＝或∴＝故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，不等式求解法\要准确．6.用“更相减损术”求98和63的最大公约数，要做减法的次数是（

）

A.3次 B.

4次 C.

5次

D.

6次参考答案：D7.点是曲线上的动点，则的最大值为（）

A.或

B.

C.或 D.参考答案：A8.已知，若，则的值为（

）A.－1 B.0 C.1 D.2参考答案：A【分析】先根据定积分的几何意义求得的值，再分别令和，即可求解，得到答案.【详解】由题意，定积分表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则，所以，令可得，即，令，可得，即，故选A.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，以及定积分的应用，其中解答合理赋值求解二项展开式的系数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9.函数的定义域是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.已知若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A. B. C. D. 参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，…，，则抽取的人中，编号在区间内的人数是

．参考答案：6

12.已知，删除数列{an}中所有能被2整除的项，剩下的项从小到大构成数列{bn}，则b55=______________．参考答案：599513.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则a=_______.参考答案：0或略14.在等差数列{an}中，已知a4=﹣15，公差d=3，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为．参考答案：﹣108【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】求出首项a4=﹣24，公差d=3，从而得到Sn=（n﹣）2﹣，由此能求出数列{an}的前n项和Sn的最小值．【解答】解：∵等差数列{an}中，a4=﹣15，公差d=3，∴a1=a4﹣3d=﹣15﹣9=﹣24，∴Sn=﹣24n+=（n﹣）2﹣，∴n=8或n=9时，数列{an}的前n项和Sn取最小值S8=S9=﹣108．故答案为：﹣108．【点评】本题考查等差数列的前n项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．15.若函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则在[－1,1]上的最大值与最小值的和为__________．参考答案：－3分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．16.观察下列等式：由此猜测第个等式为

..参考答案：

17.已知函数f（x）=2f′（1）lnx﹣x，则f′（1）的值为．参考答案：1【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=1即可求出f′（1）的值．【解答】解：函数的导数为f′（x）=2f′（1）﹣1，令x=1得f′（1）=2f′（1）﹣1，即f′（1）=1，故答案为：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；（Ⅲ）求三棱锥C﹣BGF的体积．参考答案：解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF∴AE⊥平面BCE．（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）∵G是AC中点，∴F是CE中点，且，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，．∴，∴略19.已知函数（1）求在点处的切线方程；（2）若存在，使成立，求的取值范围；参考答案：（1）y=（e﹣1）x﹣1；（2）解析：（1）∵函数f（x）=ex﹣1﹣x．f′（x）=ex﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x﹣1．（2）a＜ex﹣1﹣x，即a＜f（x）．令f′（x）=ex﹣1=0，x=0．∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上减，在（0，+∞）上增．又时，∴f（x）的最大值在区间端点处取到，，，∴，∴f（x）在上最大值为，故a的取值范围是，略20.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB（Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角．参考答案：考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明．（II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角利用直角三角形求解即可．解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，AC⊥BD，∵PD∩DB=D，∴AC⊥面PBD，∵PB?面PBD，∴AC⊥PB．（Ⅱ）连接EO，∵点E是棱PB的中点，O为DB中点，∴OE∥PD，∵PD=2∴OE=1∵AC⊥面PBD，∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角∵底面ABCD是正方形，AB=，∴AC=2，AO=1，∴Rt△AEO中∠AEO=45°即直线AE和平面PDB所成的角45°点评：本题考查了棱锥的几何性质，直线与平面角的概念及求解，考查学生的空间思维能力，运用平面问题解决空间问题的能力．21.已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补．O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．参考答案：(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2.将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以·的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝．同理，xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，所以，直线AB和OP一定平行．22.(本小题满分15分)如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值.参考答案：（1）证明：∵是的中点，且，

∴.

∵△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，.∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵四边形是正方形，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

∵，平面，平面，

∴平面.

∵平面，

∴.

………6′（2）解法1：作于，连接，∵⊥平面，平面∴.

∵，平面，平面，∴⊥平面.∵平面，∴.

∴∠为二面角的平面角.设正方形的边长为，则，，在Rt△中，，

在Rt△中，，，在Rt△中，.∴二面角的平面角的正弦值为.

…………