河南省开封市城郊乡第二中学高三数学文期末试卷含解析

河南省开封市城郊乡第二中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若命题：，命题：，则下列命题为真命题的是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】命题及其关系A2【答案解析】D

命题：为假命题，命题：假命题，所以为真命题,故选D。【思路点拨】根据命题间的关系判断真假。2.将函数的图象y=f（2x）如何变换得到y=f（2x-2）+1（

）A.将y=f（2x）的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位B.将y=f（2x）的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位C.将y=f（2x）的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位D.将y=f（2x）的图像向左平移1个单位，再向上平移1个单位参考答案：B略3.已知函数f（x）=（m﹣2x）lnx﹣x，x∈（1，e]有两个零点，则实数m的最大值为（）A．3e2 B．3e C．6e2 D．6e参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】令f（x）=0得m﹣2x=，借助函数图象得出m的最值．【解答】解：令f（x）=0得m﹣2x=，令g（x）=（1＜x≤e），则g′（x）=≤0，∴g（x）在（1，e]上单调递减，作出y=m﹣2x和y=g（x）的函数图象，则两图象有2个交点，∴当直线y=m﹣2x经过点（e，e）时，m取得最大值3e．故选B．【点评】本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，函数单调性的判断，属于中档题．4.若某程序框图如图所示，则输出的P的值是(

) A．22 B．27 C．31 D．56参考答案：C考点：程序框图．专题：图表型．分析：根据流程图，先进行判定条件，不满足条件则运行循环体，一直执行到满足条件即跳出循环体，输出结果即可．解答： 解：第一次运行得：n=0，p=1，不满足p＞20，则继续运行第二次运行得：n=﹣1，p=2，不满足p＞20，则继续运行第三次运行得：n=﹣2，p=6，不满足p＞20，则继续运行第四次运行得：n=﹣3，p=15，不满足p＞20，则继续运行第五次运行得：n=﹣4，p=31，满足p＞20，则停止运行输出p=31．故选C．点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区2015届高考都考查到了，启示我们要给予高度重视，属于基础题．5.已知a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等比数列的通项公式；基本不等式．【分析】由等比中项推导出a+b=1，从而===，由此利用基本不等式能求出的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且为3a与3b的等比中项，∴3a?3b=3a+b=（）2=3，∴a+b=1，∴===≤=．当且仅当时，取等号，∴的最大值为．故选：B．6.执行如图所示的程序框图，输出的值为A．

B.

C.

D.参考答案：D7.设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，点F是△ABC的重心，O为坐标原点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A．9 B．6 C．3 D．2参考答案：C【考点】抛物线的应用．【分析】确定抛物线y2=4x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论．【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）∴S1=，S2=，S3=∴S12+S22+S32=（++）=x1+x2+x3，∵点F是△ABC的重心∴x1+x2+x3=3∴S12+S22+S32=3故选C．8.若有一个正四面体形状的骰子，四个面上分别写有数字，任意在桌面上抛掷两次，记与桌面接触的那个面上的数字分别为，则点在不等式组表示的平面区域内的概率是(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C9.若函数存在极值，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】导数的应用B12A：∵函数f（x）=sinx-kx，∴f′（x）=cosx-k，

当k≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）是定义域上的减函数，无极值；

当k≤-1时，f′（x）≥0，∴f（x）是定义域上的增函数，无极值；

当-1＜k＜1时，令f′（x）=0，得cosx=k，从而确定x的值，使f（x）在定义域内存在极值；

∴实数k的取值范围是（-1，1）．【思路点拨】求f（x）的导函数，利用导数为0时左右符号不同的规律，求出k的取值范围．10.已知满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D画出线性约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点时有最小值，最小值为；过点（1,1）时有最大值，最大值为，因为z的最大值是最小值的4倍，所以。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的部分图象如图所示,则

.参考答案：12.若函数在(0,+∞)内有且只有一个零点，则在[－1,1]上的最大值与最小值的和为

▲

．参考答案：–3分析：先结合三次函数图象确定在(0,+∞)上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.详解：由得，因为函数f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数f(x)在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以，，

13.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则动点的轨迹方程为_______________．参考答案：因为到点的距离与它到直线的距离相等，所以动点的轨迹为抛物线，其中焦点为，即，所以轨迹方程为。14.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是

．参考答案：15.设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)和，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则的取值范围是___________．参考答案：[－6,1]略16.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为，，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】先将曲线的极坐标方程方程化为普通方程，曲线C1的普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1的圆．曲线C2的普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．利用直线和圆的位置关系求解．【解答】解：曲线C1的极坐标方程分别为即ρ=2sinθ，两边同乘以ρ，得ρ2=2ρsinθ，化为普通方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．表示以C（0，1）为圆心，半径为1的圆．C2的极坐标方程分别为，即ρsinθ+ρcosθ+1=0，化为普通方程为x+y+1=0，表示一条直线．如图，圆心到直线距离d=|CQ|=曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为|PQ|=d+r=故答案为：，17.P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2=60°，∠PF2F1=30°，则椭圆的离心率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为坐标原点，已知向量,分别对应复数z1,z2,且z1=

z2=(aR),+z2可以与任意实数比较大小，求的值。

参考答案：由题意知+z2为实数，，得+z2=的虚部为0，a2+2a-15=0,解得a=-5

或a=3；又分母不能为0，a=3

，此时，z1=

+i,z2

=

-1+i,=(，1）

=（-1,1),=略19.(本小题满分13分)某中学在校就餐的高一年级学生有440名，高二年级学生有460名，高三年级学生有500名．为了解学校食堂的服务质量情况，用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查，把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级：1级(很不满意)；2级(不满意)；3级(一般)；4级(满意)；5级(很满意)，其统计结果如下表(服务满意度为x，价格满意度为y).(1)求高二年级共抽取学生人数；(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差；(3)为提高食堂的服务质量，现从x<3且2≤y<4的所有学生中随机抽取两名学生征求意见，求至少有一名学生的“服务满意度”为1的概率．18．(本小题满分13分)已知四棱锥P－ABCD如图5－(1)所示，其三视图如图5－(2)所示，其中正视图和侧视图都是等腰直角三角形，俯视图是矩形．(1)求此四棱锥的体积；(2)若E是PD的中点，求证：AE⊥平面PCD；(3)在(2)的条件下，若F是PC的中点，证明：直线AE和直线BF既不平行也不异面．图5参考答案：(1)解：由题意，知：四棱锥P－ABCD的底面是边长为2的正方形，其面积SABCD＝2×2＝4，高h＝2，∴VP－ABCD＝SABCD·h＝×4×2＝.(2)证明：如图D60，由三视图，知：PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD.又PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD.又△PAD是等腰直角三角形，E为PD的中点，∴AE⊥PD.又PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD.图D60

(3)证明：∵E，F分别是PD，PC的中点，∴EF∥CD且EF＝CD.又∵CD∥AB，且CD＝AB，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABFE是梯形．AE，BF是梯形的两腰，故AE与BF所在的直线必相交．∴直线AE和直线BF既不平行也不异面．略20.已知函数的图象的两条相邻对称轴间的距离等于，在中，角所对的边依次为若，求的面积．参考答案：

解析：

………………3分∴函数的最小正周期，由题意得：，即解得：

………………5分，，，,即.

………………7分∴由余弦定理得：即

①，

………………9分②，联立①②，解得：，则

………………12分

略21.（本小题满分12分）设动点M(x,y)到直线y=3的距离与它到点F(0,1)的距离之比为，点M的轨迹为曲线E.

（I）求曲线E的方程：

（II）过点F作直线l与曲线E交于A,B两点，且．当3时，求直线l斜率k的取值范围·参考答案：（Ⅰ）根据题意，|y－3|＝·．化简，得曲线E的方程为3x2＋2y2＝6．

…4分（Ⅱ）直线l方程为y＝kx＋1，代入曲线E方程，得(2k2＋3)x2＋4kx－4＝0．

…6分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，

①x1x2＝－．

②＝λ即(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)，由此得x1＝－λx2．

③由①②③，得＋＝＝．

…9分因为2≤λ≤3，所以≤－≤，从而≤≤2，解不等式≤＋≤2，得≤k2≤3．故k的取值范围是[－，－]∪[，]．

…12分

22.在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．参考答案：【考点】进行简单的合情推理．【分析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x