广东省清远市连州第二中学高三数学文月考试题含解析

广东省清远市连州第二中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是实数，则“且”是“且”的(

)A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C2.若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”).已知函数f(x)=，则f(x)的“姊妹点对”有（

）个A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B3.双曲线的左右焦点为，P是双曲线上一点，满足，直线PF与圆相切，则双曲线的离心率e为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B4.过双曲线上任意点P作双曲线的切线，交双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若O为坐标原点，则的面积为（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：D过双曲线上任意点作双曲线的切线，不妨设点为右顶点.此时易知切线即为.两条渐近线为：.即为等腰直角三角形，则的面积为.故选D.

5.抛物线的准线方程是，则的值为

()A．

B．

C．8

D．参考答案：B6.连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，则向上的点数之差的绝对值为2的概率是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=6×6=36，再利用列举法同向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件个数，由此能求出向上的点数之差的绝对值为2的概率．【解答】解：连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值为2包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），共有8个，∴向上的点数之差的绝对值为2的概率：p==．故选：B．7.已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范围是（

） A.

B.

C.

D.参考答案：C8.已知集合，，则A∪B=(

)A. B.C. D.且参考答案：A【分析】根据不等式的解法得B={x|0＜x＜2}，然后根据并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行求解即可．【详解】根据不等式的解法，易得B={x|0＜x＜2}，又有A={x|x＞1}，则A∪B={x|x＞0}．故选：A．【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解，属于容易题．9.已知平面向量的夹角为，且，在中，，D为BC的中点，则（

）A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：A略10.若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（

）A．甲同学：均值为2，中位数为2

B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2

D．丁同学：众数为2，方差大于1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若不等式对任意的恒成立，则的最大值是

．参考答案：912.给出定义：若

(其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①的定义域是，值域是；②点是的图像的对称中心，其中；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述命题中真命题的序号是

．参考答案：①③①中，令，所以。所以正确。②，所以点不是函数的图象的对称中心，所以②错误。③，所以周期为1，正确。④令，则，令，则，所以，所以函数在上是增函数错误。，所以正确的为①③13.是抛物线上一点,是抛物线的焦点,为坐标原点.若是抛物线的准线与轴的交点,则

．参考答案：45°由抛物线的对称性不妨设，则，得，法一：，在中，，所以.法二：因为，所以，可得，，所以.

14.设满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则的最小值为___

．参考答案：15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列的通项公式为

参考答案：由图可知，，由累加法可得【考点】数列的通项公式、累加法16.已知函数的图像向左平移个单位后与函数的图像重合，则正数的最小值为

参考答案：17.函数y=的定义域是

．参考答案：（﹣1，2）【考点】对数函数的定义域．【分析】无理式被开方数大于等于0，对数的真数大于0，分母不等于0，解答即可．【解答】解：要使函数有意义，须解得﹣1＜x＜2，即函数的定义域为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+2=2an（n∈N*）．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2an，数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1．参考答案：【考点】数列与不等式的综合．【专题】转化思想；分析法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（I）求得数列的首项，将n换为n﹣1，相减可得an=2an﹣1，运用等比数列的通项公式即可得到所求；（Ⅱ）求得bn=log2an=n，=﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，以及不等式的性质，即可得证．【解答】解：（I）由Sn+2=2an，当n=1时，a1+2=2a1，解得a1=2；当n≥2时，Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，数列{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n．（Ⅱ）证明：由（I）得bn=log22n=n，所以Tn=+++…+=+++…+=﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣＜1．【点评】本题考查等差数列前n项和与通项公式的应用，裂项求和证明不等式问题，对逻辑推理能力和化归与转化思想都有所考查，难度中等．19.如图，在四棱锥B-ACDE中，正方形ACDE所在平面与正△ABC所在平面垂直，M，N分别为BC，AE的中点，F在棱CD上．(1)证明：MN∥平面BDE．(2)已知，点M到AF的距离为，求三棱锥的体积．参考答案：(1)证明见解析；(2)【分析】（1）取中点，连接，；根据线面平行的判定定理可分别证得平面和平面；根据面面平行判定定理得平面平面，利用面面平行性质可证得结论；（2）根据面面垂直性质可知平面，由线面垂直性质可得；根据等边三角形三线合一可知；根据线面垂直判定定理知平面，从而得到；设，表示出三边，利用面积桥构造方程可求得；利用体积桥，可知，利用三棱锥体积公式求得结果.【详解】（1）取中点，连接，为中点

又平面，平面

平面四边形为正方形，为中点

又平面，平面

平面，平面

平面平面又平面

平面（2）为正三角形，为中点

平面平面，，平面平面，平面平面，又平面

又，平面

平面平面

设，则，，，即：，解得：【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面平行的判定、面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质的应用等知识；解决三棱锥体积问题的常用方法是利用体积桥的方式，将问题转化为底面积和高易求的三棱锥的体积的求解问题.

20.某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后交DC于点P，设△ADP的面积为，折叠后重合部分△ACP的面积为．（Ⅰ）设m，用表示图中的长度，并写出的取值范围；（Ⅱ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？（Ⅲ）求面积最大时，应怎样设计材料的长和宽？参考答案：（Ⅰ）由题意，,，.…………1分设，则，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，由PA2=AD2+DP2，得即：..…………3分（Ⅱ）记△ADP的面积为，则.…………5分当且仅当时，取得最大值．故当材料长为，宽为时，最大．….…………7分（Ⅲ）于是令.…………9分关于的函数在上递增，在上递减，当时，取得最大值．故当材料长为，宽为时，最大．.…………12分21.(本小题满分13分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求。某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示(单位：分钟)．组别一二三四五候车时间[0，5)[5，10)[10