浙江省温州市宏德中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析

浙江省温州市宏德中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在约束条件下，函数z=3x﹣y的最小值是(

) A．9 B．5 C．﹣5 D．﹣9参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时，直线y=3x﹣z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（﹣2，2），此时z=3×（﹣2）﹣3=﹣9，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．2.（5分）如图，一个圆锥的侧面展开图是中心角为90°面积为S1的扇形，若圆锥的全面积为S2，则等于（） A． B． 2 C． D． 参考答案：A考点： 扇形面积公式；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题： 计算题．分析： 设出扇形的半径，求出圆锥的底面周长，底面半径，求出圆锥的侧面积、全面积即可．解答： 设扇形半径为R．扇形的圆心角为90°，所以底面周长是，圆锥的底面半径为：r，，r=，所以S1==；圆锥的全面积为S2==；∴==．故选A．点评： 本题是基础题，考查圆锥的侧面积，全面积的求法，考查计算能力．3.已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A4.在数列{an}中，，则an的最大值为（

）A.0 B.4 C. D.参考答案：A【分析】把通项公式进行配方，求出最大值，要注意.【详解】，当或时，最大，所以，故本题选A.【点睛】本题考查了数列的最大项问题.5.圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A． B． C． D．2参考答案：A【考点】J2：圆的一般方程；IT：点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．6.在边长为的正三角形ABC中，设=c,=a,=b,则等于（

）

A．0 B．1

C．3

D．－3参考答案：D7.符合条件{a}P?{a，b，c}的集合P的个数是()A．2

B．3C．4

D．5参考答案：B8.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为(

)

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定参考答案：B9.圆与圆的位置关系为(

)A.内切

B.相交

C.外切

D.相离参考答案：B10.已知等比数列的各项均为正数，公比的大小关系是（）参考答案：A试题分析：考点：等差数列及不等式性质二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某个数列的前4项分别为，写出该数列的一个通项公式为

。参考答案：12.设向量若,则的值是___________．参考答案：因为，所以，所以，所以所以，故答案是.

13.已知向量=（﹣1，2），=（1，﹣2y），若∥，则y的值是

．参考答案：1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，则2﹣（﹣1）×（﹣2y）=0，解得y=1．故答案为：1．14.在二项式（1+x）n（n∈N*）的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n的最小值为．参考答案：11【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由题意可得：=，可得：12r+7=5n，可得n为奇数．经过验证：n=1，3，…，即可得出．【解答】解：由题意可得：=，可得：12r+7=5n，n为奇数，经过验证：n=1，3，…，可得n的最小值为11．故答案为：11．15.设的最小值为__________参考答案：8

16.函数y=的单调减区间为

．参考答案：（﹣∞，1）和（1，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】画出函数的图象，从而得出函数的单调区间．【解答】解：画出函数的图象，如图示：，∴函数在（﹣∞，1）递减，在（1，+∞）递减，故答案为：（﹣∞，1）和（1，+∞）．17.如果，且是第四象限的角，那么 。参考答案：如果，且是第四象限的角，则，再由诱导公式求得.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》．其中规定：居民区的PM2．5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2．5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2．5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2．5浓度（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,25]50．25第二组(25,50]100．5第三组(50,75]30．15第四组(75,100)20．1

合计201(Ⅰ)根据上面的频率分布表，估计该居民区PM2．5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的概率；

（Ⅱ）计算样本众数、中位数和平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2．5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由．参考答案：（Ⅰ）由已知共监测了20天，用频率估计相应的概率为0.25.………3分（Ⅱ）样本众数约为37.5（微克/立方米），………5分中位数约为37.5（微克/立方米），………7分平均值约（微克/立方米）………10分去年该居民区PM2.5年平均浓度为：40（微克/立方米）．因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．………12分19.2019年春节期间，由于人们燃放烟花爆竹，致使一城镇空气出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1千克的去污剂，空气中释放的浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.经测试，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（1）若一次喷洒4千克的去污剂，则去污时间可达几天？（2）若第一次喷洒2千克的去污剂，6天后再喷洒千克的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a的最小值.参考答案：（1）7天；(2).【分析】(1)空气中释放的浓度为,时，,时，,分别解不等式即可；（2）设从第一次喷洒起，经天，浓度=，由不等式得到最值.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为当时，，解得，，当时，，解得，，综上得，即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天.(2)设从第一次喷洒起，经天，浓度===，即，,当时，，满足题意，所以的最小值为.【点睛】本题考查了实际应用问题，涉及到不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，将得到的点数分别记为.（1）求直线与圆相切的概率；（2）将的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率.参考答案：（1）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．因为直线ax＋by＋5=0与圆x2＋y2=1相切，所以有即：a2＋b2=25，由于a,b∈｛1，2，3，4，5，6｝.所以，满足条件的情况只有a=3,b=4；或a=4,b=3两种情况．

所以，直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2=1相切的概率是

（2）先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36．因为，三角形的一边长为5所以，当a=1时，b=5，（1，5，5）

1种

当a=2时，b=5，（2，5，5）

1种

当a=3时，b=3，5，（3，3，5），（3，5，5）

2种

当a=4时，b=4，5，（4，4，5），（4，5，5）

2种

当a=5时，b=1，2，3，4，5，6，（5，1，5），（5，2，5），（5，3，5），（5，4，5），（5，5，5），（5，6，5）

6种

当a=6时，b=5，6，（6，5，5），（6，6，5）

2种

故满足条件的不同情况共有14种.所以，三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．略21.三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是,的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.参考答案：（Ⅰ）证明：连接BC1，AC1，∵M，N是AB，A1C的中点∴MN∥BC1．

又∵MN