2023年河北省唐山市开滦重点中学高考数学模拟试卷（三）-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年河北省唐山市开滦重点中学高考数学模拟试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|4x2−x−5≤0}，B={x|y=2x−1A.[12,54] B.[2.已知复数z1与z=4−2i在复平面内对应的点关于实轴对称，则z11−iA.−1−3i B.−1+3i C.1−3i D.1+3i3.某市为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度．为了确定一个比较合理的标准，通过简单随机抽样，获得了100户居民的月均用水量数据(单位：吨)，得到如图所示的频率分布直方图．估计该市居民月均用水量的中位数为(

)A.8.25 B.8.45 C.8.65 D.8.854.已知数列{ann}为等比数列，且a4=2，A.30 B.±30 C.40 D.±405.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为A.x29+4y227=1 6.某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人必须在一起，则不同的安排方法有(

)A.240种 B.320种 C.156种 D.180种7.已知函数f(x)=x2−1,x>a|x−a−1|,x≤a，若f(x)的最小值为1，则aA.[22,+∞) B.[28.设a=114，b=34sin121，c=e121A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知b<a<0，则下列不等式正确的是(

)A.b2>ab B.a+1b<b+110.下列命题正确的是(

)A.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)且P(X≤4)=0.86，则P(0≤X≤2)=0.36

B.已知随机变量X～B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23

C.已知P(BA)=0.46，P(B)=0.73，则P(BA−)=0.27

D.某人在11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，O为正方形AA.存在点P，使得PA1=PB

B.三棱锥A1−BDP的体积为定值

C.△PA1B的面积的最小值为3

12.已知双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线y=2ax的垂线，垂足为P，OA.C的离心率为213 B.C的离心率为133

C.△OPQ的面积为2三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a=(2,1)，b=(λ,−2)，(2a−b)⊥a14.在平面直角坐标系xOy中，若点P(a,b)在直线ax+by+6a+8=0上，则当a，b变化时，直线OP的斜率的取值范围是______．15.已知函数f(x)=12sin(2x+π3)的图像在(x116.在三棱锥A−BCD中，△ABD和△BCD都是等边三角形，BD=6，平面ABD⊥平面BCD，M是棱AC上一点，且AM=2MC，则过M的平面截三棱锥A−BCD外接球所得截面面积的最大值与最小值之和为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8=3S5−11，a2n=2an+1(n∈N∗)18.(本小题12.0分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=2，c=4．

(1)若D是边BC的中点，且AD=6，求cosB的值；

(2)若C−B=π3，求19.(本小题12.0分)

长距离跑简称长跑，英文是long−distancerunning.最初项目为4英里、6英里跑，从19世纪中叶开始，逐渐被5000m跑和10000m跑替代.长跑对于培养人们克服困难，磨炼刻苦耐劳的顽强意志具有良好的作用，特别是对那些冬季怕冷爱睡懒觉不想锻炼的人起到促进作用，从而使他们尝到健身长跑锻炼的好处，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”，为了解学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别是否有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，所得数据制成如表；感兴趣不感兴趣合计男生_____8_____女生32__________合计80_____100(1)完成上面的2×2列联表，并依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联？

(2)若不感兴趣的男生中恰有3名是高三学生，现从不感兴趣的男生中随机选出3名进行二次调查，记选出高三学生的人数为X，求X的分布列与数学期望．

参考公式χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)α0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.7022.7063.8415.0246.6357.879

10.82820.(本小题12.0分)

如图1，在梯形ABCD中，AB/​/CD，AD⊥DC，AB=2，DC=3，AD=3，E是CD上的一点，CE=2ED，将△CBE沿BE折起，使得点C到达C1的位置，且AC1=6，P是DC1上的一点，且DC1=3DP，如图2．

(1)21.(本小题12.0分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，P(4,4)是C上的一点．

(1)若直线PF交C于另外一点A，求|AP|；

(2)若圆E：(x−2)2+y2=r2(0<r<2)，过P作圆E22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=ex−1−ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若g(x)=f(x)−lnx+a，证明：g(x)的极小值不大于1答案和解析1.【答案】A

【解析】解：由A={x|(4x−5)(x+1)≤0}={x|−1≤x≤54}，B={x|x≥12}，

所以A⋂B=[12,54]．

2.【答案】D

【解析】解：由z=4−2i对应点为(4,−2)，则z1对应点为(4,2)，

故z1=4+2i，

所以z11−i=2(2+i)1−i=2(2+i)(1+i)2=1+3i3.【答案】B

【解析】解：由频率分布直方图，可知月均用水量在5.2吨以下的居民用户频率为4×0.06=0.24，

月均用水量在9.2吨以下的居民用户的频率为4×(0.06+0.08)=0.56>0.5，

故中位数落在区间(5.2,9.2)内．

设中位数为x，则0.24+(x−5.2)×0.08=0.5，

即x=5.2+0.5−0.240.08=8.45．

故估计该市居民月均用水量的中位数为8.45．

故选：B．

由题意分析可知中位数落在区间(5.2,9.2)内，设中位数为x，再由中位数两侧的频率相等列式求解x值，则答案可求．4.【答案】C

【解析】解：令bn=ann，

设数列{ann}的公比为q，

因为a4=2，a8=16，

所以b4=a44=12，b8=a88=2，

又b8=b4q5.【答案】B

【解析】解：由题意知：ab=183且ba=32，

则a2=36，b2=27．

所以椭圆标准方程x236+6.【答案】A

【解析】解：将6人分组有两种情况：{3,1,1,1}、{2,2,1,1}形式，

当各组人数按{3,1,1,1}分组：

小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有C41=4种，

此4组人任意安排到4个岗位，有A44=24种方法，故共有4×24=96种；

当各组人数按{2,2,1,1}分组：

小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有C42=6种

此4组人任意安排到4个岗位，有A44=24种方法，故共有6×24=144种；

综上，不同的安排方法有96+144=240种．

7.【答案】B

【解析】解：由x≤a，则x−a−1≤−1，仅当x=a时等号成立，

所以|x−a−1|=a+1−x≥1，在(−∞,a]上递减，且最小值为1，

对于y=x2−1在(a,+∞)上，当a<0时ymin=−1；当a≥0时y>a2−1，无最小值；

显然，a<0时f(x)的最小值不为1，不合题意；

所以a≥0，此时必有a2−1≥1，可得a≥28.【答案】C

【解析】解：由c=e121−1=e23×114−1，则a−c=114−e23×114+1，

令f(x)=x−e23x+1且x∈(0,12)，则f′(x)=1−23e23x为减函数，

所以1−23e13<f′(x)<13，而e13<(278)13=32，故0<1−23e13<f′(x)<13，

故f(x)在(0,12)上递增，则9.【答案】ACD

【解析】解：对于A，b2−ab=b(b−a)>0，则b2>ab，故A正确；

对于B，a+1b−(b+1a)=(a−b)+a−bab=(a−b)(1+1ab)>0，而a−b>0,1+1ab>0，

所以a+1b−(b+1a)>0，即a+1b>b+1a，故B错误；

对于C，ba+ab≥2ba⋅ab=2且b10.【答案】ACD

【解析】解：A：由对称性知：P(0≤X≤2)=P(X≤4)−12=0.36，对；

B：E(X)=np=30D(X)=np(1−p)=20，则p=13，错；

C：由P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=P(BA)+P(BA−)=0.73，则P(BA−)=0.27，对；

D：由P(X)=C10n0．8n(1−0.8)10−n=C11.【答案】ABC

【解析】解：如图建立空间直角坐标系，

选项A：D(0,0,0)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，O(1,1,2)，

若存在P点，因P为线段CO上，可设CP=λCO=λ(1,−1,2)=(λ,−λ,2λ)，λ∈[0,1]，

故P点坐标为(λ,2−λ,2λ)，

若PA1=PB，则(λ−2)2+(2−λ)2+(2λ−2)2=(λ−2)2+(−λ)2+(2λ)2，

得λ=23，故存在P点，A正确；

选项B：取BD的中点O1，则O1(1,1,0)，

A1O1=(−1,1,−2)，OC=(−1,1,−2)，所以A1O1=OC，

故A 1O1//OC，又A1O1⊂平面BA1D，OC⊄平面BA1D，

所以OC/​/平面BA1D，

因P为线段CO上，故P到平面BA1D的距离不变，

故三棱锥A1−BDP的体积为定值，B正确；

选项C：由选项A知BP=(λ−2,−λ,2λ)，BA1=(0,−2,2)，

P到A1B的距离为：d=|BP|2−|BP⋅BA1|BA1||2=(λ−2)2+(−λ)2+(2λ)2−|6λ8|2=32λ2−4λ+4，

△PA1B的面积的最小时，d取最小值，

根据二次函数的性质，当λ=1时，d12.【答案】AC

【解析】解：因为双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，

且过F2作直线y=2ax的垂线，垂足为P，

又O为坐标原点，且∠F1PO=π6，过P作C的切线交直线y=−2ax于点Q，

则直线y=2ax和直线y=−2ax，是双曲线C：x2a2−y24=1(a>0)的两条渐近线，

设∠POF2=α，则有tanα=2a，

又F2P垂直于渐近线y=2ax，渐近线方程为2x−ay=0，F2(c,0)，c=a2+22，

∴|PF2|=|2c|a2+22=2，而tanα=|PF2||OP|=2a，∴|OP|=a，

∴sinα=2c,cosα=ac，

在△OF1P中，∠F1PO=π6，由正弦定理：asin(α−π6)=csinπ6，

∴a2c⋅32−ac⋅12=2c，

∴a=23−a，∴a=3，c=a2+b2=7

∴e=c13.【答案】2【解析】解：由2a−b=(4−λ,4)，又(2a−b)⊥a，

所以(2a−b)⋅a=2(4−λ)+4=0，可得λ=6．

所以14.【答案】[−【解析】解：由题设a2+b2+6a+8=(a+3)2+b2−1=0，则(a+3)2+b2=1，

所以P在以A(−3,0)为圆心，1为半径的圆上，

如图，

当OP与圆相切时，直线OP的斜率出现最值(最大、最小)，

当与圆上方相切，则sin∠AOP=|AP||AO|=13，故tan∠AOP=24，此时OP斜率为−15.【答案】π2【解析】解：因为f(x)=12sin(2x+π3)，

所以f′(x)=12cos(2x+π3)×2=cos(2x+π3)，

依题意可得f′(x1)⋅f′(x2)=−1，

所以cos(2x1+π3)⋅cos(2x2+π3)=−1，

所以cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=−1，

或cos(2x1+π3)=−1且cos(2x2+π3)=1，

当cos(2x1+π3)=1且cos(2x2+π3)=−1时，2x1+π3=2k1π，k1∈Z，2x2+π316.【答案】27π

【解析】解：由题设，若G为BD中点，E，F分别是等边△ABD和等边△BCD的中心，

连接AG，CG，则E，F分别在AG，CG上，且EG=FG=13AG=13CG=3，

AG⊥BD，CG⊥BD，AG⋂CG=G，AG，CG⊂面AGC，故BD⊥面AGC，

又BD⊂面ABD，所以，面ABD⊥面AGC，

又面ABD⊥面BCD，过E作面ABD的垂线与过F作面BCD的垂线交于O，

即OE⊥面ABD，OF⊥面BCD，则O为A−BCD外接球球心，

OE⊥面ABD，且E∈AG，O∉AG，则OE⊂面AOG，所以面AOG⊥面ABD，

综上，结合面ABD∩面AGC=AG，面ABD∩面AOG=AG，则面AOG、面AGC为同一平面，所以O∈面AGC，

由面ABD⊥面BCD，AG⊥BD，AG⊂面ABD，面ABD∩面BCD=BD，

所以AG⊥面BCD，CG⊂面BCD，即AG⊥CG，且EG=FG知：OEGF为正方形，

如上图，AE=23AG=23，OE=FG=3，若A−BCD外接球半径为R，

所以R2=AE2+OE2=15，

由球体的性质，要使过M平面截三棱锥A−BCD外接球所得截面面积的最大，则平面必过球心，

所以，最大截面圆面积为S=πR2=15π，

要使过M平面截三棱锥A−BCD外接球所得截面面积的最小，则OM⊥该平面，

因为AM=2MC，而E，M都在面AGC上，故AEAG=AMAC=EMGC=23，

而GC=33，故EM=23，显然E，O，M共线，故OM=EM−OE=17.【答案】解：(1)等差数列{an}的前n项和为Sn，公差设为d，

由S8=3S5−11，可得8a1+28d=3(5a1+10d)−11，

即为7a1+2d=11，①

又a2n=2an+1(n∈N∗)，可得a1+(2n−1)d=2[a1+(n−1)d]+1，

化为a1−d=−1，②

由①②解得a【解析】(1)由等差数列的通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求；

(2)由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．

本题考查等差数列的通项公式、求和公式，以及等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

18.【答案】解：(1)因为∠ADB+∠ADC=π，

所以∠ADB=π−∠ADC，

所以cos∠ADB=cos(π−∠ADC)=−cos∠ADC，

所以cos∠ADB+cos∠ADC=0，

在△ABD中，cos∠ADB=AD2+BD2−AB22⋅AD⋅BD，

在△ACD中，cos∠ADC=AD2+CD2−AC22⋅AD⋅CD，

所以AD2+BD2−AB22⋅AD⋅BD+AD2+CD2−AC22⋅AD⋅CD=0，

因为D是边BC的中点，

所以BD=CD，代入上式整理得：

2AD2+2BD2−AB2−AC2=0，

因为AC=b=2,AB=c=4,AD=6，

所以2(6)2+2BD2−42−22=0，

解得：BD=2或BD=−2(舍去)，

所以a=BC=2BD=4，

在△ABC中，由余弦定理的推论得：【解析】(1)根据三角形的余弦定理结合已知条件即可；

(2)利用三角形的正弦定理以及两角和的正弦公式和三角形面积公式即可．

本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于难题．

19.【答案】解：(1)根据已知数据可补全2×2列联表如下：感兴趣不感兴趣合计男生48856女生321244合计8020100零假设H0：学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别无关，

χ2=100×(48×12−8×32)256×44×80×20≈2.597<2.706=x0.1，

∴依据小概率值α=0.1的独立性检验，H0成立，即不能认为学生对“冬季长跑活动”是否感兴趣与性别有关联．

(2)由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，

∵P(X=0)=C53X0123P515151数学期望E(X)=0×528【解析】(1)根据已知数据即可补全列联表，根据列联表计算得到χ2≈2.597<2.706=x0.1，根据独立性检验的思想可得结论；

(2)根据超几何分布概率公式可计算得到X20.【答案】解：(1)在图1中，

由已知得DE=1,DA=3，则AE=2，

∵CE//BA，且CE=BA=AE，∴四边形ABCE为菱形，

连接AC交BE于点F，∴CF⊥BE，AF⊥BE，

在Rt△ACD中，AC=32+(3)2=23，∴AF=CF=3，

在图2中，AC1=6,C1F=3，∵AF2+C1F2=AC12，∴C1F⊥AF，

又C1F⊥BE，且AF∩BE=F，AF，BE⊂平面ABED，∴C1F⊥平面ABED，

S△BC1E=12BE⋅C1F=12×2×3=3,S△BDE=12DE⋅DA=12×1×3=32，

设点D到平面BC1E的距离为ℎ，

由VD−BC1【解析】(1)在图1中，由已知得四边形ABCE为菱形，连接AC交BE于点F，得CF⊥BE，在图2中，求解三角形证明C1F⊥AF，再由线面垂直的判定可得C1F⊥平面ABED，设点D到平面BC1E的距离为ℎ，利用等体积法，由VD−BC1