2023年陕西省西安市长安重点中学高考数学二模试卷-普通用卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年陕西省西安市长安重点中学高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设i是虚数单位，若复数z=i1+i，则zA.12+12i B.1+2.已知集合A={x|lg(xA.[−1,3] B.(13.已知向量a=(cosα,−2A.3 B.−3 C.−254.为了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况.将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图(如图)组距已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为4，则我校报考飞行员的学生总人数是(

)A.40 B.32 C.28 D.245.已知cos(α−π5A.−513 B.513 C.−6.已知数列{an}满足a1=1，aA.3(21011−1) B.27.执行如图所示的算法框图，则输出的l的值为(

)

A.4 B.5 C.6 D.78.“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆C：x2a+1+y2aA.x2+y2=19 B.x9.在三棱锥A−BCD中，△ACD是以CDA.40π B.32π C.8π10.已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是(

)A.两个球都是红球的概率为16 B.两个球中恰有1个红球的概率为12

C.两个球不都是红球的概率为13 D.至少有11.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)A.5+12 B.3+12.已知函数f(x)及其导函数f′(x)定义域均为R，记函数g(x)=f′(xA.672 B.674 C.676 D.678二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件y≤2x−y≤014.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物四个学科辅导课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名辅导课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的辅导课程，则恰有两位同学选择数学辅导课程的报名方法数为______．15.已知函数f(x)=Asin2(ωx+16.若函数f(x)=12ax2−ex+三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知(2a−c)sinA+(2c−18.(本小题12.0分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的菱形．AB=BC=13，点D为棱AC上动点(不与A，C重合)，平面B1BD与棱A19.(本小题12.0分)

2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁，这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想.某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者没有全部答对，则均记0分；一班级全部答对而另一班级没有全部符对，则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记−1分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜.设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为12，乙班全部答对的概率为23，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响．

(1)求甲班每轮比赛得−1分、0分、1分的概率；

(220.(本小题12.0分)

如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为3，左、右顶点分别为A、B.曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为12的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭圆交于另一点N．

(1)求椭圆及双曲线的标准方程；

(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得xP=4xT21.(本小题12.0分)

已知f(x)=12lnx−x．

(1)求f(x)在x22.(本小题10.0分)

在极坐标系中，O(0,0)，A(6,π2)，B(62,π4)，以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为x=−1+tcosαy=2+tsi23.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=|2x+1|−|x−2|．

(1)求f(x)≤2答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．

【解答】

解：∵z=i1+i=i(2.【答案】B

【解析】解∵0<x−1≤1⇒1<x≤2，

∴A=(1,3.【答案】C

【解析】解：因为a//b，

则cosα=−2sinα，可得tanα4.【答案】B

【解析】解：由图可知后两个组频率为(0.013+0.037)×5=0.25，从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，

所以第1小组的频率为(1−0.25)×11+2+3=0.125，第1小组的频数为4，

所以报考飞行员的学生人数是4÷5.【答案】A

【解析】解：sin(α−7π10)=sin(α−6.【答案】D

【解析】解：∵数列{an}满足a1=1,anan+1=2n(n∈N*)①，

∴当n=1时，a2=2，

当n≥2，anan−1=2n−1②，7.【答案】B

【解析】解：开始i=1，S=12，

①S=12−2=10，i=2，S<0为否；

②S=10−4=6，i=3，S<08.【答案】B

【解析】解：因为椭圆C：x2a+1+y2a=1(a>0)的离心率为13，

则1a+1=13，解得a=8，即椭圆C的方程为x29+y28=1，

于是椭圆的上顶点A(0,22)，右顶点B(3,0)，

经过A，B两点的椭圆切线方程分别为y9.【答案】B

【解析】解：因为△ACD和△BCD为均以CD为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的即为CD的中点，

由题意可得：CD=2AC=4210.【答案】C

【解析】解：对于A：两个球都是红球的概率为13×12=16，故A正确；

对于B：两个球中恰有1个红球的概率为13×(1−12)+(1−13)×12=12，故B正确；

对于C：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

设出PQ坐标，利用平方差法，结合直线的平行关系，转化求解双曲线的离心率即可．

【解答】

解：由题意知F(c,0)，B(0,b)，则kPQ=kBF=−bc．

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

则x12a2−12.【答案】D

【解析】解：因为f(x)的图象关于点(3,0)中心对称，

所以f(x+3)=−f(−x+3)，则f(x)=−f(−x+6)，

所以f′(x)=f′(−x+6)，即g(x)=g(−x+6)，

所以g(x+3)=g(−x+3)，

所以函数g(x)的图象关于直线13.【答案】6

【解析】解：根据题意作出平面区域，如图所示，

因为z=2x+y表示斜率为−2，纵截距为z的直线，

联立y=2y=x，可得y=x=2，即点A(2,2)，14.【答案】54

【解析】解：安排两人选择数学，共有C42=6种不同的安排方法，

另外两人选择其他课程(剩余3个课程)，共有3×3=9种不同的安排方法，

所以共有6×915.【答案】54【解析】解：f(x)=Asin2(ωx+π8)=−A2cos(2ωx+π4)+A2，

因为图象关于点(π2,1)中心对称，

所以12A=12ω×π216.【答案】[2【解析】解：因为f(x)=12ax2−ex+1，则f′(x)=ax−ex，

令f′(x)=ax−ex=0，且f′(0)=−1≠0，整理得a=exx，

原题意等价于y=a与y=exx有两个不同的交点，

构建g(x)=exx(x≠0)，则g′(x)=(x−1)exx2(x≠0)，

令g′(x17.【答案】解：(1)因为(2a−c)sinA+(2c−a)sinC=2bsinB，

由正弦定理可得(2a−c)a+(2c−a)c=2b2，整理得a2+c2−b2=ac【解析】(1)根据题意结合正、余弦定理分析运算即可；

(2)由(18.【答案】证明：(1)∵BB1//CC1，

且BB1⊄平面AA1C1C，CC1⊂平面AA1C1C，

∴BB1//平面AA1C1C，

又∵BB1⊂平面B1BD，且平面B1BD∩平面ACC1A1=DE，

∴BB1//DE；

(2)连接A1C，取AC中点O，连接A1O，BO，

在菱形ACC1A1中，∠A1AC=60°，

∴△A1AC是等边三角形，

又∵O为AC中点，

∴A1O⊥AC，

∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AC【解析】(1)首先证明BB1//平面AA1C1C，再根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行；

(2)取AC的中点O19.【答案】解：(1)记事件A为“甲班每轮比赛得−1分”，事件B为“甲班每轮比赛得0分”，事件C为“甲班每轮比赛得1分”，

则P(A)=(1−12)×23=13，

P(B)=12×23+(1−12)×(1−23)

X−−

0

1

2

P

1

1

13

1

1所以E(X【解析】(1)分别计算甲班全部答错且乙班全部答对、甲班乙班都全部答对或都全部答错、甲班全部答对且乙班全部答错的概率即可；

(2)分别计算X取−2，−1，0，120.【答案】解：(1)由已知可设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，椭圆方程x2a2+y2b2=1，

则双曲线的一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0，

故bca2+b2=3，即b=3，又a2−b2a=12，

解得a=2，所以双曲线方程：x24−y23=1，

所以椭圆方程为：x24+y23=1；

(2)设P(x0【解析】(1)设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，椭圆方程x2a2+y2b2=1，根据焦点到渐近线的距离和离心率求出a2，b2可得答案；

(2)设P(x0,t)21.【答案】解：(1)f′(x)=12x−1,f′(1)=−12，

又切点(1,−1)，则切线方程为y+1=−12(x−1)，即x+2y+1=0；

(2)g(x)=1【解析】(1)先对函数求导，利用导数的几何意义求解即可；

(2)先对g(x)求导，问题转化为4mx2−2x+22.【答案】解：(1)由已知O，A，B的极坐标和极直互化公式x=ρcosθy=ρsinθ得O，A，B的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)，

∴∠OAB为直角．

∴经过O，A，B三点的圆C的圆心为(3,3)，且经过原点O，

则圆的半径为r=32+32=32，

∴圆C的方程为：(x−3)2+(y−3)2=18，即x2+y2【解析】(1)利用极直互化公式求得O，A，B三点的直角坐标，可得