2022年高考数学一模试卷及答案

千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐2022年高考数学一模试卷及答案2022年高考数学一模试卷及答案

一、挑选题

1．设1i

2i1i

z-=++，则||z=A．0

B．

12

C．1

D．2

2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分离如图所示，则该几何体的鸟瞰图为()

A．

B．

C．

D．

3．甲、乙、丙3位志愿者支配在周一至周五的5天中参与某项志愿者活动，要求每人参与一天且天天至多支配一人，并要求甲支配在另外两位前面，不同的支配办法共有（）A．20种

B．30种

C．40种

D．60种

4．已知函数()(3)(2ln1)x

fxxeaxx=-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()fx在

(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A．(,)e+∞

B．2(,2)ee

C．2(2,)e+∞

D．22(,2)

(2,)eee+∞

5．南北朝时代的宏大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分离为12,VV，被平行于这两个平面的随意平面截得的两个截面的面积分离为12,SS，则“12,SS总相等”是“12,VV相等”的（）

A．充分不须要条件

B．须要不充分条件

C．充分须要条件

D．既不充分也不须要条件

6．正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么EF=（）

A．11

23

ABAD-B．

11

42

ABAD+C．

1132ABDA+D．12

23ABAD-.7．设,abR∈，“0a=”是“复数abi+是纯虚数”的（）

A．充分而不须要条件

B．须要而不充分条件

C．充分须要条件

D．既不充分也不须要条件

8．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b，且不等式x2－6x＋c＜0的解集为(a，b)，则这个样

本的标准差是()A．1B2C3

D．2

9．不等式2x2-5x-3≥0成立的一个须要不充分条件是（）A．1x

B．0x或2x-

C．0x

D．1

2

x-

或3x10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为

A．72

B．64

C．48

D．32

11．祖暅是我国南北朝时代的宏大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式VSh=柱体，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）

A．158

B．162

C．182

D．324

12．设双曲线22221xyab

-=（0a>，0b>）的渐近线与抛物线2

1yx=+相切，则该双曲

线的离心率等于（）A．3

B．2

C．6

D．5

二、填空题

13．如图，一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶，处处时测得马路北侧一山顶D在西偏北

的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北

的方向上，仰角为

，则此山的高度

________m.

14．函数()22,0

26,0xxfxxlnxx?-≤=?-+>?

的零点个数是________．

15．i是虚数单位，若复数()()12iai-+是纯虚数，则实数a的值为.16．已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________17．函数()lg12sinyx=-的定义域是________．

18．在极坐标系中，直线cossin(0)aaρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则

a=__________．

19．设函数2

1()ln2

fxxaxbx=--，若1x=是()fx的极大值点，则a取值范围为_______________.

20．设等比数列{}na满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．

三、解答题

21．如图，四棱锥PABCD-的底面ABCD是平行四边形，衔接BD，其中DADP=，

BABP=.

（1）求证：PABD⊥；

（2）若DADP⊥，060ABP∠=，2BABPBD===，求二面角DPCB--的正弦值.

22．设()34fxxx=-+-.

（Ⅰ）求函数()2()gxfx=-

（Ⅱ）若存在实数x满足()1fxax≤-，试求实数a的取值范围.

23．如图，已知四棱锥PABCD-的底面为等腰梯形，//ABCD,ACBD⊥,垂足为H，

PH是四棱锥的高．

（Ⅰ）证实：平面PAC⊥平面PBD;（Ⅱ）若AB6=

APBADB∠=∠=60°

,求四棱锥PABCD-的体积．24．若不等式2520axx+->的解集是122xx??

的解集．

25．已知函数()lnfxxx=.（1）若函数2()1

()fxgxxx

=

-，求()gx的极值；（2）证实：2

()1x

fxex+=且()2

22age≠=，又由()fx在(1,2)上单调递增，得到

()0fx'≥在(1,2)上恒成立，进而得到xaxe≥在(1,2)上恒成立，借助函数()xgxxe=在

(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2age>=，即可得到答案.

【详解】

由题意，函数()(3)(2ln1)x

fxxeaxx=-+-+，

可得2()(3)(1)(2)()(2)()xx

x

x

axeafxexeaxexxxx

-'=+-+-=--=-?，

又由函数()fx在(1,)+∞上有两个极值点，

则()0fx'=，即(2)()0xxea

xx

--?=在(1,)+∞上有两解，

即0xxea-=在在(1,)+∞上有不等于2的解，

令()x

gxxe=，则()(1)0,(1)x

gxxex'=+>>，

所以函数()x

gxxe=在(1,)+∞为单调递增函数，

所以()1age>=且()2

22age≠=，

又由()fx在(1,2)上单调递增，则()0fx'≥在(1,2)上恒成立，

即(2)()0xxea

xx

--?≥在(1,2)上恒成立，即0xxea-≤在(1,2)上恒成立，

即xaxe≥在(1,2)上恒成立，

又由函数()x

gxxe=在(1,)+∞为单调递增函数，所以2

(2)2age>=，

综上所述，可得实数a的取值范围是22ae>，即2

(2,)ae∈+∞，故选C.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、规律推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度举行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，推断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注重数形结合思想的应用.

5．A

解析：A【解析】【分析】

按照充分条件和须要条件的定义，结合祖暅原理举行推断即可.【详解】

按照祖暅原理，当12,SS总相等时，12,VV相等，所以充分性成立；

当两个彻低相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积当然相等但截得的面积未必相等，所以须要性不成立.

所以“12,SS总相等”是“12,VV相等”的充分不须要条件.故选：A

【点睛】

本题考查充分条件与须要条件的推断，属于基础题.

6．D

解析：D【解析】【分析】

用向量的加法和数乘法则运算。【详解】

由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴1112

2323

EFEDDAABBFABADABADABAD=+++=--++=-。故选：D。【点睛】

本题考查向量的线性运算，解题时可按照加法法则，从向量的起点到尽头，然后结合向量的数乘运算即可得。

7．B

解析：B【解析】【分析】【详解】

当a=0时，假如b=0，此时0abi+=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而假如

abi+已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是须要条件，故

选B

【考点定位】

本小题主要考查的是充分须要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

8．B

解析：B【解析】

由题意得a＋3＋4＋5＋6＝5b，a＋b＝6，解得a＝2，b＝4，所以样本方差s2＝1

5

[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，

.故答案为B.

9．C

解析：C【解析】【分析】

按照题意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-1

2

或x≥3的须要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案．【详解】

按照题意，解不等式2x2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x2-5x-3≥0?x≤1

2

-或3x，所以可以转化为找x≤-

1

2

或x≥3的须要不充分条件；依次选项可得：x1是1

2

x≤-

或x≥3成立的充分不须要条件；x0≥或x2≤-是1

2x≤-或x≥3成立的既不充分也不须要条件

x0是1

2

x≤-或x≥3成立的须要不充分条件；

x≤-12或x≥3是1

2x≤-或x≥3成立的充要条件；故选C．【点睛】

本题考查了充分须要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x2-5x-3≥0．

10．B

解析：B【解析】【分析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】

由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，

所以几何体的体积为1445443643

VVV=-=??-???=柱锥，故选B。【点睛】

本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际外形时，要按照三视图的规章，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不行见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的外形以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。

11．B

解析：B【解析】

【分析】

先由三视图还原出原几何体，再举行计算【详解】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为

264633616222++???+??=

???

.故选B..【点睛】

本题首先按照三视图，还原得到几何体——棱柱，按照题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注意了基础学问、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避开出错，应注意多观看、精心计算

12．D

解析：D【解析】

由题意可知双曲线的渐近线一条方程为byxa=，与抛物线方程组成方程组2,1

byx

ayx?

=???=+?消

y得，2

210,()40bbxxaa-+=?=-=，即2()4ba=，所以21()5b

ea

=+=，选D.【点睛】

双曲线22

221xyab

-=（0a>，0b>）的渐近线方程为byxa=±．

直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，

当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，惟独一个交点．

当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0?时，直线与抛物线相交，有两个交点．当0?=时，直线与抛物线相切，惟独一个交点．当?，即1

sin2

x，解得

51322,66

kxkkZππππ+，得(0)xyaa+=>，

由2cosρθ=，得2

=2cosρρθ，即22=2xyx+，即22(1)1xy-+=，

1101aaa=∴=±>∴=+，，

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cosxρθ=及sinyρθ=直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2

cos,sin,ρθρθρ的形式，

举行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形办法.但对方程举行变形时，方程必需同解，因此应注重对变形过程的检验.

19．【解析】试题分析：的定义域为由得所以①若由得当初此时单调递增当初此时单调递减所以是的极大值点；②若由得或由于是的极大值点所以解得综合①②：的取值范围是故答案为考点：1利用导数讨论函数的单调性；2利用解析：

【解析】

试题分析：()fx的定义域为()()1

0,,'fxaxbx

+∞=--，由()'00f=，得1ba=-，所以()()()11'axxfxx

+-=

.①若0a≥，由()'0fx=，得1x=，当01x，此时()fx

单调递增，当1x>时，()'0fx，解得10a--，故答案为()1,-+∞.考点：1、利用导数讨论函数的单调性；2、利用导数讨论函数的极值.20．【解析】试题分析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时取得最大值考点：等比数列及其应用解析：64

【解析】

试题分析：设等比数列的公比为q，由132410{5aaaa+=+=得，212

1(1)10

{(1)5

aqaqq+=+=，解得18

{12

aq==.所以2(1)

1712(1)22212

1

18()22nnnnnnn

naaaaq

--++++-==?=，于是当3n=或4时，12

n

aaa取得最大值6264=.考点：等比数列及其应用

三、解答题

21．(1)见解析；(2)43

sinα=

试题分析：.（1）取AP中点M，易证PA⊥面DMB，所以PABD⊥，（2）以

,,MPMBMD所在直线分离为,,xyz轴建立空间直角坐标系，平面DPC的法向量

()13,1,3n=

--，设平面PCB的法向量2n=

(

)

3,1,3-，121212

?1cos,7

nnnnnn=

=

，即43

sinα=

.试题解析：

（1）证实：取AP中点M，连,DMBM，∵DADP=，BABP=

∴PADM⊥，PABM⊥，∵DMBMM?=∴PA⊥面DMB，又∵BD?面DMB，∴PABD⊥

（2）∵DADP=，BABP=，DADP⊥，060ABP∠=

∴DAP?是等腰三角形，ABP?是等边三角形，∵2ABPBBD===，∴1DM=，

3BM=.

∴222BDMBMD=+，∴MDMB⊥

以,,MPMBMD所在直线分离为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A-，()

3,0B，()1,0,0P，()0,0,1D

从而得()1,0,1DP=-，()

1,3,0DCAB==，()

1,3,0BP=-，()1,0,1BCAD==设平面DPC的法向量()1111,,nxyz=

则11?0?0nDPnDC?=??=??，即11110

30

xzxy-=???+=??，∴()

13,1,3n=--，

设平面PCB的法向量()2212,,nxyz=，

由22?0?0nBCnBP?=??=??，得222

2030xzx+=???-=??，∴(

23,1,3n=

-

∴121212

?1cos,7nnnnnn

=

=

设二面角DPCB--为α，∴21243

sin1cos,nnα=-=

点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；其次，破“求坐标关”，精确     求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1

(,2[,)2

-∞-?+∞）．【解析】【分析】【详解】

试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()fx表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．

试题解析：（Ⅰ）72,3

()34{1,3427,4

xxfxxxxxx-，它与直线2y=交点的横坐标

为

52和92

，∴不等式()2()gxfx=-的定义域为59

[,

]22

．（Ⅱ）函数1yax=-的图象是过点(0,1)-的直线，

结合图象可知，a取值范围为1(,2)[,)2

-∞-?+∞．

考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．23．（Ⅰ）证实见解析；（Ⅱ323

+.

【解析】【分析】【详解】

试题分析：（Ⅰ）由于PH是四棱锥P-ABCD的高．

所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平面PHD内,且PHBD=H.所以AC⊥平面PBD.故平面PAC⊥平面PBD.

（Ⅱ）由于ABCD为等腰梯形，ABCD,AC⊥

.所以

由于∠APB=∠ADR=600所以

,HD=HC=1.可得

等腰梯形ABCD的面积为S=1

2

所以四棱锥的体积为V=

13x（

33+考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证实过程．本题（I）较为容易，（II）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤．

24．132xx??

-，解一元二次不等式即可.【详解】

解：由已知条件可知0a，()2

2ln'xgxx-=，当()