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文档简介
第二章导数微分导数与微分第一节导数的概念第二章一、引例v
=
lim
f
(t)
-
f
(t0
)tfi
t0t
-
t02s
=
1
gt
20tta
jk
=
lim
f
(x)
-
f
(x0
)xfi
x0x
-
x0共性:函数增量 自变量增量速度增量转角增量质量增量电量增量时间增量时间增量长度增量时间增量变化率问题ajt0t二、导数的定义定义1.xfi
x0x
-
x0lim
f
(x)
-
f
(x0
)
=
lim
Dy0D
xfi
0
D
x=
lim
DyD
xfi
0
D
x可导导数s
=
f
(t)t0=
f
(
t0
)C
:
y
=
f
(x)=
f
(x0
)t0ta在点x0不可导.lim
Dy
=
¥
,D
xfi
0
D
xI导函数注意:0f
(
x
)
=
f
¢(x)d
f
(x0
)x=x0
„
dx在I
内可导.无穷大例1.解:例2.解:说明：y
=
xmm(
xm
)¢=
m
xm-1例如，（以后将证明）例3.解:例4.解:1xx·
·例5.证:例6.解:
原式
=
limhfi
0+
f
(x0
)-
f
(
x0
-
h)2h120=120f
¢(x
)f
¢(x
)
+0=
f
(x
)2(-h)f
(x0
)
f
(x
-
h)
-
f
(x
)+
0
0三、导数的几何意义tana
=
f
(x0
)切线方程:法线方程:a驻点例7.解:四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:注意:反例:连续未必可导右(左)五、单侧导数定义2.f+
(x0
)
(
f-
(x0
))=f+
(x0
)(D
x
fi
0-
)(D
x
fi
0-
)x0右(左)导数--例如,定理2.简写为定理3.右(左)右(左)充分必要条件内容小结(C)
=
0
;(sin
x)
=
cos
x;(xm
)
=
mxm-1
;(cos
x)
=
-
sin
x;f
(x0
)
=
af+
(x0
)
=
f-(x0
)
=
ax(ln
x)
=
1思考与练习1.f
(x)f
(x0
)=
f
(x0
)f
¢(x)
x=x0注意:？2.3.-
f
(x0
)k04.解:5.解:作业2
,6,
11,20牛顿(1642–1727)莱布尼兹(1646–1716)备用题1.解:=
1
lim
f
(1+
(
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