静力学和材料力学82弯曲刚度

dxyyyyyyyyyyyyyy

变形后位置变形后

位置qq

((xx))wwww((((xxxx))))oooooooooooooo

xxxxxxxxxxxxxxxxxx 变形前位置变形前位置变

形前位置变形前位置变形前位置变形前位置xyoxdxdwq

(x)w(x)数学工具箱tanx=

x

+

1

x3

+

2

x5

+3

157.1

弯曲变形的概念1.

梁弯曲变形的度量LaCABFq

tanq

=

dw挠曲线(deflection

curve)挠度(deflection)w

=w(x)

——挠度方程挠度以y轴正向为正。转角(slope)q

=q(x)

——转角方程转角以x

轴向逆时针旋转为正。1

=

–

y

r

(1+

y¢2

)3

2当

y

<

0

时，曲线为凸形。xyo数学工具箱曲率计算公式r(x)

EI1

=

M

(x)当

y

>

0

时，曲线为凹形。判断挠度曲线的大致形状2.

挠度曲线曲率与弯矩的关系M

>

0

M

<

0y

>

0

y

<

0qqqx凹曲线2.

挠度曲线曲率与弯矩的关系凸曲线拐点注意

拐点处弯矩为零，曲率为零。注意

判断挠度曲线的形状时应注意梁的约束条件。弯矩为正弯矩为零M

弯矩为负判断挠度曲线的大致形状r(x)

EI1

=

M

(x)LLLmmmmmmmmmm分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？r

EI1

=

MM

图利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状LLLmmmmmm分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？斜直线mm直线直线M

图利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状m

mmmLLLLLLmmm分析和讨论两种结构的内力相同吗？两种结构的挠度曲线相同吗？两种结构的挠度曲线的曲率相同吗？两种结构的挠度曲线之间有什么关系？利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状m

m

m分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？aaPPPP利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状P分析和讨论哪一种挠度曲线是正确的？PaaPPP

P利用曲率与弯矩的关系绘制挠曲线大致形状［例5］试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。a

aBDa（a）

（b）ACaamC

ABq（c）C3aaABqD（d）CaaABDam

m解：作弯矩图：=

0=

0x

=

2

ax

=

0ww边界条件：aa[例5]

试画出下列梁的挠曲线大致形状，并写出边界条件。（a）ABmCDam/2m/2x

=

a

+x

=

a

-x

=

a

+x

=

a

-=

w=

qwq=

wx

=

2a

+x

=

2a

-x

=

2

a

+x

=

2

a

-=

qwq解：作弯矩图：=

0=

0x

=

2

ax

=

0ww边界条件：x

=

a

+x

=

a

-x

=

a

+x

=

a

-=

w=

qwq（b）CaaABq9qa2/32qa2/4解：作弯矩图：wwx

=

3

ax

=

0=

0=

-

D

l

CD边界条件：=

wwx

=

3a

+x

=

3a

-x

=

3

a

+x

=

3

a

-=

qq（c）C3aaABqDqa2/28qa2/9解：作弯矩图：=

0=

0x

=

0x

=

0wq边界条件：x

=

a

+x

=

a

-x

=

a

+x

=

a

-=

ww=

qq=

wx

=

2a

+x

=

2a

-x

=

2

a

+x

=

2

a

-=

qwq（d）CaaABDam

mm§8-3

按叠加原理求梁的挠度与转角§8-3

按叠加原理求梁的挠度与转角一、载荷叠加（直接叠加法）：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。q(F1

,

F2

,w(F1

,

F2

,+q(Fn

)+w(Fn

),

Fn)

=

q(F1

)

+

q(F2

)

+,

Fn

)

=

w(F1

)

+

w(F2

)

+CL/2L/2BF1

F2

F3Fn16梁的总长为l17B18BFFAA

BB

CCEIEI

aa

aa//22FFAA

BB

CCwwFFAA

BB

CCww11FFAA

BB

CCww11变形体

刚体FF

FFaFa 22AA

BB

Cqq

ww11FFAA

BB

CCww11FFAA

BB

CC

ww11ww22FFAA

BB

CC

ww11ww22FFAA

BB

CC

ww11ww22刚体

变形体FFAA

BB

CCww22FABCwC

点的挠度，是由AB

段变形的影响和BC段变形的影响共同构成的。a

Fa3w1

=

q

2

=

-12EI24EI

=

-3EI

2

F

a

3

Fa3w2

=

-8EIFa3wC

=

w1

+

w2

=

-flmlFa

2)a

Fa

23EI

=

-

6EIq

=

-3EI

=

-依据：若结构可分为若干部分，且各部分在荷载作用下的变形不是相互独立的，那么，结构中A

点的位移是各个部分在这一荷载作用下的变形在A

点所引起的位移的叠加。二、逐段变形效应叠加法(逐段刚化法)FFFFFFFFFFFFFFFFw3FFFFFFFw2jFFFFFFFFFFFw1FLaABC例

求力

F

作用点处的竖向位移

w。BCFa3w1

=

-3EI2w

=

-j

a

=

-GIP

AB(Fa)

LP

ABFa2

La

=

-GIABFL3w3=

-3EIw

=

w1

+

w2

+

w3fl例3

结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。=+L1

L2

PA

CCPL2f2等价等价B

xfB

xf1ff

=

f1+

f2fPL1L2A刚化AC段CL1ACBL2

PB刚化BC段L1P

L2ACMB

xf2223§7-5计算梁位移的叠加法24用叠加法求图示外伸梁的θC和vC，梁的抗弯刚度是EI。aBACaqaM=qa2P=qa解使用叠加积分法求转角和挠度。(a)将梁上的载荷分解为三种简单载荷单独作用的情形。BACaaaP=qa(1)BACa

qaa(3)ACaaaBM=qa2(2)vC

=

vC(1)

+

vC(2)

+

vC(3)+q

+qqC

=qC(1)

C(2)

C(3)(b)而第三种情形又可分解为如下二种载荷单独作用的情形。BACaaa(32)qaqa2/2(31)BACaqaaqa2/2qa(31)’BACaqaaqaBACaaa(32)’qa2/2+

q

C

(

32

)+

v

C

(

32

)q

C

(

3

)

=

q

C

(

31

)v

C

(

3

)

=

v

C

(

31

)(c)应用挠度表确定三种下，梁c点处的转角和挠度。查表：4EI4EIqa4=-(qa)·(2a)2

qa3qC(1)

=qC(P)

=qA(P)

=-，vC(1)

=vC(P)

=-qA(P)

·a=3EI6EI

3EIqa4=16EI(qa2)·2a

qa3qC(2)

=qC(M)

=qA(M)

=，vC(2)

=vC(M)

=-qA(M)

·a

=-3

EI1,qa

4qa

3v

C

(

32

)qa

32qa

4v

C

(

31

)qa

3·

a

=

-3

EI=

-3

EI=

,3

EI(

qa

)

·

2

a2==

-8

EI=6

EIqC

(

32

)qC

(

31

)而对第三种情形下二种载荷单独作用下，应用叠加法进行叠加。qaqaqaqaqa11

qa444333=

-24

EI=

-

-8

EI

3

EI=

+

=6

EI

3

EI

2

EI，q

C

(

3

)

=

q

C

(

31

)

+

q

C

(

32

)v

C

(

3

)

=

v

C

(

31

)

+

v

C

(

32

)(d)应用叠加法，将三种情形下转角和挠度叠加。vC13

qa

4=

-24

EIqa

4

qa4

11qa

4=

-

-4

EI

3

EI

24

EI=

vC

(1)

+

vC

(

2

)

+

vC

(

3

)qa

3

qa

3

qa

3

7

qa

3=

-

+

+

=4

EI

3

EI

2

EI

12

EI=

qC

(1)

+

qC

(

2

)

+

qC

(

3

)\

qC(已知AB段和BC段的长度都为a)29A30BCB’C’例6.5

已知：P1

,

P2

,

a,l,

EI

=常数。求：yC

,qB。解：简化为外伸梁如图。ADBCl

/2l

/2aFF1ABF2Cl/2Dl/2F1aABF2l/2Dl/2CayC1qBFsMByC2CF1将AC梁分为两个部分。将AC梁分为两个部分。简支梁在B处的内力:s

1F

=

FMlB

M3EI(q

)

=F

al33EI=

1

由p.

188

表6.1中的6

由表6.1中的8B

F2F

l

216EI(q

)=

-

2

所以2qB

=

(qB

)M

+

(qB

)F3EIF

al3

F

l

216EI=

1

-

2

M

=

F1a求

qB

Fs不引起变形。ABF2l/2Dl/2CayC1qBFsMBF1yC2C由表6.1中的2求yCC点的位移由两部分组成：由B截面转角引起的位移和由悬臂梁BC的变形By

=

aqC

1F

a2l33EI=

1

F

al

216EI-

2

C

2F

a3y3EI=

1

引起的位移。ABF2l/2Dl/2CayC1qBFsMBF1yC2CC

2y

=

y

+

yC

C

1F

a23EIF

al

216EI=

1

(a

+

l)

-

2

34§7-5计算梁位移的叠加法根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承BB处转角不超过许用数值。

1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B

处的转角为：B3EI=

Flaq解§7-5梁的刚度条件与合理刚度设计例5

已知钢制圆轴左端受力为F＝20

kN，a＝l

m，l＝2

m，E=206

GPa。轴承B处的许可转角[θ]=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。35目录例6

已知钢制圆轴左端受力为F＝20

kN，a＝l

m，l＝2

m，E=206

GPa。轴承B处的许可转角[θ]=0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。B2）由刚度条件确定轴的直径：qB

£

q]264

·

20

·103

·

2

·1·180=

4=

111·10-3

m

=

111mm3

·

206

·109

·p

·0.53Ep[q]p64Fla

·180d

‡

4§7-5梁的刚度条件与合理刚度设计£

[q]3EI

pFla

180Fla

·180I

‡3Ep

[q]pd

4

Fla

·18036目录‡64

3Ep[q]§7-6简单静不定梁37§7-6简单静不定梁38§7-6简单静不定梁39§7-6简单静不定梁402a(a)aBFCMAAFAy解例6

求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。(c)(b)BACFCBAFBy1）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCABFCyB

=

(

yB

)F

+(

yB

)F

=

0By§7-6简单静不定梁3）进行变形比较，列出变形协调条件FBy41目录4）由物理关系，列出补充方程6EIF

(2a)2

14Fa3(9a

-

2a)

=

-3EI(

yB

)F

=

-ByBFBy3EI8F

a3(

y

)

==

0+-8F

a33EI

3EI14Fa3By所以By4F

=

7

F4）由整体平衡条件求其他约束反力M

=

Fa

(

),

F

=

-

3

F

(

)A

2

Ay

4§7-6简单静不定梁2a(a)aBFCMAAFAy(c)(b)A

B

CFCBAFBy(d)ABCABFCM

AFBy42目录FAyP2=2kNACL=400mm

a=0.1mP例4

下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的

E=210GPa，工程规定C点的[f/L]=0.00001,B点的[q]=0.001弧度,试校核此杆的刚度。=++=ACP2BCDAP2=2kNCD

B200mm

P1=1kND

BP1=1kND

BABCaP2BCDAP2MP2BCa=++图1图216EIP

L2a11C

1Bf

=q

a=16EIP

L211Bq

=3B=-

ML

=-LaP23EI

3EIq3

EIP La

2f

3

C

=q

3

B

a

=-

2

解：结构变换，查表求简单载荷变形。2

Bq

=03EIP

a32f2C

=-P2=2kNa=0.1mP1P

=1kNCP2BCDAMxC图3L=400mmA

D

Bf

200mm

P1=1kNA

D

BP2BCa=++图1图2P2=2kNa=0.1mP1L=400mmA

D

B1P

=1kNA

D

BCP2BCDAMxCf

200mm

P

=1kNPL2a P

a3

P

a2

L16EI3EI

3EIfC

=

1

-

2

-

2

P

L2

P

La16EI

3EIqB

=

1

-

2

叠加求复杂载荷下的变形64图3643.14-12=188·10-8

m4=

(804

-404

)·10I

=

p

(D4

-d

4

)2-

=-5.19·10-6

m1

-

2P

a2

L16EI

3EI

3EIP

L2a P

a3f

=C0.4

400

200(

-

)=-0.423·10-4

(弧度)210·1880

16

3=1

-

216EI

3EIP

L2

P

LaBq

=qmax

=0.423·10

<[q

]=0.001-4

L

£

f

Lf

max-

5

m=

5

.

19

·10

-

6

m

<[f

]=10f

max校核刚度M1

(x1

)

=

qax12(0

£

x1

£

a)2222

2(xq2(a

£

x

£

2a)-

a)M

(x

)

=

qax

-q112222q2EIyEIy

†

=

qax†=

qax

-(

x

-

a)q21112qax¢EIy

=+

CEIy

†

=

qax1

12222q2EIy†=

qax

-(

x

-

a)3111

1

16qaxEIy

=+

C

x

+

D已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和vmax。解：由对称性，只考虑半跨梁ACDayACB

xaaaDEx2AF

=

qaFB

=

qayx1aACB

xaaaDE12

12¢

¢=

yy

=

y

,

y2

1D

=

D得C1

=C2由连续条件：x1

=x2

=a由边界条件：x1

=0y1

=

0得D1

=022由对称条件：x

=

2a26y

¢=

0

得C

=

-11

qa32322222qa¢EIy

=x

-(

x

-

a)+

C342222

226

24qaq6qEIy

=

x

-(

x

-

a)+

C

x

+

D10

£

x£

a11q

=

-qa(11

a

2

-

3

x

2

)2a

£

x

£

2

a22q

=

-6

EIq6

EI[

-3ax22

+

(

x-

a

)

3

+

11

a

311qa

3q

max

=

q

A

=

q1

x1

=0

=

-

6EI19qa4ymax

=

y2

x

=2a

=

-

8EI210

£

x£

a2a

£

x

£

2a111yqa=

-6

EI(11a

2

x-

x

3

)222

2=

-yq24

EI[-4ax

3

+

(

x

-

a

)4

+

44

a3x

]目录例6.39图示的结构中,梁为16号工字钢,拉杆的截面为圆形d=10mm,两者的材料相同均为Q235钢,E=200Gpa试求梁及拉杆内的最大的正应力.解：FBCq=10KN/mL=4mABq=10KN/mL=4m5mABCBC杆是二力杆,作用在铰接BC点B有力F

如图所示.BC杆的变形为:BCBCEADLF

L=

BC

BC4103p5·103

F

F=

BC

=

BC

3

p

·102200

·10FFl3

F

(4

·103

)3y

==

BC

由于:3EI

3·

200

·103

·1.13·107DLBC

=

yBq

-

yBFl3Fql

4

F8EI

3EI-+

BC

=

-

BC

p

·103AB梁的截面惯性矩查表4为:I=1130Cm4

WZ=141cm3AB梁在B的变形查表为:ql

4

10

·(4

·103

)4yBq

=

-

8EI

=

-

8·

200

·