向量数乘运算及其几何意义含答案

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义明目标、知重点 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义 .2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算 .3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． 21·cn·jy·com1．向量数乘运算：实数 λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa，其长度与方向规定如下： 21·世纪*(1)|λa|＝|λ||a|.当λ>0时，与a方向相同，(2)λa(a≠0)的方向当λ<0时，与a方向相反；特别地，当 λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.2．向量数乘的运算律λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.3．共线向量定理：向量

a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数

λ，使

b＝λa.4．向量的线性运算： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量

a、b，以及任意实数

λ、μ、μ，恒有1 2

2-1-c-n-j-yλ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[情境导学] 引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现．如力与加速度的关系 F＝ma，位移与速度的关系s＝vt.这些公式都是实数与向量间的关系．

21教育名师原创作品师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出

a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？生：a＋a＋a的长度是a的长度的3倍，其方向与a的方向相同，(－a)＋(－a)＋(－a)的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反．师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题．探究点一 向量数乘运算的物理背景思考1 一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量 v，那么在同方向上 3秒钟的位移对应的向量用 3v表示，试在直线 l上画出3v向量，看看向量 3v与v的关系如何？答→ → → →3v＝OC＝OA＋AB＋BC＝v＋v＋v.3v与v的方向相同，|3v|＝3|v|.思考2 已知非零向量 a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)，你能说明它们与向量 a之间的关系吗？ 【版权所有：21教育】答→ → → →OC＝OA＋AB＋BC＝a＋a＋a＝3a；→ → → →O′C′＝O′A′＋A′B′＋B′C′＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.思考3 一般地，我们规定：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．作λa，该向量的长度与方向与向量 a有什么关系？答 λa仍然是一个向量．

记(1)|λa|＝|λ||a|；λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反；λ＝0时，λa＝0.方向任意．探究点二向量数乘的运算律思考1根据实数与向量积的定义，可以得哪些数乘运算律？答设λ，μ∈R，则有①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.思考2 向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？答 ①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)．如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立；如果λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，故|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与

a同向；如果 λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与

a反向．因此，向量 λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以

λ(μa)＝(λμ)a.例

1

计算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．解 (1)原式＝(－3×4)a＝－12a；原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.反思与感悟向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．跟踪训练1计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；127137(2)23a＋2b－3a－b－62a＋7b＋6a；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．解(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.1 2 71 1 3原式＝23a－3a＋2b－b－62a＋2a＋7b＝177323a＋b－6a＋7b7 1 7 16a＋2b－6a－2b＝0.原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.探究点三 共线向量定理及应用思考

1

请观察

a＝m－n，b＝－2m＋2n，回答

a、b有何关系？答 因为

b＝－2a，所以

a、b是平行向量．思考

2

若a、b是平行向量

(a≠0)能否得出

b＝λa？为什么？答 可以．因为 a、b平行，它们的方向相同或相反．小结 由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果 a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数 λ，使b＝λa.对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数 λ，使b＝λa，则由实数与向量乘积定义可知 b与λa平行，即b与a平行．其二，若 b与a平行，且不妨令 a≠0，设|b|＝μ(这是实数概念 )．接下来看 a、b方向如何：|a|①a、b同向，则 b＝μa，②若a、b反向，则记 b＝－μa，总而言之，存在实数 λ(λ＝μ或λ＝－μ)使b＝λa.例2 已知e1，e2是不共线的向量， a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？解 若a与b共线，则存在 λ∈R，使a＝λb，即3e1＋4e2＝λ(6e1－8e2)，所以(3－6λ)e1＋(4＋8λ)e2＝0，因为e1与e2不共线，所以3－6λ＝0，所以λ不存在，4＋8λ＝0，所以a与b不共线．反思与感悟(1)本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线．→→→→→(1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：AB，BD共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．解→→→→→(1)∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB.→→∴AB，BD共线．∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，即(k－λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，k－λ＝0，只能有 ∴k＝±1.λk－1＝0，探究点四 三点共线的判定思考1→→若存在实数λ，使AB＝λBC，则A、B、C三点的位置关系如何？→→答由共线向量定理可得，A，B，C三点共线?存在λ∈R，使AB＝λBC.思考2已知O为平面ABC内任一点，若A、B、C三点共线，是否存在→α、β∈R，使OC＝→→αOA＋βOB，其中α＋β＝1?答存在，因A、B、C三点共线，则存在→→λ∈R，使AC＝λAB.→→→→∴OC－OA＝λ(OB－OA)，→→→∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.令1－λ＝α，λ＝β，则→→→OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1.思考3已知O为平面ABC内任一点，若存在→→→α，β∈R，使OC＝αOA＋βOB，α＋β＝1，那么A、B、C三点是否共线？答共线，因为存在→→→α、β∈R，使OC＝αOA＋βOB，且α＋β＝1.→→→∴β＝1－α，∴OC＝αOA＋(1－α)OB，→→→→∴OC＝αOA＋OB－αOB→→→→∴OC－OB＝α(OA－OB)→→∴BC＝αBA，∴A、B、C三点共线．例3已知任意两个非零向量→→→a，b，作OA＝a＋b，OB＝a＋2b，OC＝a＋3b.试判断A、B、三点之间的位置关系，并说明理由．解→→→作直线AC(如图)．分别作向量OA、OB、OC，过点A、C观察发现，不论向量a、b怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A、B、C三点共线．→→→因为AB＝OB－OA＝(a＋2b)－(a＋b)＝b，→→→AC＝OC－OA＝(a＋3b)－(a＋b)＝2b，→→→→三点共线．故有AC＝2AB.因为AC∥AB，且有公共点A，所以A、B、C反思与感悟本题给出了证明三点共线的方法，利用向量共线定理，关键是找到唯一实数λ，使a＝λb，先证向量共线，再证三点共线．21*cnjy*com跟踪训练3已知两个非零向量e1和e2不共线，如果→→→AB＝2e1＋3e2，BC＝6e1＋23e2，CD＝1－8e2，求证：A、B、D三点共线．【来源：21cnj*y.co*m】4e→→证明∵BC＝6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2，→→→∴BD＝BC＋CD＝(6e1＋23e2)＋(4e1－8e2)10e1＋15e2.→→→，又∵AB＝2e1＋3e2，∴BD＝5AB→→B.∴A、B、D三点共线．∴AB、BD共线，且有公共点1．化简：(1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)；11322a＋8b－4a－2b.解(1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c＝6a＋4b.1(2)原式＝3[(a＋4b)－(4a－2b)]13(－3a＋6b)＝2b－a.1→→1→2.如图，AM＝3AB，AN＝3AC.→1→求证：MN＝BC.3→1→→1→证明∵AM＝AB，AN＝AC，33→→→1→1→1→→1→∴MN＝AN－AM＝AC－AB＝(AC－AB)＝BC.3333→→→－e2)，求证：A、B、D三点3．已知e1与e2不共线，AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1共线．【来源：】证明→∵AB＝e1＋e2，→→→BD＝BC＋CD＝(2e1＋8e2)＋(3e1－3e2)→→→＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5AB.∴AB，BD共线．→→有公共点B，∴A、B、D三点共线．又AB与BD4．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？21*cnjy*com解∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，2λ＋2μ＝2k，即 得λ＝－2μ.－3λ＋3μ＝－9k，故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．[呈重点、现规律]1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a表|a|示与向量 a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、基础过关1．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量 m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则()1A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝2答案D11解析当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2.22∴n＝2m，此时，m，n共线．2．下列各式计算正确的有 ( )(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.A．1个B．2个C．3个D．4个答案C3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点→→→→)P，且PA＋PB＋PC＝AB，则(A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上答案D解析→→→→→PA＋PB＋PC＝PB－PA，→→在AC边上．∴PC＝－2PA，∴P→→)4．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC等于(→1→A.BCB.2AD→1→C.ADD.2BC答案C解析→→如图，EB＋FC→→→→＝EC＋CB＋FB＋BC→→1→→＝EC＋FB＝(AC＋AB)21→→＝·2AD＝AD.2→→→5．已知向量a，b，设AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，那么下列各组中三点一定共线的是()A．A，B，CB．A，C，DC．A，B，DD．B，C，D答案C解析由向量的加法法则知→→→→，又两线段BD＝BC＋CD＝－5a＋6b＋7a－2b＝2(a＋2b)＝2AB均过点B，故A，B，D三点一定共线． → 1→ 1→ → 2→ 1→6.如图所示，设 M，N为△ABC内的两点，且AM＝4AB＋3AC，AN＝5AB＋2AC，则△ABM的面积与△ABN的面积之比为 ________．www-2-1-cnjy-com答案 2∶3解析如图所示，设→1→→1→AP＝AB，AQ＝AC，43→→→则AM＝AP＋AQ.由平行四边形法则知，MQ∥AB，∴S△ABM＝→|AQ|＝1.S△ABC→3|AC|同理S△ABN＝1.∴S△ABM＝2S△ABC 2 S△ABN 37.如图，ABCD为一个四边形， E、F、G、H分别为BD、AB、AC和CD的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．证明 ∵F、G分别是AB、AC的中点．→ 1→∴FG＝2BC.→ 1→同理，EH＝2BC.→ →∴FG＝EH.∴四边形EFGH为平行四边形．二、能力提升8．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为 ( )m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④ B．①②C．①③ D．③④答案 B解析①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．【出处：21教育名师】→→→→→→9．已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0.若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m的值为()A．2B．3C．4D．5答案B解析→→→∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．→→→∴AB＋AC＝3AM，∴m＝3.10．已知O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点→→P满足OP＝OA＋→→ABACλ→＋→(λ∈[0，＋∞))，则点P的轨迹一定通过△ABC的()|AB||AC|A．外心B．内心C．重心D．垂心答案B→→→→→→ABACABAC解析→为AB上的单位向量，→为AC上的单位向量，则→＋→的方向为∠BAC的角|AB||AC||AB||AC|→平分线AD的方向．→→→→→→→→又λ∈[0，＋∞)，∴λAB＋AC的方向与ABAB＋AC，→→＋AC的方向相同．而OP＝OA＋λ→→→→|AB||AC||AB||AC||AB||AC|→上移动．∴点P在AD∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心．11．已知e1，e2是两