控制工程基础第六章

频率特性的概念典型环节Bode图的绘制最小相位系统的Bode图绘制最小相位系统的Bode图的应用本章小结1北京科技大学信息工程学院2021/6/12第六章

线性系统的频域分析本章重点2北京科技大学信息工程学院2021/6/12频率特性基本概念典型环节的对数频率特性系统频率特性的Bode图形表示方法最小相位系统由系统的开环频率特性分析系统的稳定性系统的稳定裕量6.1

频率特性的概念频率特性法是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。与时域分析法和根轨迹法不同，频率特性法是根据系统对正弦信号的稳态响应，即系统的频率特性来分析系统的频域性能指标。频域性能指标与时域性能指标之间着内在的联系。应用时域分析法和根轨迹法分析系统时，应先通过某种方法获得系统的开环传递函数。频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解析的方法得到系统的频率特性，也可以用实验的的方法测出稳定系统或元件的频率特性。3北京科技大学信息工程学院2021/6/12系统或对象Xr

=

Xr

(w

)Sinw

tj

0=

Xr

(w

)eXc

=

Xc

(w

)Sin(w

t

+j(w

))jj

(w

)=

Xc

(w

)e6.1

频率特性的概念为系统的幅频特性,它反映系统在不同频Xr

(w

)

static4北京科技大学信息工程学院2021/6/12X

(w

)称

A(w

)

=

c１．频率特性的定义反映系统对正弦输入信号的稳态响应的性能。讨论线性定常系统（包括开环、闭环系统）在正弦输入信号作用下的稳态输出。率正弦信号作用下,输出稳态幅值与输入稳态幅值的比值。称j(w

)为系统的相频特性,它反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出信号相对输入信号的相移。1

1G(s)

=

U2

(s)==RCs

+1ts

+16.1

频率特性的概念RCu2u1求如图RC电路的频率特性。例6－1RC电路的传递函数为：解U1

(s)设输入u1=

U

1

m

sin

w

tU

1

mw其拉氏变换为U

1

(s

)=s

2

+

w

225北京科技大学信息工程学院2021/6/121

U1mw则输出

u2

的拉氏变换为:

U

(

s)

=ts

+

1s

2

+

w

22UuU

w

t-

t=

1m

et+

1m

sin(w

t

+

j

)1

+

t2w

21

+

t2w

2暂态分量 稳态分量6.1

频率特性的概念求拉氏反变换，得其中

j

=

-arctgtwＲＣ电路的稳态频率响应为：2U

1

mlim

u

=t

fi

¥sin(w

t

+

j

)1

+

t

2w

216北京科技大学信息工程学院2021/6/121)1

m=

Usin(w

t

+

—1

+

jw

t1

+

jw

t可见，ＲＣ电路的频率特性为:G

(

jw

)

=

A(w

)e

jj

(w

)1式中

A(w

)

=

1

=

1

1

+

jw

tj

(w

)

=

—

(1

+

w

2t

2)

=

-

arctan

tw1

+

jw

t为幅频特性为相频特性6.1

频率特性的概念ＲＣ电路的稳态频率响应为：2U

1

mlim

u

=t

fi

¥sin(w

t

+

j

)1

+

t

2w

217北京科技大学信息工程学院2021/6/121)1

m=

Usin(w

t

+

—1

+

jw

t1

+

jw

t6.1

频率特性的概念1U1

(s)G(s)

=

U2

(s)

=考虑系统的传递函数：1s=

jwG(

jw)

=G(s)

=jwt+1如果令：ts

+1

s

=

jw可以证明：传递函数G(s)如果令：

G(s)s

=

jws=jw=G(jw)频率特性注意：18北京科技大学信息工程学院2021/6/121jw

t

+

1=

1

=

A(w

)1

+

w

2t

2—

(1

+

jw

t为幅频特性)=-arctan

w

t

=j

(w

)为相频特性几点说明：（１）幅频特性反映系统对不同频率正弦信号的稳态衰减（或放大）特性。（２）相频特性表示系统在不同频率正弦信号下输出的相位移。（３）已知系统的传递函数，令s

=jw

，可得系统的频率特性。（４）频率特性包含了系统的全部动态结构参数，反映了系统的内在性质，因此也是一种数学模型描述。6.1

频率特性的概念9北京科技大学信息工程学院2021/6/12频率特性的数学描述形式为：G

(

jw

)

=

A(w

)e

jj

(w

)其中：A(w

)是系统的幅频特性。j

(w

)是系统的相频特性。6.1

频率特性的概念0.5

1

1.5

2

2.5

3-20-1.5-1-0.500.511.52线性系统2.53-50

0.5

1

1.5

2-4-3-2-1012345频率特性是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性。输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化。10北京科技大学信息工程学院2021/6/12j

(w

)。11北京科技大学信息工程学院2021/6/12特定情况下的传递函数。它频率特性

G(

jw

)

是s

=

jw一、解析法求G(s)

令G(s)|s=jw

G(jw

)6.1

频率特性的概念获取系统频率特性的途径:和传递函数一样，反映了系统的内在联系。二、实验法在系统的输入端输入一正弦信号ui

(t

)=ASinw

t，测出不同频率时系统稳态输出的振幅uo和相移j

，便可得到它的幅频特性

A

w

)和相频特性三、定义法对已知系统的微分方程，在正弦输入函数的稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。频率特性的表示方法:（一）解析表示

G(

jw

)

—

G(

jw

)12北京科技大学信息工程学院2021/6/12

A(w

)e

jj

(w

)G(

jw

)

=

A(w

)

cosj

(w

)

+

jA(w

)

sinj

(w

)幅频

—

相频形式

指数（极坐标）形式三角函数形式实频

—

虚频形式

X

(w

)

+

jY

(w

)（二）图示（几何）表示1、极坐标图——

Nyquist图（又叫幅相频率特性、或奈奎斯特图，简称奈氏图）2、对数坐标图——Bode图（伯德图）3、复合坐标图——Nichocls图（尼柯尔斯图，或尼氏图），一般用于闭环系统频率特性分析。6.1

频率特性的概念1.

极坐标图—奈奎斯特图（Nyqusit）—幅相特性曲线系统频率特性为幅频-相频形式G(jw

)=G(jw

)—G(jw

)当w在0～¥变化时,向量G(jw)的幅值和相角随w而变化,与此对应的向量G(jw)的端点在复平面G(jw

)上的运动轨迹就称为幅相频率特性或Nyqusit曲线。画有Nyqusit曲线的坐标图称为w121w

=

0

ReImw

=

+¥0极坐标图或Nyqusit图。惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)的Nyqusit图1G(jω

)=ωT13北京科技大学信息工程学院2021/6/121

11+ω2T2-

j=1+

jωT

1+ω2T2G(jω)=1

+ω

2

T

2—

G(

jw

)

=

-arctan

wT6.1

频率特性的概念2.对坐标数后数性分称-

180

-605

6

7

8

10w为图进后度为对对d)数坐标图——伯德图（Bode图）

G(

jw

)

=

G(

jw

)

—

G(

jw

)将系统频率特性G(jw)的幅值和相角分别绘在半对数上，分别得到对数幅频特性曲线（纵轴：对幅值取分贝行线性分度20lg|G(jw)|；横轴：对频率取以10为底的对进行分度:lgω）和相频特性曲线（纵轴：对相角进行线；横轴：对频率取以10为底的对数后进行分度lgω），合伯德图(Bode图)。数幅频特性记为

单位为分贝（dB)数相频特性记

单位为度或弧度（raj

(w

)

L

(w

)

dB60180

4090

200

0.1

1

2 3

4-20-

90

-40Bode

Diagram

of

G(jw

)=1/(jw

T+1)

T=0.1Frequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)-20-15-10-501001011014北京科技大学信息工程学院2021/6/122-90-45-2506.1

频率特性的概念0o180o-20dB-180o15北京科技大学信息工程学院2021/6/123.复合坐标图——Nichocls图（将Bode图的两张图合二为一）将对数幅频特性和对数相频特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。20

lg

G(

jw

)20dB0ω6.1

频率特性的概念H.W.Bode（1905-1982）美国Bell实验室著名科学家，他的工作为数据传输、通信工程，火炮控制及经典控制中的反馈系统稳定性分析奠定了基础，他于1969获得IEEE

Medal

of

Honor。16北京科技大学信息工程学院2021/6/126.2

典型环节频率特性的绘制17北京科技大学信息工程学院2021/6/12j

(w

)=—

G

(jw

)对数刻度的横坐标w坐标系构成对数幅频特性的纵坐标L

(w

)=20

lg

G

(jw

)dB

(分贝)

对数相频特性的纵坐标一、(半)对数坐标图(Bode图)定义：伯德（Bode）图又叫对数频率特性曲线，它是将幅频特性和相频特性分别绘制在两个不同的坐标平面上，前者叫对数幅频特性，后者叫对数相频特性，统称为对数频率特性。两个坐标平面横轴（ω轴）用对数分度。坐标系：6.2

典型环节频率特性的绘制-1800-

90(j

(wlg

wwlg

ww200-

10-

2010L

(w

dB-

10120

.1110100-10120.1110100-10.1lgw

(分度值w

(标出值210012

4

6

8

102001rad

/

s一个十倍频程一个十倍频程dec一个倍频程oct

w

的数值变化10倍在对数坐标上

所变化的一个单位间隔距离对数幅频特性的纵

轴按下式线性分度:

L(w

)=20

lg

G(jw

)(dB18北京科技大学信息工程学院2021/6/12对数相频特性的纵轴是线性分度：j(w

)=—G(jw

)度)半对数坐标系。6.2

典型环节频率特性的绘制用伯德图分析系统有如下优点：将幅频特性和相频特性分别作图，使系统或环节的幅值和相角与频率之间的关系更加清晰；幅值用分贝数表示，可将串联环节的幅值相乘变为相加运算，简化计算；用渐近线表示幅频特性，使作图更为简单方便；横轴（ω轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。19北京科技大学信息工程学院2021/6/126.2

典型环节频率特性的绘制幅频特性是A(w

=

G(

jw

)

=

K对数幅频特性为L

w

)=

20

lg

K放大环节的相频特性是j

(w

)=00wj

w0(b)Bode图L(w

dB20lgkw20北京科技大学信息工程学院2021/6/12(a0K>1，20lgK>0,横轴上方；

K=1，20lgK=0,与横轴重合;

K<1，20lgK<0,横轴下方。6.2

典型环节频率特性的绘制二、典型环节的Bode图绘制

1.放大环节（比例环节）放大环节的频率特性为：G(jw

)=K

(K>0,常数）2.积分环节积分环节的频率特性是1G(

jw

)

=

jww幅频特性为A(w

)=1

1L(w

)=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lg

w

=

-20

lgw对数幅频特性是相频特性是j

(w

)=

-900j

(w0lg

ww-90-

2

-10.01

0.10111021北京科技大学信息工程学院2021/6/12lg

ww-20dB

/

decL(w

(dB6040200-

206.2

典型环节频率特性的绘制当w

=

0.1

时,

L

0.1)=

-20

lg

0.1

=

20(dB)22北京科技大学信息工程学院2021/6/126.2

典型环节频率特性的绘制当

w

=1

时,

L

1)=

-20

lg

1

=

0(dB)当w

=10

时,

L

10)=

-20

lg

10

=

-20(dB)积分环节的对数幅频特性是一条在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝线（ω轴），且以每增加十倍

频降低20分贝的速度（-20dB/dec.）变化的直线。积分环节的相频特性是一条值为-90°且平行于

ω轴的直线。幅频特性穿越0分贝线（ω轴）时的频率，称为穿越频率或剪切频率(用

w

c

表示)j

w900lg

ww1-

2

-10.01

0.10110-

20-

4020dB

/

declgww相频特性是L

(w

(dB4020023北京科技大学信息工程学院2021/6/12j

(w

)=

9006.2

典型环节频率特性的绘制3.微分环节微分环节的频率特性是

G(

jw

)

=

jw幅频特性为A

(w

)=w对数幅频特性是

L(w

)=

20

lg

G(

jw

)

=

20

lgw积分环节与微分环节的比较1jwG(

jw

)

=1jwL(w

)

=

20

log=

-20

log

w

(dB)j

(w

)

=

-90L(w

)

=

20

log

jw

=

20

log

w

(dB)G(

jw

)

=

jwj

(w

)

=

90(1

/

jw

)n(

jw

)n1(

jw

)nL(w

)

=

20

log=

-20n

log

w

(dB)j

(w

)

=

-90

·

nL(w

)

=

20

log

(

jw

)n

=

20n

log

w

(dB)j

(w

)

=

90

·

n这些幅频特性曲线将通过点（

0dB,w

=1）。类推相差一个符号24北京科技大学信息工程学院2021/6/126.2

典型环节频率特性的绘制14.惯性环节惯性环节的频率特性是：G(jw

)=jTw

+

11对数幅频特性是：L(w

)=20

lg=

-20

lg1

+

T

2w

21

+

T

2w

21

+

T

2w

2

»

0(dB)Tw

<<

1时，L(w

)=-20

lg1

+

T

2w

2

»

-20

lgTw

(dB)T当w

>>1时，L(w

)=-20

lg2

»

-3(dB)T25北京科技大学信息工程学院2021/6/12当

w

=

1时，L(w

)=-20

lg6.2

典型环节频率特性的绘制dB0j

(w)0-45-90Tw

=

1w-20dB

/

decwj

(w

)=

-arctgw

T

=

00惯性环节的相频特性为：j

w

)=

-arctgwT1w

<<

T时，T当

w

>>

1时，当1w

=

T时，j

(w

)=

-arctgw

T

=

-450j

(w

)=

-arctgwT

=

-9006.2

典型环节频率特性的绘制生了变化,两条近似直线交接于T在w

=1

时近似幅频特性曲线的斜率发T

,w

=

1TL

(w26北京科技大学信息工程学院2021/6/12w

=1称为交接频率。对数幅频特性是：L

(w

)=20

lg1+T

2w

21+T

2w

2

»

0(dB)Tw

<<

1时，L

(w

)=20

lgT当w

>>1时，

L

(w

)=

20

lg

1+T

2w

2

»

20

lgTw

(dB)=

20

lg 2

»

3(dB)T27北京科技大学信息工程学院2021/6/12当

w

=

1时，

L

(w6.2

典型环节频率特性的绘制5.一阶微分环节一阶微分环节的频率特性是：G(jw

)=jTw

+190dBj

(w04501w

=

T20dB

/

decww一阶微分环节的相频特性为：L

(wj

(w

=

arctgwT

=

-00Tw

<<

1j

(w

=

arctgwT时，T当w

>>1T28北京科技大学信息工程学院2021/6/12当

w

=

1j

(w

=

arctgwT

=

450时，j

(w

=

arctgwT

=

900时，6.2

典型环节频率特性的绘制一阶因子(1

+

jwT

)–1L(w

)

=

20lg(1+

jwT

)–1

=

–20lg [1+(wT)2

](dB)j

(w

)

=

–arctg(wT

)T在低频时，即

wT

<<1,

w

<<

1低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线L(w

)

=

–20

lg

[1

+

(w

T

)2

]

»

–20

lg

1

=

0(dB)Tw

>>

1

L(w

)

=

–20

lg

[1

+

(w

T

)2

]

»

–20

lg

w

T

(dB)下两页的图中表示了一阶因子的精确对数幅频特性曲线及渐近线，以及精确(Exact

curve)的相角曲线。在高频时，即wT

>>1,高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为–20分贝/十倍频程的直线对数幅频特性相频特性29北京科技大学信息工程学院2021/6/12一阶惯性环节与一阶微分环节的比较6.2

典型环节频率特性的绘制Bode

Diagram

of

G(jw

)=1/(jw

T+1)

T=0.1Frequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)-20-15-10-50100101102-90-45-250渐近线Asymptote渐近线精确曲线Exact

curve精确曲线Exact

curve—阶惯性环节的对数频率特性L(w

)

=

-20

lg30北京科技大学信息工程学院2021/6/12[1

+

(wT

)2

]

»

-20

lg

wT

(dB)渐近线精确曲线Bode

Diagram

of

G(jw

)=jw

T+1)

T=0.1Frequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)510152025100101102045090j

(w

)

=

arctg

(w

T

)L(w

)

=

20

lg[1

+

(w

T

)2

]

»

20

lg

w

T

(dB)20

log

w

T

(dB)0(dB)31北京科技大学信息工程学院2021/6/12—阶微分环节的对数频率特性曲线二阶振荡环节的频率特性是1G(

jw

)

=(1-T

2w

2

)

+

j2xTw对数幅频特性为(1

-T

2w

2

)2

+

4x

2T

2w

2L(w

)=

-20

lgT当

w

1

时，L

(w

)=

-20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

»

0(dB)T当w

1

时，L

(w

)=-20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

»

-40

lgTwT当w

=1

时，L

(w

)=-20

lg32北京科技大学信息工程学院2021/6/12(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

=

-20

lg

2x6.2

典型环节频率特性的绘制6.二阶振荡环节(0

<x

<1T当w

TT对数相频特性为2j

(w

)=

-arctg

2xwT

1-

(wT

)当

w

1

时，j

(w=

-00当w

=1

时，j

(w=

-9001

时，j

(w=

-1800-180L(wdBj

(w00-90Tw

=

1w-40dB/

decw33北京科技大学信息工程学院2021/6/126.2

典型环节频率特性的绘制二阶微分环节的频率特性是G(

jw

)

=

(1-T

2w

2

)

+

j2xTw对数幅频特性为L

(w

)=

20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2T当

w

1

时，

L

(w

)=

20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

»

0(dB)T当w

1

时，L

(w

)=

20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

»

40

lgTw7.二阶微分环节T当

w

=

1

时，

L

(w

)=

20

lg34北京科技大学信息工程学院2021/6/12(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

=

20

lg

2x(0

<

x

<16.2

典型环节频率特性的绘制对数相频特性为

j

(w

)=

arctg

2xwT

1-

(wT

)2T当w

1

时，j

(wT当w

=1

时，j

(wT当w

1

时，j

(w=

00=

450=

900思考题：1、二阶微分环节的Bode图是怎样的？

2、二阶振荡与微分环节的比较与前述相比怎样？请同学们课下完成。6.2

典型环节频率特性的绘制35北京科技大学信息工程学院2021/6/12L

(wdBj

w00-90-180Tw

=

1w-

40dB

/

decw36北京科技大学信息工程学院2021/6/12谐振频率wr

谐振峰值Mr22)nnwww

2w

2)

+

(2xg(w

)

=

(1

-令12n2nnndw

2wwdw

wwwwg(w

)

=

2(1-)(-2)

+

2(2x)2x

=

0nw

2w

2

-w

2

(1-

2x2

)

2g(w

)

=

n

+

4x2

(1-x2

)1

122g(wr

)Mr

=

=0

£x

£»0.7072x

1-x2当x

>0.707

时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会有谐振w

=w

1-2x2r

n谐振频率wr谐振频率wr

谐振峰值MrG(

jw

)

=(1

-w

2w

2n1)2

+

(2xww

n)2谐振峰值Mr37北京科技大学信息工程学院2021/6/126.2

典型环节频率特性的绘制10-110138北京科技大学信息工程学院2021/6/12-40-30-20-1001020dBx

=

0.1幅频特性与x关系100二阶因子的对数幅频特性曲线-30-20-1001020dB-4010-1011010二阶因子的对数幅频特性曲线北京科技大学信息工程学院392021/6/12x

=

0.1x

=

0.2幅频特性与x关系-30-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3-40-101101010二阶因子的对数幅频特性曲线北京科技大学信息工程学院402021/6/12幅频特性与x关系-30-40-101101010二阶因子的对数幅频特性曲线北京科技大学信息工程学院412021/6/12-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5幅频特性与x关系10-110010二阶因子的对数幅频特性曲线北京科技大学信息工程学院422021/6/121-40-30-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x=

0.7幅频特性与x关系10-1100101二阶因子的对数幅频特性曲线北京科技大学信息工程学院432021/6/12-40-30-20-1001020dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x=

0.7x

=

1.0幅频特性与x关系-160-140-120-100-80-60-400-20deg-18010-1100二阶因子的对数相频特性曲线北京科技大学信息工程学院110442021/6/12Phase

of

2-order

factorx

=

0.1相频特性与x关系-160-140-120-100-80-60-400-20deg-18010-1011010二阶因子的对数相频特性曲线北京科技大学信息工程学院452021/6/12Phase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2相频特性与x关系-160-180-140-120-100-80-60-400-20deg10-1100二阶因子的对数相频特性曲线北京科技大学信息工程学院101462021/6/12Phase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3相频特性与x关系10-110010二阶因子的对数相频特性曲线北京科技大学信息工程学院472021/6/121-160-180-140-120-100-80-60-400-20degPhase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5相频特性与x关系10-1100101二阶因子的对数相频特性曲线北京科技大学信息工程学院482021/6/12-180-160-140-120-100-80-60-400-20degPhase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0x.5=

0.7相频特性与x关系10-110010二阶因子的对数相频特性曲线北京科技大学信息工程学院492021/6/121-180-160-140-120-100-80-60-400-20degPhase

of

2-order

factorx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0x.5=

0.7x

=

1.0相频特性与x关系当w

=1

时，二阶振荡系统的准确的对数幅频特性：T1L

(w

)=

-20

lg(1-T

2w

2

)2

+

4x2T

2w

2

=

-20

lg

2x幅值误差与

x

关系二阶振荡环节的频率特性是1G(

jw

)

=(1-T

2w

2

)

+

j2xTw(1

-T

2w

2

)2

+

4x

2T

2w

2对数幅频特性为

L(w

)=

-20

lgT50北京科技大学信息工程学院2021/6/12当w

=1

时，二阶振荡系统的近似折线的对数幅频特性：L2

(w

=

0由此得幅值误差与x关系DL(w

)=

L1

(w

)-

L2

(w

)=

-20

lg

2x6.2

典型环节频率特性的绘制10-1100110-4-6-202468101412dB51北京科技大学信息工程学院2021/6/12x

=

0.1幅值误差与x关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差-4-202468101412dB-610-1100101二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差52北京科技大学信息工程学院2021/6/12x

=0.1x

=

0.2幅值误差与x关系-4-610-1100101二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差53北京科技大学信息工程学院2021/6/12-202468101412dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3幅值误差与x关系10

10

1054北京科技大学信息工程学院2021/6/12-1

0

1-4-6-202468101412dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5幅值误差与x关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差10-1100

10155北京科技大学信息工程学院2021/6/12-4-6-202468101412dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x

=0.7幅值误差与x关系二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差10-1100

101-6-4-202468101214dBx

=

0.1x

=

0.2x

=

0.3x

=

0.5x

=

0.756北京科技大学信息工程学院2021/6/12x

=

1.0二阶振荡环节频率特性以渐近线表示时引起的对数幅值误差幅值误差与x关系0L(w

dBww1tj

(w0-57.3L

(w

=

20

lg

G(

jw

)

=

057北京科技大学信息工程学院2021/6/12纯滞后环节的传递函数为：G(s)

=

e-ts纯滞后环节的频率特性是：G(

jw

)

=

e-

jtw对数幅频特性是：对数相频特性为：j

(w

=

-57.3tw6.2

典型环节频率特性的绘制8.纯滞后环节6.3

系统开环频率特性的绘制58北京科技大学信息工程学院2021/6/12本节将通过一些示例介绍系统的开环频率特性(Bode图)的绘制方法和步骤。将系统的开环传递函数分解成若干典型环节的串联形式是绘制系统开环频率特性的基本步骤。一、绘制系统开环频率特性（伯德图）的步骤

1、将开环传递函数写成典型环节乘积形式；2、如存在交接频率，在ω轴上标出交接频率的坐标位置；3、各串联环节的对数幅频特性叠加后得到系统开环对数幅频特性的渐近线；4、修正误差，画出比较精确的对数幅频特性；5、画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到系统开环相频特性。1

21

2

21

1G(s)

=

K

(T

>

T

)T

s

+1 (T

s)2

+

2xT

s

+11、由一个放大环节和两个惯性环节串联而成，其对应的频率特性是1

1G(

jw

)

=

KT

w

j

+1

(T

w

j)2

+

2xT

w

j

+11

2

2幅频特性和相频特性分别为11

1A(w

)=

KT

2w

2

+1

(1-T

2w

2

)2

+(2xT

w

)2(

)1222

22xwT2j

(w

)=

-arctgTw

-

arctg1-

wT6.3

系统开环频率特性的绘制例6-2

已知系统的开环传递函数为:解59北京科技大学信息工程学院2021/6/123、各环节的对数幅频特性叠加；4、修正误差；5、画出各串联环节相频特性，相加得到系统开环相频特性;2、存在交接频率，在ω轴上标出；1

1,T1

T211T1T2dB

φ(ω)4020-45º-90º-180º-270º20lgKω-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec幅频特性的绘制1、比例环节2、惯性环节3、振荡环节4、各环节叠加相频特性的绘制

1、比例环节2、惯性环节3、振荡环节4、各环节叠加60北京科技大学信息工程学院2021/6/126.3

系统开环频率特性的绘制某反馈控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=10(1+

0.1s)s(1+

0.5s)试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直线表示）开环频率特性为)w2wjw

(1

+

j10(1

+

j

)G(jw

)

=

10

+

20

lg 1

+

10

w

2

w

2L(w

)

=

20

lg10

-

20

lgw

-

20

lg 1

+

2

j

(w

)

=

-90

-

arctg

w

+

arctg

w2

10例6-36.3

系统开环频率特性的绘制解61北京科技大学信息工程学院2021/6/12Frequency

(rad/sec)Phase(deg)Magnitude

(dB)02040-110010110210-150-120-20-40-90-20dB/decBode

Diagram-40dB/dec-20dB/dec6.3

系统开环频率特性的绘制62北京科技大学信息工程学院2021/6/126.4 最小相位系统的Bode图的应用63北京科技大学信息工程学院2021/6/12一、最小相位系统与非最小相位系统二、由Bode图判断系统的稳定性三、稳态误差的分析——系统类型和系统的开环放大倍数四、由Bode图求GK(S)五、由Bode进行动态分析——瞬态计算2!

3!64北京科技大学信息工程学院2021/6/12

e

-t

S=

1

-

t

S

+

1

t2

S

2

-

1

t3

S

3

+6.4 最小相位系统的Bode图的应用一、最小相位系统与非最小相位系统定义：在S右半平面上，若没有系统开环传递函数的极点和零点，则称此系统为最小相位系统。相反，若在S右半平面有开环传递函数的零极点，则称之为非最小相位系统。注：（1）在稳定系统中，若幅频特性相同，对于任意给定频率，最小相位系统的相位滞后最小；（2）延迟环节的系统也属于非最小相位系统；（3）最小相位系统的对数幅频特性与对数相频特性具有一一对应的关系，即对于给定的对数幅频特性只有唯一的对数相频特性与之对应。（4）判定最小相位系统的方法：a、对于最小相位系统，当ω→∞时，其相位为-(n-m)X90°。（其中m，n分别为传递函数分子和分母多项式的最高阶次）b、对于非最小相位系统，当ω→∞时，其相位不等于-(n-m)X90°。c、当ω→∞时，这两类系统的对数幅频特性曲线斜率都等于-20X(n-m)dB/dec。65北京科技大学信息工程学院2021/6/126.4 最小相位系统的Bode图的应用111

+

jwT1

+

jwTG

(

jw

)

=1120

<

T

<

T1

+

jwTG

(

jw

)

=

1

-

jwT

,jωσT-

1-

1T1-

1T1jωσ1T最小相位系统和非最小相位系统的零-极点分布图例6-4系统的开环传递函数分别为：试分别绘制其零极点分布图和Bode图。解66北京科技大学信息工程学院2021/6/126.4 最小相位系统的Bode图的应用Bode

DiagramFrequency

(rad/sec)Phase

(deg)Magnitude

(dB)-5010-210-1100101102-180-135-90-45-10-15-200非最小相位系统相同的幅值特性1最小相位系统

1+

jwT1+

jwT1+

jwT167北京科技大学信息工程学院2021/6/121-

jwT6.4 最小相位系统的Bode图的应用以上结论对于非最小相位系统不成立。关于最小相位系统的几个结论：在具有相同幅频特性的系统中，最小相位传递函数（系统）的相角范围，在所有这类系统中是最小的。任何非最小相位传递函数的相角范围，都大于最小相位传递函数的相角范围。最小相位系统，幅频特性和相角特性之间具有唯一的对应关系。即，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定。反之亦然。以上结论对于非最小相位系统不成立。非最小相位系统高频时相角迟后大，起动性能差，响应缓慢。因此对响应要求快的系统不宜采用非最小相位元件。68北京科技大学信息工程学院2021/6/126.4 最小相位系统的Bode图的应用二、由Bode图判断系统的稳定性稳定裕量是表征系统稳定程度的量，是描述系统特性的重要的量，与系统的暂态响应指标有密切的关系。这里讨论由

Bode图求系统稳定裕量，并判断稳定性的方法。系统的稳定裕量用相角裕量g

和增益裕度KM

来表示．G

(

jw

)H

(

jw

)

=

1

的频率，记为

wc剪切频率wc

—对应于要附加的相角迟后量。为使系统稳定，相角裕量必须为正值g

=180

+j

(wc

)6.4 最小相位系统的Bode图的应用系增统益裕稳度定G的M充—在要相条频件特是性：j在(w剪)等切于角-频18率0

ω的频处率的w

g处cφ(ωc)G>M-1=80-2。0

l反gG之(j为w

g不)H稳(jw定g

)系=统-L(w

g

)相角裕量g

—在剪切频率w

c处，使系统达到临界稳定状态所|G(jωg)H(jωg)|<1系统不稳定,|G(jωg)H(jωg)|=1．系统临界稳定,|G(jωg)H(jωg)|>1系统稳定69北京科技大学信息工程学院2021/6/12w

CwgGM

>

0g

>

0-180j(w

)ww

Cg

<

0j(w

)70北京科技大学信息工程学院2021/6/12wwwgGM

<

0w-1806.4 最小相位系统的Bode图的应用如果

g

>

0,

GM

>

0

，则系统稳定。L(w

)

L(w

)例6-5解已知某系统的开环传递函数为：10G(s)

=(2s

+1)((0.2s)2

+

0.2s

+1)(1)绘制折线Bode图；(2)求ωc、γ、GM、ωg；(3)判定稳定性。(1)绘制Bode图6.4 最小相位系统的Bode图的应用ω4020-45º-90ºdB

φ(ω)20lg10-60dB/dec0.5

-20dB/dec571北京科技大学信息工程学院2021/6/12(2)求ωc、γ、GM、ωg；10c=1(2

jw

+1)((0.2

jw

)2

+0.2

jw

+1)c

c

c由G(jw

)=c得w

»4.99由g

=1800

+G(jw

)c得到：g

»6.030»

5.240由G(

jwg

)

=

-180

得wg由GM

=-20lg

G(jwg

)得GM

»

0.91(3)判定系统的稳定性因为系统是最小相位的，并且g

»

6.030

>

00

,

GM

»

0.91

>

00系统稳定72北京科技大学信息工程学院2021/6/12三、稳态误差的分析——系统类型和系统的开环放大倍数系统类型与对数幅值之间的关系考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察对数幅值曲线的低频区特性予以确定。73北京科技大学信息工程学院2021/6/12趋近于零时，回路增益越高，静态误差值就越小。当w6.4 最小相位系统的Bode图的应用静态位置误差常数的确定假设系统的开环传递函数为1n-nG(s)

=

K(T1s

+1)(Tm

s

+1)sn

(T

s

+1)(T

s

+1)1n-nG(

jw)

=

1

m

K(T

jw

+1)(T

jw

+1)(

jw)n

(T

jw

+1)(T

jw

+1)lim

G(

jw

)

=

K

pw

fi

0当ν=0时，

Kp

=

K由于此时最低频段的幅频特性斜率为0，其与纵轴的交点是20lgK，可以利用此值确定K。ω-45º-90º-20dB/dec-60dB/decω1ω2dB

φ(ω)40

20lgK206.4 最小相位系统的Bode图的应用74北京科技大学信息工程学院2021/6/12静态速度误差常数的确定jw1型系统中G(

jw)

=

Kv

,

w

<<1-

20

dB

/

decw

=1

的直线的交点具有的幅值为20

lg

Kv定理1：斜率为

的起始线段/或其延长线与证明vKjww

=120

lg

v

=

20

lg

Kω＝1时的幅频特性为：起始线段/或其延长线过（

w

=1,20

lg

Kv

)这一点。dB

φ(ω)ω2040-45º-90º-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgK)ω=120lgK75北京科技大学信息工程学院2021/6/126.4 最小相位系统的Bode图的应用jw-

20dB

/

decw轴的交点为Kv

。定理2：斜率为

的起始线段/或其延长线与证明v20

lg

v

Kjww

=w=

0K

v

jwv=1Kv

=

wv故其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于Kv在与Bode图的横轴交点处有：dB

φ(ω)ω201型系统中

G(jw)

=

Kv

,

w

<<1

40-45º-90º-20dB/dec-60dB/dec(1,20lgk)ω=1kv76北京科技大学信息工程学院2021/6/126.4 最小相位系统的Bode图的应用,

w

<<1G(

jw)

=Ka(

jw)220

lgaKa(

jw

)2w

=1=

20

lg

K证明:20

lg

Ka静态加速度误差常数的确定定理3：斜率为-40dB

/dec的起始线段/或其延长线与的直线

w

=1

的交点具有的幅值为6.4 最小相位系统的Bode图的应用77北京科技大学信息工程学院2021/6/12II型系统中Ka(

jw

)2G(

jw

)

=,

w

<<1w轴的交点为

Ka

。定理4：斜率为

-40dB

/

dec的起始线段/或其延长线与证明20

lgKa(

jw

)2w

=wa=

0故，其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于

KaaKa(

jw

)2=1a

aw

=

K在与Bode图的横轴交点处有：6.4 最小相位系统的Bode图的应用78北京科技大学信息工程学院2021/6/12Ⅰ型系统：最低频段的幅频特性过(w1

=1,

20

lg

Kv

)，四、由Bode图求GK(S)这里只要求对最小相位系统会从Bode图求得GK(S)。1、根据最低频段的斜率确定系统的类型ν。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。0型系统：最低频段的幅频特性与纵轴的交点是20lgK。Ka通过横轴。79北京科技大学信息工程学院2021/6/12最低频段的幅频特性在wc

=最低频段的幅频特性在wc

=

Kv

通过横轴。

Ⅱ型系统：最低频段的幅频特性过

(w1

=1,

20

lg

Ka

)，3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。6.4 最小相位系统的Bode图的应用4、根据二阶环节的修正情况确定ξ。DL

(w

=

L1

(w

-

L2

(w

=

-20

lg

2x例6-6ω-45º-90º-180º-60dB/dec0.540

-20dB/dec20

52580北京科技大学信息工程学院2021/6/12下图是一最小相位系统的Bode图，试写出其传递函数。dB

φ(ω)6.4 最小相位系统的Bode图的应用dB

φ(ω)ω4020-45º-90º-180º-20dB/dec-60dB/dec0.5525解1、系统的类型ν=0。2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。因为20lgK=20，所以K=10。3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。1081北京科技大学信息工程学院2021/6/12G(s)

=(2s

+1)(0.2s)2

+2x0.2s

+1)4、确定ξ。DL

(w=

-20

lg

2x

=

25x

0.0286.4 最小相位系统的Bode图的应用ω2040-45º-90º-40dB/dec-60dB/dec(ω=1,30)ω=1例6-7下图是一最小相位系统的Bode

dB

φ(ω)图，试写出其传递函数。1、系统的类型ν=2。3、根据交接频率和其前后斜率的变化量确定各典型环节。131.620

lg

G(

jw

)w

=Tw

=T=

20

lg=

20(

jw

)2

(Tjw

+1)

1解2、根据最低频段的参数求系统的开环放大系数K。(w

=1,

20lg

Ka

=

30),\

Ka

=

31.631.682北京科技大学信息工程学院2021/6/12=

7.08

w

»1.776jw

2

(

j

+1)6.4 最小相位系统的Bode图的应用最低频段的直线方程：y

=

-40

lg

w

+

b过点(ω=1,30)，所以30

=

-40

lg1+

b

b

=

30y

y

=20

=

-40

lg

w

+

30w

»1.779

T

=

0.56231.683北京科技大学信息工程学院2021/6/12G(s)

=s2

(0.562s

+1)6.4 最小相位系统的Bode图的应用