数学及数学简史课件

数学概论（大学文科数学）

1第九章数学及数学简史

§1.1科学史的分期§1.2

数学概念及特点

§1.3纯数学的形成和古希腊的数学成就§1.4初等数学的形成以及埃及、中国的数学成就§1.5近代数学的诞生§1.6世界数学中心的转移§1.7中国数学发展的现代化进程2

§1.1科学史的分期3前言科学史的奠基者和创始人，美国著名学者萨顿（G.Sarton,1884—1956）曾深刻地指出：“在任何学科中任何一个不知道它的历史概况的人是不能被承认为大师的…”。近代数学的开创者之一，伟大的德国数学家、哲学家莱布尼兹（Leibnitz，1646—1716）早就指出：“数学史的用处不仅在于历史公正地衡量每一个人，使得后人可能得到同样的称赞，而且还在于促进发展的艺术，而它的方法是通过有名的范例为大家所了解.”4前言由于科学技术发展的复杂性，导致了科学技术史分期的复杂性.一般来说，专科史（数学史、物理学史，化学史、生物学史、计算机发展史）可以根据科学或技术发展本身的重大转折作为分期的标志.但对于综合科技通史，分期就困难多了.因为综合通史包含许多学科，由于科学技术发展的不平衡性，以至于它们在各个时期发展参差不齐，因此综合通史只能根据科学技术整体在各个发展阶段所展现出来的性质和特点，同时兼顾社会政治、经济因素作为大致的分期原则.根据这一原则，就综合通史而论，大致可划分为古代科学技术、近代科学技术和现代科学技术三大历史时期.

5古代科学技术（16世纪以前）这个时期大致包括下述几个部分：（1）古希腊罗马科学技术.

（2）中世纪科学技术.

（3）中国古代科学技术.6这个时期科学技术发展的主要特点是：（1）内容基本属于现象的描述和经验的总结.此时，虽然已经总结出许多带有普遍性的自然规律，但一般说来还是停留在经验定律阶段，尚未上升为系统的理论.

（2）相对来说，古代科学技术往往是以一个个比较孤立的发现、发明、论断、定律出现的，属于比较零散的知识，彼此缺乏必要的联系，没有形成相对独立的学科体系，而且它们与哲学结合在一起，以自然哲学形态出现.

（3）研究方法主要是直观的观察和思辨性的猜测以及形式逻辑的演绎，正如恩格斯所指出的，是一种“天才的自然哲学的直觉”.

（4）早期的自然观是自发的唯物主义和朴素的辩证法，后来被神学自然观代替.7近代科学技术（16世纪~19世纪）15世纪下半叶，在近代资产阶级革命和资本主义大生产推动下，近代自然科学也大踏步地前进了.哥白尼的《天体运行论》和维萨留斯的《人体构造》两本著作的出版，是这个时期的里程碑.这个时期大致可分为如下几个阶段：（1）近代自然科学理论兴起和以牛顿为代表的经典力学体系形成（17世纪）．（2）产业革命和热力学理论的发展（18世纪）．（3）电磁理论和电力技术革命（19世纪）．8这个时期科学技术发展的主要特点是：（1）近代科学技术在收集材料的基础上，从现象深入到本质，从经验定律上升为系统的科学理论.

（2）在形式上，科学与哲学分离，走上了独立发展道路，达到了系统的全面的发展.

（3）在研究方法上，近代自然科学强调有目的的实验，是建立在贯彻实验基础上的实验科学，并广泛应用数学方法使科学知识日益精确化，同时发展了以实验事实为根据和以归纳推理为主要手段的分析和逻辑推理方法.

（4）18世纪的蒸汽技术是在生产实践经验基础上产生的，而19世纪的电力技术则是在科学理论的指导下形成的，科学技术对生产实践的指导作用日益显示出来.

（5）自然科学全面发展，揭示了自然界本来的辨证发展本质，导致了辩证唯物主义自然观代替形而上学自然观.9现代科学技术（20世纪至今）19世纪末、20世纪初的物理学革命标志着现代科学技术的产生.现代自然科学的一系列重大突破，开创了20世纪科学技术革命的新纪元.这个时期可分为如下两个阶段：（1）19世纪末、20世纪上半叶的科学技术革命.

（2）世界新科学技术革命.10这一时期科学技术发展的主要特点是：（1）物理学革命导致科学理论的重大突破，引起人们观念的深刻变革，显示了唯物辩证法的无比正确性.

（2）自然科学改变了过去单纯分化的发展趋势，日益显示出既高度分化又高度综合的整体化趋势，形成了一系列边缘科学和大科学.

（3）科学社会化、社会科学化是当代科技发展的重要特点，科学技术引起人类社会生活极其广泛而深刻的变化，科学技术已经成为现代国家综合国力不可缺少的重要组成部分.

（4）科学技术是生产力，是现代化社会大生产最活跃的生产力因素.

（5）科学研究方法除了传统的系统论、信息论和控制论的科学方法外，又出现了建立在新科学理论基础上的系统论、信息论和控制论的科学方法.11

§1.2数学概念及特点12数学（希腊文，，来自──知识，科学）──关于与内容相脱离的形式和关系的科学。一、什么叫数学？数学的最初和基本的对象是空间形式和数量关系。13一般说来，现实世界的任何形式和关系都可以成为数学的对象，只要它们在客观上与内容无关，能够完全舍弃内容，并且能用清晰、准确、保持着丰富联系的概念来反映，使之为理论的纯逻辑发展提供基础。除此而外，数学不仅研究直接从现实中抽象出来的形式和关系，而且还研究在逻辑上各种可能的、在已知的形式和关系的基础上定义出来的形式和关系。正是这样，就出现了“虚数”、罗巴切夫斯基的“想象”几何学，等等。

14可以把数学定义为关于逻辑上可能的、纯形式（即脱离内容的）的科学，或者定义为关于关系系统的科学，这是因为形式也是整个的各部分关系的系统，而数学中的关系，又总是被看作是任何一些抽象对象之间关系的系统。15二、数学的特点

1.被舍弃了内容的形式，作为独立的对象而出现；2.数学的结果──定理──通过逻辑推理由基本概念和前提得到的，缓引经验并不是数学论证；

3.数学论断的确定不变性，是它的一个显著特点；164.存在一系列的抽象阶段，以及在已有概念的基础上形成新概念，是数学所特有的；6.数学与其它科学相比有着独特的地位，这是因为，它在研究自然界、社会以及思维领域中的形式和关系时，舍弃了内容且不准借助观察和实验进行论证。因此，不能把数学列为自然科学或者社会科学。

5.广泛的适用性是数学的又一个特点；17§1.3初等数学的形成和古希

腊的数学成就

18

一、

古希腊文化背景

19随着数学知识的积累，随着已有成果之间联系的建立以及解题法则的统一，推导新结果的理论方法、最初的数学证明也就逐渐形成起来。最后导致一个质的飞跃：形成了具有演绎方法的“纯”数学。不言而喻，这个“飞跃”是相当漫长的。据记载，这是发生在公元前七～五世纪的古希腊，数学知识是从埃及传到那里的。二、纯数学的形成

20值得指出的，泰利斯已经证明了一些最简单的几何定理。几何的系统论述出现在公元前五世纪，德谟克利特提出了对于他那个时代相当深刻的、包含积分萌芽思想的一些论断。不可公度线段的发现及随之建立起来的不可公度比的理论，是希腊数学的巨大成就。这种逻辑构造方法，显然超出了经验知识的范围，是纯数学最后定形的鲜明标志。

21三、古希腊几何学的伟大成就古希腊人对数学似乎有特别大的兴趣，尤其是在几何学方面。这在一定程度上应当归功于毕达哥拉斯派和柏拉图。他们都是数学的崇拜者和鼓吹者。据说柏拉图在他所创办的学园的大门口上就写着：“不懂几何学者不得入内”。在其他古国，数学基本上是一门实用性的学科，而在古希腊，也象我们所看到的天文学的情况那样，他们是着重于向理论发展的。古希腊最早的数学家可能还是泰利士。

22公元前五世纪，在古希腊曾存在过一个被称为智者派的哲学派别，他们之中有一些数学家提出了下列三个著名的几何作图难题，即只用圆规和直尺，作一正方形使其面积等于一已知圆的面积；作一立方体使其体积等于一已知立方体的两倍；三等分一任意角。这三大难题会在很长的时期内吸引了许多数学家，后来才证明了这都是不可能的。

欧多克索的学生美尼克谟（Menaechmos，公元前375？-前325？）的最重要的成就是发现了圆锥曲线。

23古希腊后期，学术中心转移到了埃及的亚历山大城，古希腊数学的最后成果是在那里总结和完成的。生活在亚历山大城的欧几里得（EuclidofAlexandria，公元前323？一前235？）是古希腊最享盛名的数学家，以他的主要著作《几何原本》而著称于世。24

阿基米德（Archimedes，公元前287？-前212）是古希腊后期最伟大的科学家，他的工作涉及到理论和实用的许多领域。在数学主面他留下了不少著作，主要是几何学方面的，这些著作被认为是古希腊数学的顶峰。

25自公元前七～五世纪纯数学形成之后，数学发展的第一个时期是初等数学时期。这个时期一直延续到十七世纪，并且又可划分为根本不同的两个阶段。第一个阶段（希腊数学阶段）的特点是，几何学得到深入发展并且占据着统治地位，希腊人把它发展到紧接着解析几何和积分学的建立；第二个阶段的特征是，初等代数得到长足发展并形成数的一般概念（实数），（印度、中亚、阿拉伯东方、西欧一些国家）且得到完善，在这个阶段，笛卡儿引进了代数的现代符号，从而使代数获得了最适合其内容的形式

数学发展的下一个时期是从十七世纪初到十九世纪中叶。通常把它定义为变量数学时期。

26四、欧几里得几何

公元前300年左右，欧几里得写出了《原本》。在这部著作中，他汇集了并系统地表述了当时可得到的全部几何知识。该书把希腊的几何学提高到一个新的水平，而且是西方思想文献中最有影响的经典之一。

27§1.4初等数学的发展以及埃及、印度、中国的数学成就28数学的形成应该从算术和几何出现开始。算术和几何的最简单概念，是在日常生活实践基础上形成的，这要追溯到人类社会发展的远古时代。对这些知识系统化及形成一些规律和法则，是数学本身诞生的时间，即由积累知识转变成一门科学的时间。这发生在公元前3～2千年间的许多国家：埃及、巴比伦、中国、印度。在这个时期，在实践基础上形成了一些数学法则。

29一、古代两河流域和古埃及的数学他们在代数学方面的工作很有成绩，他们不但能解一元一次方程、多元一次方程。也能解一些一元二次方程，甚至一些较为特殊的三次方程和四次方程。把周角分为360，1分为60，1分为60，即我们现在所通用的方法，也是从古代两河流域开始的。30二、古印度的数学成就古印度在数学方面有相当大的成就，在世界数学史上有重要的地位。自哈拉巴文化时期起，古印度人用的就是十进制记数，后来这种记数法为中亚地区许多民族所采用，又经过阿拉伯人传到了欧洲，逐渐演变成为现今世界上通用的“阿拉伯记数法”，这是古印度人的一大贡献。

31现存古印度最早的有关数学的著作名为《准绳经》，这是一部讲述祭坛修筑的书，大约成书于公元前五至四世纪，其中包含了一些几何学的知识。作明在数学上的成就最大。他的《历数全书头珠》中的《嬉有章》和《因数算法章》反映了古印度数学的最高成就。32三、中国古代数学成就我国奴隶制社会时期科学技术发展的水平总的说来不如其他文明古国，但到了从奴隶制向封建制过渡的春秋战国时期出现了一个十分明显的飞跃，经过秦到汉，总的水平上就迅速地跃居世界前列，有许多方面超过了其他国家和地区数百年以至一千多年之久，在世界科技史上产生了重大的影响。

33约成书于公元前一世纪的《周髀》是我国最早的天文数学著作，其中已有勾股东定理和比较复杂的分数运算。《九章算术》是我国第一部最重要的数学专著，大约成书于东汉初期（公元一世纪）。34《九章算术》在我国古代数学史上有很大影响，在世界数学史上也有重要地位。三国时期魏人刘徽为《九章算术》作了详注，他的注也成了我国古代最重要的数学著作之一。刘徽被认为是我国古代数学理论的奠基者。35南朝的祖冲之（429-500）研究圆周率，得出3.1415926<<3.1415927。北宋贾宪：《黄帝九章算法细草》

南宋秦九韶：《数书九章》

36§1.5近代数学的诞生37解析几何学是把代数学和几何学结合起来，把数和形统一起来的一种新方法。有了变量，运动进入了数学。辩证法进入了数学。有了变量，微分和积分也就成为可能的了。笛卡儿的变量是数学中的转折点，笛卡儿的方法对微积分的发明有着无可估量的作用。

一、数学发展的转折点

——解析几何的创立38二、微积分的发明

牛顿在十七世纪六十年代就创立了微积分，但是他的有关著作是在十八世纪出版的。他把自己的微积分方法叫流数术。《流数术》一书写于1671年，出版于1736年。39

莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)是德国数学家和哲学家。他把自己创建的微积分叫做求差的方法和求和的方法。40

牛顿和莱布尼兹在发明微积分上的基本功绩是把前人在实际中应用于某一方面的方法加以概括和提升，使之变成适合于一般方程（或函数关系）的运算方法，并且指出微分和积分的互逆关系。他们的工作标志着微积分的完成。

十九世纪经过柯西（A.L.Canchy）和维尔斯特拉斯（K.Weierstrass）等人的工作，才给微积分奠定了严格的基础。4142三、非欧几何

罗巴切夫斯基几何和黎曼几何直到十九世纪，数学家才逐渐理解了这种逻辑局面，并逐渐认识到欧几里得第五公设独立于他的其它公设，这使得这样的一些形式相容的几何系统能够存在，它们将欧几里得第五公设替换成相反的某种假设。

4344§1.6世界数学中心的转移45一、国际数学家大会（ICM）国际数学家大会（ICM）是世界各国数学家的盛大集会，自1897年在瑞士苏黎世举行第一届会议以来，到2002年为止已经是第二十四届了.除两次世界大战期间外，它每四年召开一次.它对促进世界数学事业的发展和国际交流，发挥了重要作用.46在国际上最有影响的两个数学奖之一是ICM颁发的菲尔兹奖，菲尔兹奖授予四十岁以下的有卓越成就的中青年数学家.从1936年在挪威举行第十届ICM会议颁发首届菲尔兹奖起，至2002年已有44人获得此奖.美籍华人丘成桐于1983年荣获菲尔兹奖。47而另一个声誉日隆的是沃尔夫奖，获奖者有极佳的学术水准，使得此项奖被公认数学界的诺贝尔奖.从1978年颁发到2001年已有39名数学家获此殊荣，美国（17人），苏（俄）（7人），法国（5人），德国、匈牙利、日本、瑞典、比利时（各2人），意大利、以色列（各1人），而美籍华人数学家陈省身教授于1983年得此奖。上述获奖者的工作，代表了半个世纪以来纯粹数学发展的主流.由此可见，当今世界数学的中心在美国，欧洲则以法国最强.48伴随社会的急剧变革，世界数学的中心也已几度转移，世界数学的主流也已几经变幻.从近代、现代数学发展的主线——德、法、美、波兰、苏联等国数学发展兴衰交替、此起彼落的变迁中，我们可看到数学这块领地与整个国家、整个民族、整个社会共命运、同盛衰；它需要学术研究上指导思想正确，方向、方法对头，更需要一个自由、和谐的学术环境.49二、哥廷根的兴衰与美国的胜利20世纪初，德国数学发展到鼎盛时期，哥廷根（Gottingen）大学成了举世瞩目的数学中心和数学家摇篮.18世纪下半叶到19世纪前半叶，数学的中心还在法国巴黎.从19世纪中叶起，由于拿破仑三世的反动统治，法国政治黑暗，社会动荡，导致了数学及整个科学的跌落.而普法战争后，德国获得统一，促进了数学的飞速发展，进入了兴盛时期.19世纪初，年轻的数学家高斯开辟了世界数学的新纪元.50由高斯、雅可比、狄里克雷、黎曼、代德金、康托尔、克罗内克、维尔斯特拉斯、库莫尔等所做出的一系列卓越的开创性工作，使德国数学取代了法国数学的主导作用和中心地位.1855年，狄里克雷接替了高斯在哥廷根的工作后，创建了以他和黎曼等人为首的哥廷根学派.同时，维尔斯特拉斯、库莫尔、克罗内克“三巨头”也把许多有才能的学生吸引到柏林大学，形成了柏林学派.51柏林学派于19世纪末因“三巨头”逝世而瓦解之后，哥廷根学派在黎曼领导下日益繁荣兴旺.20世纪初，大数学家克莱菌、希尔伯特、闵可夫斯基主持哥廷根工作，聚集了像韦尔、E·诺特、阿廷、龙格、海林格、布拉须盖、哥朗、西格尔、托普利兹、施密特、哈塞等一批蜚声数坛的大数学家，以及象普朗克、玻恩、薛定谔、海森堡这样一批大物理学家.52然而，1933年希特勒上台，使兴旺发达的德国科学毁于一旦.哥廷根的大多数成员如韦尔、哥德尔、西格尔、阿廷、柯朗、诺特、冯·诺伊曼、费勒（随机过程创始人之一）、德恩（希尔伯特第3问题解决者）等，还有大科学家爱因斯坦、弗兰克等被迫流亡美国.而留在德国本土的数学家有的被关进集中营，甚至被迫害致死.如拓扑空间理论的奠基人豪斯多夫被逼死，著名数论专家兰朵一直遭受打击迫害.有的不过问政治，埋头学问，在艰难的环境里坚持研究，如维特（E.Witt）研究李代数学和二次型，克鲁尔（Krull）研究交换环，道凌（M.Deuring）研究代数学都取得了突出成就.53美国的数学水平在第二次世界大战前远不如欧洲大陆，每年都有一大批学生留学哥廷根和巴黎.1862—1934年间，美国有114名数学博士，其中就有34名留学于哥廷根，18名留学于莱比锡和慕尼黑.当然，出现在美国本土的具有第一流水平的数学家也有一些，早期的如吉布斯奠基向量分析和统计力学，G·伯克霍夫建立了微分方程定性理论方面的动力系统理论和抽象代数学的格论，系统地论述了各态历经理论.54由于德、波、匈、奥（地利）、法国一大批卓越的数学家以及其他科学家纷纷流亡美国，使美国迅速成为战后的数学强国和世界数学中心.这批数学家成了美国数学的中坚，例如柯朗把建设哥廷根数学研究所的经验带到美国，组建了第一流的纽约大数学和力学研究所，在研究空气动力学和激波中做出了重大成就.55由于在第二次世界大战中，美国收留了大批杰出的数（科）学家（仅德、奥两国移居世界各地2000名科学家中，就有大部分到美国.据统计，当代美国将近半数的优秀科学家实际上是外国人），从而使美国整个数学面貌发生了巨变，并从此居世界数学中心的地位.美国数学的胜利，是夺取人才的胜利.实行开明的人才政策，善于汇集人才——这就是美国一跃而为世界数学魁首的“奥秘”.56波兰数学的中兴20世纪20年代，随着第一次世界大战结束，默默无闻的波兰数学异军突起，独树一帜，在点集拓扑学和泛函分析方面跃居世界主导地位，创造了震惊国际数学界的成就.波兰数学中兴的经验主要有两条：一是自觉地、有计划地形成学派；二是发扬了高度的独创精神，敢于自成体系跻身于世界数学研究中心之林.57布尔巴基学派数学，是年轻人的科学.20世纪30年代，一个以布尔巴基（Bourbaki）为笔名的青年数学家集团诞生在法国巴黎，在沉闷的法兰西数学界掀起了波澜.这批年轻的开拓者，在十分困难的条件下成长壮大，并以大无畏的批判精神做出了用数学结构的观念和公理化方法整理、概括全部现代数学这一庄严选择.“布尔巴基运动”曾席卷法国，风靡欧美，历几十年而不衰，不仅复兴了法国数学，使之在第二次世界大战后保持世界先进水平，而且对整个现代数学产生了巨大的影响.58布尔巴基的早期成员魏依、勒瑞和H·嘉当则分别荣获第二、三届国际沃尔夫奖.20世纪70年代分析数学、应用数学、计算数学的重大发展和“构造主义”的再度新生，促使数学的发展由布尔巴基所指引的抽象的、结构主义的道路转向具体的、构造主义的、与计算机相结合的道路，从而结束了布尔巴基学派的黄金时代.但至今还看不出它有任何解体的迹象.每年三次的“布尔巴基讨论班”照样在庞加莱学院举行，它也许是当今世界上惟一讨论当代数学重要进展的讨论班，许多国内外学者慕名而来.59尖端发展与基础教育、前苏联的数学成就自20世纪60年代以来，前苏联数学再次称雄世界，成为当今世界数学的中心之一.前苏联具有优良的数学传统.早在18世纪，俄国彼得一世就非常重视文化建设的改革，他大力发展学校事业，并与莱布尼兹一起建立了彼得堡科学院，以培养俄罗斯自己的科学家.科学院在许多领域很快地达到了当时西方最有名望的科学院的水平.18世纪最伟大的科学家欧拉，以及贝努里家族的丹尼尔和尼古拉，都曾长期在这里工作.6020世纪60年代以后，前苏联数学发展十分迅速，成为数学上的超级大国，尤其是在20世纪70年代在分析数学、计算数学、应用数学等方面迅猛发展，把法国抛在了后面.当今前苏联数学在世界上是数一数二的，在解决世界难题方面，前苏联数学家为数最多.诺维科夫和马古利斯分别以卓越的成就，成为菲尔兹奖得主.61§1.7中国数学发展的现代化进程62中国数学有悠久灿烂的历史.有史以来的两千多年间，特别是公元13世纪前（宋元时代），在当时占统治地位的数学各分支的许多重要领域内，一直是独立发展，遥遥领先于世界，对世界数学发展有着特殊的贡献和巨大影响.明、清（17世纪），西方数学开始输入中国，使中国数学开始走上现代化的道路.63在美国康奈尔大学毕业并获哈佛大学博士学位后返国的姜立夫，1920年创办南开大学数学系；姜立夫靠他的博学多能，在难以想象的困难条件下培养了如刘晋年、江泽涵、申又枨、陈省身、孙本旺、吴大任等一批中国数学界的栋梁之材.然而，在当时数学是一门自生自灭的学科，得不到应有的重视.当日本数学家高木贞治留学德国哥廷根，向大数学家希尔伯特学习代数数论后归国，并于1920年创立类域论解决希尔伯特第9问题而使日本数学跻身世界一流水平之时，中国现代数学尚未诞生.

641921年，陈建功在日本《东北数学杂志》上发表论文《关于无穷积的一些定理》,标志着中国现代数学的兴起．1928年，陈建功是第一位在日本取得理学博士学位的外国科学家.20世纪20~30年代，留法归来的熊庆来对无穷级整函数和无穷级亚纯函数论；留日归来的陈建功对三角级数论；留日归来的苏步青对仿射微分几何、一般射影曲线理论、一般空间微分几何；留英归来的华罗庚对解析数论华林问题；留德后又留法归来的陈省身对积分几何、拓扑学、微分几何中空间流形的整体性质；留英归来的许宝騄对统计推断和多元分析，取得了在国际上居较高水平的研究成果.65解放后，新中国数学从方面狭窄发展到较为广