2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第2章第5节函数的图象

绘遗函数的图象

［考试要求］

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解

析法）表示函数.

2.会画简单的函数图象.

3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

［走进教材.夯实基础］回顾知识•激活技能

©梳理•必备知识

1.利用描点法作函数的图象

基本步骤是列表、描点、连线，具体为：

（1）①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、

单调性、周期性、最值等）.

（2）列表（找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等）.

（3）描点、连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

［"）+］）

上k（k>0）

移个单位

伍>。）J■3。）

提醒：“左加右减”只针对X本身，与X的系数无关，“上加下减”指的是在

./（X）整体上加减.

（2）对称变换

①y=/U）的图象一夫丘地迪fy=—/U）的图象:

②y=/U）的图象冷泄迪幻的图象:

③丫;丹龙）的图象原点对称》v=一外一幻的图象:

@y=a'（a>0且aWl）的图象定于直线，"对.v=log“x（a>0且aWl）的图

象.

⑶伸缩变换

①尸危)的图象

a>1,横坐标缩短为原来的纵坐标不变

---------\-------->y=血x)的图象；

o<"<1,横坐标伸长为原褂J-L倍，纵坐标不变

②y=/U)的图象

0>1,纵坐标(中长为原来的。倍,横坐标不变

0<“<1,纵坐桥《短为原来的0倍.横坐标不变y=R(x)的图象.

(4)翻折变换

①尸於)的图象逆E互巡邂近到上方y=3的图象;

尤轴及上方部分不变

e&、伉演缶y轴右侧部分翻折到左侧⑶1、团缶

②y=/U)的图象--L------------------------»丫==仅1)1的Vl图象.

原y轴左侧部分去掉，右侧不变

［常用结论］

1.函数图象自身的轴对称

(1加-x)=穴幻台函数y=/(x)的图象关于退对称;

(2)函数y=/(x)的图象关于x=a

蛇，===次Zadul；

(3)若函数y=/(x)的定义域为R,且有/(a+x)=/S—x),则函数y=/(x)的图

象关于直线%=至p对称.

2.函数图象自身的中心对称

(1)/(—x)=函数y=j{x)的图象关于原点对称；

(2)函数y=*x)的图象关于(a,0)对称受/(a+x)=一穴。一x)9大x)=—/(2a—x)台

J(—x)=—fi2a+x);

(3)函数y=/U)的图象关于点3,份成中心对称包色i±©=2。二/3二口《烟

.=2匕~~也2。.

3.两个函数图象之间的对称关系

b-ci

⑴函数y=/(a+x)与x)的图象关于直线一对称(由a+x=b—x

得对称轴方程);

(2)函数y=/(x)与y=*2a—x)的图象关于直线x=a对称；

(3)函数y=/(x)与y=2b-A—x)的图象关于点(0,与对称；

(4)函数y=/(x)与y=2b—/(2a—x)的图象关于点(a,份对称.

€>激活•基本技能

一'易错易误辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)函数y=/U—尤)的图象，可由y=_A—x)的图象向左平移1个单位得到.

()

(2)若函数y=/(x)满足/(l+x)=/U—x),则函数/(x)的图象关于直线x=l对

称.()

(3)当尤e((),+8)时，函数y=*x|)的图象与y=［/U)|的图象相同.()

(4)函数y=/(x)与y=—/(x)的图象关于原点对称.()

［答案］(1)X(2)V(3)X(4)X

二、教材习题衍生

1.函数应D=:一九的图象关于()

A.y轴对称B.直线y=-x对称

C.坐标原点对称D.直线y=x对称

c「.7U)=；-x是奇函数，图象关于原点对称.］

2.函数y=7看的图象大致为()

A［根据函数为奇函数排除C、D选项，又•.”>()时，y>0,排除B,故选

A.]

3.定义max{a,b,c}为a,h,c中的最大值，设y=max{2\2x—3,6—x},

则y的最小值是()

A.2B.3

C.4D.6

C［画出y=max{2",2x—'3,6—x}的示意图，如图所示.由图可知，y的最小

值为22=6—2=4,故选C.

4.已知a>0且aWl,函数y=k)g/,y—ax,y=x+a在同一坐标系中的图

象可能是()

C［因为函数y="与y=log“x的图象关于直线y=x对称，再由函数)="

的图象过点(0,1),y=log“x的图象过点(1,0),观察图象知，只有C正确，故选C.］

［细研考点•突破题型］重难解惑直击高考

□考点一作出函数的图象4题组通关

作出下列函数的图象.

(l)y=Q);(2)y=|log2(x+l)|；

2x—1

(3)尸不7；(4)y=x2-2|x|-l.

［解］(1)先作出的图象，保留/=(!)'图象中x»0的部分，再作出y

kl

的图象中部分关于)，轴的对称部分，即得；

=QJx>0>=()的图象，如图①实

线部分.

(2)将函数y=log2X的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻

折上去，即可得到函数y=|log2(x+l)|的图象，如图②.

—111

(3)••,)=-ZT=2+=,故函数图象可由图象向右平移1个单位，再

X1X1X

向上平移2个单位得到，如图③.

%2—2x—1

(4)・,？=<_,'1'且函数为偶函数，先用描点法作出［0,+8)

^+2x—1,x<0,

上的图象，再根据对称性作出(一8,0)上的图象，得图象如图④.

畲反思领悟图象变换法作函数的图象

(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函

数、对数函数、嘉函数、形如y=x+(的函数.

(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩

得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.

■考点二函数图象的辨识枷生共研

［典例1］(1)(2021.浙江高考)已知函数段)=f+(,g(x)=sinx,则图象为图

示的函数可能是()

A.y=/U)+g(x)—(B.y=*x)—g(x)一(

g(x)

c.y=«r)ga)D.y=

段)

［真题衍生］F

我国著名数学家华罗庚曾说：''数缺形时少直观，形少数\

时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学

习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特"厂

征.已知函数7U）的部分图象如图所示，则函数7U）的解析式可能为（）

A./（x）=lnW+cosxB.y（x）=ln|x|—sinx

C./（x）=ln团一cosxD.y（x）=ln|x|+sinx

B［由题干中函数图象可知其对应的函数为非奇非偶函数，而A,C中的函

数为偶函数,故排除AC;

设题干中函数图象与X轴的交点的横坐标分别为X\,XI,且Xl<0<X2,则

对于B,令y=ln|x|—sin尤=0,即ln|x|=sinx,

作出y=ln|x|与y=sinx的大致图象，如图所示：

由图象可知，函数y=ln|x|—sinx的图象与x轴的交点的横坐标满足xi<0<t2

且阳|42,故B选项符合题意；

对于D,令y=ln|x|+sinx=0,即ln|x|=-sinx,

作出y=ln国与y=-sinx的大致图象，如图所示：

由图象可知，函数y=ln凶+sinx的图象与x轴的交点的横坐标满足xi<0<X2

且比|>尤2,故D选项不符合题意.故选B.］

⑵已知定义在区间［0,2］上的函数y=/（x）的图象如图所示，则y=-/（2—x）的

图象为（）在加

(1)D(2)B[(1)易知函数/(x)=W+(是偶函数，g(x)=sinx是奇函数，给出

的图象对应的函数是奇函数.选项A,y=/(x)+g(x)—+sinx为非奇非偶函

数，不符合题意，排除A;选项B,y=/(x)—g(x)——sinx也为非奇非偶函

数，不符合题意，排除B;因为当xd(O,+8)时，y(x)单调递增，且/(x)>0,当

尤e(0,习时，g。)单调递增，且g(x)>0,所以y=«x)g(x)在(0,习上单调递增，

由图象可知所求函数在(0,点)上不单调，排除C.故选D.

(2)法一(图象变换法)：作出与函数)，=/)的图象关于y轴对称的图形得到函

数y=/(—x)的图象，再把得到的图象向右平移2个单位，得到函数y=/(2—x)的

图象，再作出与此图象关于x轴对称的图形，得到y=-/(2—x)的图象，故选B.

法二(特殊值验证)：当x=0时，一42—©=-/(2)=—1;当x=l时，-4I

-x)=-/(l)=-1.

观察各选项可知，故选B.]

畲反思领悟辨析函数图象的入手点

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上

下位置.

⑵从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

⑶从函数的特征点，排除不合要求的图象.

(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.

⑸从函数的周期性，判断图象的循环往复.

[跟进训练]

%3

1.(1)(2021.山东济南模拟涵数於)=黄不"的图象大致是()

nx.\h

⑵函数yu)=屋中的图象如图所示,则下列结论成立的是(

H十)

A.40,b>Q,c<QB.a<0,b>Q,c>Q

C.a<Q,h>0,c<QD.«<0,b<0,c<0

(1)D(2)C[⑴由于x<0时，y(x)<0,排除A,C,

而函数在y轴右侧)=/增长速度先比y=3*快，而后比y=3"慢，排除B,

故选D.

ar+方

(2)由犬x)=及图象可知，X#—C,-c>0,则cVO;当x=0时，式0)

(x+c)2

A>0,所以Z?>0;当y=0时，ax+b=O,所以x=—，>0,所以。<0.故

0,b>0,cVO.故选C.]

□考点三函数图象的应用，多维探究

考向1研究函数的性质

Q,aWb,

「典例2—1](多选)对任意两个实数。，b,定义min{”，b}=\

b9a>b.

若«x)=2—A2,gq)=f,下列关于函数F(x)=min伏x),g(x)｝的说法正确的是

()

A.函数尸㈤是偶函数

B.方程F(x)=O有三个解

C.函数网x)在区间LL1］上单调递增

D.函数f(x)有4个单调区间

ABD［根据函数凡6=2—/与g(x)=/,画出函数尸(x)=min｛./(x),g(x)｝的

图象，如图.由图象可知，函数F(x)=min伏x),g(x)｝关于y轴对称，

所以A项正确；函数尸(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)=O有三

个解，所以B项正确；函数尸(x)在(-8,一“上单调递增，在上单调递

减，在［0,1］上单调递增，在［1,+8)上单调递减，所以C项错误，D项正确.］

考向2解不等式

［典例2—2］已知函数式x)=2,—x—l,则不等式«r)>0的解集是()

A.(-1,1)B.(—8,-1)U(1,+8)

C.(0,1)D.(—8,Q)U(1,+oo)

D［/U)>002、>x+l,在同一平面直角坐标系中画出

y|•/h(x)=2*

/?(x)=2',g(x)=x+l的图象，如图所示，两图象交点坐标为2，/

A(0,1)和8(1,2),

/0\~3»

观察图象可知不等式危)>0的解集为(一8,o)u(i,+/I：

g(x)=x+l1

8),故选D.］

考向3求参数的取值范围

［典例2—3］(1)已知函数y(x)=|x-2|+l,g(x)=Qc.若方程/(x)=g(x)有两个

不相等的实根，则实数攵的取值范围是.

(2)已知函数兀4］,若直线y=a与函数_/(x)的图象有三个交点A,B,

C,它们的横坐标分别为XI，X2,X3，则*1+尤2十x3的取值范围是.

(1)［1，1)(2)(8,6+2啦)［(1)先作出函数.穴尤)=打一2|+1的图象，如图所

示，当直线g(x)=fcr与直线A8平行时，斜率为1,当

直线g(x)="过A点时，斜率为g,故兀x)=g(x)有两

个不相等的实根时，左的取值范围为g,1).

(x—2户-4,x24,

(2)/(尤)=x|x—4|=彳­,

〃l-(x-2)2+4,X<4,

其图象如图所示.

由图象可得汨+及=4,4VX3<2+2吸，

所以8Vxi+及+的V6+2啦.]

伞反思领悟函数图象的应用类型及求解策略

(1)利用函数的图象研究函数的性质，对于已知或易画出其在给定区间上图

象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象

研