合情推理与演绎推理答案 知识点+例题 全面分类

1212教学内容知识模块1合情推理推理：从一个或几个已知命题得出另一个命题的思维过程.前提结论结论.合情推理：合情推理分为归纳推理和类比推理.一、归纳推理：部分对象全部对象个别一般结论.归纳推理的思维过程：实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论..2．三角形的内角和是，凸四边形的内角和是3602180，凸五边形的内角和是5403180，n边形的内角和是(n2180.3．2

21 2，

22 2，

23 ……由此猜想：

am （a，b，m均为正实数）3 31 3 32 3 33 b bm归纳推理的特点：容的范围；...精典例题透析例1]11

311

51

11

7…则可归纳出式子 .22 2 22 32 3 22 32 42 411122

1n2

2n1(n2)n[巩固]21(2(22)2213(3(32(323135……照此规律，第n个等式可.(n2)(n3)(nn)2n1235(2n[例2]黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面块.4n2[巩固]如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案．现按相同的排列规则进行排列，记n个图形包含的正方形个数为f(n)，则（1）f ；（2）f(n) .41，2n22n1[3]sin230sin290sin2150.

sin25sin265sin2125 .通过观察上述两等式的规律，3 3 [巩固] 有以下三个不等式：

42)(92

52)945)

；(62

82)(22

122)(62812)2；(202102272)(201021072..二、类比推理定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同特殊到特殊.类比推理的思维过程：观察、比较 联想、类推 猜测新的结论的性质，得出一个明确的命题（猜想abacbcabacbc精典例题透析[1]ra，b，c，则三角形的面积S1r(abc，根据类比思想，2若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S，S ，S ，S ，则此四面体的体积V .1 2 3 41R(S S3 1

S S)3 4[巩固1]在平面上，若两个正三角形的边长的比是1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长比为1：2，则它们的体积比. 1:8[巩固2]在RtABC中，若90，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r a2b2，运用类比方法，2若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R .

a2b2c22[2]

a a11

a20

a a1

a30

成立.类似地，在等比数列{b

}中，有n 10 30 n

10bb b 30bbb1112 20 12 30[1]n

}中，有a a1

2n1

(2n

n1

，类比以上性质，在等比数列{bn

}中，有等式 成立.bbb

b 2n112 2n1 n1[巩固2]设等差数列}的前n项和为S ，则S ，S S ，S S，S S 成等差数.类比以上结论有：设n n 4 8 4 12 8 16 12等比数列{bn

}n项和为Tn

T ，则 .T， 4 T4

T，T8

T，T12

成等比数列x2 y2 x2 y2[例3]椭圆的标准方程为 a2 b2

b0)x

y

r2(r0)，及 r2 r2

1，类比圆的面积Sr2推理得椭圆的面积S .ab[巩固]x

y

r2(r0)上一点（x ，y）的切线方程为xxyyr2，类似地，过椭圆0 0 0 0x2y2b0上一点（

，y）的切线方程

x0xy0y1a2 b2 0 0

a2 b2[例4]公差为3的等差数列}中，S 是}的前n项和，则数列S S ，S S ，S S 也成等差数列，n n n 20 10 30 20 40 303004的等比数列}中，T是}n项积，试得出类似结论并证n n n明.[巩固dd1 2

dhhh，3 1 2 3d求证：1

d

d3

1.类比以上性质，给出空间四面体的一个猜想，并给出证明.h h h1 2 3知识模块2演绎推理定义：由一般到特殊.MP(M是P)三段论：三段论是演绎推理的主要形式，常用的格式为：SM(SM)SP（S是P）三段论包含了3个命题：第一个命题称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个命题叫小前提，它指出了一个特殊现象；这两个判断结合起来，揭示了一般原理与特殊对象的内在联系，从而得到第三个命题结论.所有的金属都能导电， 个位数是的正整数必的倍数，例：（1）铜是金属， ，（2）的个位数所以，铜能导. 所以237的倍.合情推理与演绎推理的比较：从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而理是由一般到特殊..精典例题透析[例1]按三段论式推理，进行如下推大前提：所有的车子都有四个轮小前提：自行车是车结论. 自行车有四个轮子[巩固1]“yx3是奇函数yx3的图象关于原点对.”以上推理的大前提.奇函数的图象都关于原点对称[巩固2]“因134682的数字之和等于24是3 的倍数，故134682能被3 整除”这一推理的大前提是 .数字之和能被3整除的正整数一定是3的倍数[巩固3]将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式，其大前提平行四边形的对角线互相平分[2]用三段论证明：直角三角形两锐角之和为900.[1]用三段论证明：通项为an

pnqp，q为常数的数列

}是等差数列.n[2].若两角是对顶角，则该两角相等，所以若两角不想等，则该两角不是对顶角；.知识模块3经典题型题型一：归纳推理[例]设f(x)＝ 1

，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．3x＋31 1 1

3－1 3－3 3解f(0)＋f(1)＝ ＋0＋ 1

＝ ＋ ＝2 ＋6 ＝3，3 3 3＋3 1＋3 3＋33同理可得：f(－1)＋f(2)＝3，3f(－2)＋f(3)＝3，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.31 2 1 x＋x＝1f(x)＋f(x)＝31 2 1 2321证明：设x＋x＝1，2321∵f(

1 211 1 1

(3x

3)

3)

x3x

2 33121 123121 12

＋2311x 3 2311

3

3)(3x

3) 3x

3(3x

)332x 132x

2 3

x3x

2

3.12123(3x1212

)23 3(3x

2 3) 3[巩固]（1）观察下列等式

1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第五个等式应．1 1 1 5 7n 2 2（2）已知f(n)＝1＋2＋3＋…＋经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则n 2 2答案(1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81n＋2(2)f(2n)> 2 (n≥2，n∈N*)解析(1)由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.4 5 6 7(2)由题意得f(22)>2，f(23)>2，f(24)>2，f(25)>2，n＋2所以当n≥2时，有f(2n)> 2 .n＋2故填f(2n)> 2 (n≥2，n∈N*)．题型二：类比推理nb－man m n ma[例]已知数}为等差数列，若a＝a，a＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则n m n ma＋

n－m

.类比等差数{ }的上述结nn n m n m论，对于等比数{b}(b>0，n∈N*)，若b＝c，b＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到b ＝n n m n m＋n－m dn答案 cmn 解析设数列{a}的公差为d，数列{b}的公比为qn nb－man 1 n 1 m因为a＝a＋(n－1)d，b＝bqn 1 n 1 m＋

n－m，22b所以类比得 bm＋n

n－m dn.cma b c [巩固]h，h，hABCPa b c Pa Pb PchhP，P，我们可以得到结论：hhb c

＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论．c答案Pa Pb Pc Pdhhhh＋＋＋＝1hhhha b c da b c 解析h，h，h，hA－BCDA－BCDa b c Pa Pb Pc Pdhhh的距离分别为P，P，P，P，于是可以得出结论：＋hhha b c d ha 题型三：演绎推理

＋＋d[例]已知函数f(x)＝－ a (a>0，且a≠1)．ax＋a证明：函数y＝f(x)的图象关于点1 1对称；(2，－2)（2）f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一(x，y)，它关于点1

对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．(2，－2)由已知y＝－ a ，ax＋a则－1－y＝－1＋ a ＝－ax ，ax＋a ax＋aa a a·ax ax(－＝－1x ＝－a ＝－

＝－ ，x xa ＋

ax＋

a＋a·a

a＋a∴－1－y＝f(1－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点1

对称．(2)解由(1)知－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.则

(2，－2)[巩固y＝f(x)满足：对任意af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)R上的单调增函数．1 2 1 证明设x，x∈R，取x<x1 2 1 则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，2 1 2 [f(x)－f(x)](x－x)>02 1 2 2 2 1 2 ∵x1<x，∴f(x)－f(x)>0，f(x)>f(x)2 2 1 2 ∴y＝f(x)为R上的单调增函数．夯实基础训练1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等.答案32解析5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推不正.答案小前提解析f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；a a ②log(xy)＝logx＋logy与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβa a ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中正确结论的个数.答案1解析(a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sinαsinβ不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin90°＝1，sin30°·sin60°＝3由向量的运算公式知③正确．

4，故②错误．a＋a＋…＋an n n若数列{a}是等差数列，则数列{b}(b＝1 2n n n

n)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c}是等n 比数列，}也是等比数列，则d的表达式应n n答案d＝c·c·…·cn 1 2 n

nn－1n 1 2 n 1解析若{aa＋a＋…＋n 1 2 n 12 1 n－12 1

2 d，b 2∴＝b 2n 1

d＝n＋a－，即{b}为等差数列；若{c}是等比数列，则c·c·…·c＝cn·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn·q

n(n1)2 ，n 1 2 n 1 1n n1∴d＝c·c·…·c＝c·q2，即{d

}为等比数列，故选D.n 1 2 n 1 n5．仔细观察下面○和●的排列规律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数．答案14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，nn＋3则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝ 2 ，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.6 1．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的3”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高．答案14解析设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，由等面积法知3 1ar＝ah，所以r＝3h；同理，由等体积法知4 1 .SR＝HS，所以R＝4H7．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5…照此规律，第n个等式可．答案(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)解析n(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的n2nn2n×1×3×…×(2n－1)．n 1{a}d＝2an 1n {a}nSn n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 n Tn＝n(2a－5)S，S，S，S，S；T，T，T，T，TSn 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 n 1解(1)∵a＝5，d＝2，1∴S＝5

nn－1n n＋

×2＝n(n＋4)．n(2)∵Tn＝n(2a－5)＝n[2(2n＋3)－5]＝4n2＋n.n1 2 ∴T＝5，T＝4×22＋2＝18，T＝4×32＋3＝391 2 4 T＝4×42＋4＝68，T＝4×52＋5＝4 1 2 S＝5，S＝2×(2＋4)＝12，S＝3×(3＋4)＝211 2 4 S＝4×(4＋4)＝32，S＝5×(5＋4)＝4 1 1 n S＝T2≤n≤5，n∈N时，S<1 1 n n n n n＝1时，S＝Tn≥2，n∈N<Tn n n 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BCD，求证：

＝1＋

，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．解如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，1 1 BC2 BC2

AD2

AB2

AC2∴ ＝ ＝ ＝ .AD2 BD·DC BD·BC·DC·BC AB2·AC2又BC2＝AB2＋AC2，1 AB2＋AC2∴ ＝

1＋1.AD2 AB2·AC2

AB2 AC2猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则1＝1＋1＋1.AE2 AB2 AC2 AD2证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1＝1＋1.AE2 AB2 AF2Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1＝1＋1，∴1＝1＋1＋1.

AF2

AC2

AD2AE2 AB2 AC2 AD2能力提升训练10．已知①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论．则这结论.答案正方形的对角线相解析根据演绎推理的特点，正方形与矩形是特殊与一般的关系，所以结论是正方形的对角线相等．如图(1)OOMONM

SNOMN

OM1·ON1.1 2 1 2

SOM

112

＝OM2ON22 1 2 1 如图(2)，若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OPOQ和OR上分别有点P1P，点QQ和点RR，则类似的结论2 1 2 1 V答案 OPQR

OP1·

OQ1·

OR1111＝V＝

OP2

OQ2

OR2OPQR222

OQ1OR1解析考查类比推理问题，由图看出三棱锥P

－ORQ1 1 ORQ

－ORQ2 2 ORQ

的底面面积之比为 · ，又过顶点分OQ2OR2OP别向底面作垂线，得到高的比为

1，故体积之比为

VOPQR

＝OP1·

OQ1·

OR1.OP

111

OP OQ OR2OPQR

2 2 2222nn＋2nn n 1 n数{a的前n项和记为S，已知a＝n n 1 n＋

n S(n∈N*)．证明：（1）数列Sn是等比数列；{n}n1 （2）S ＝4n1 ＋

(1) a S S n(1) a S S S证明 ∵ ＝ －， ＝ ，Sn＋1 n＋1 n n＋1 n n

＝n(S －S)，n n＋1 n即nS ＝2(n＋1)S.n＋1 n故Sn＋1＝2·Sn，(小前提)n＋1 n故Sn{n}是以2为公比，1为首项的等