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文档简介
1212教学内容知识模块1合情推理推理:从一个或几个已知命题得出另一个命题的思维过程.前提结论结论.合情推理:合情推理分为归纳推理和类比推理.一、归纳推理:部分对象全部对象个别一般结论.归纳推理的思维过程:实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论..2.三角形的内角和是,凸四边形的内角和是3602180,凸五边形的内角和是5403180,n边形的内角和是(n2180.3.2
21 2,
22 2,
23 ……由此猜想:
am (a,b,m均为正实数)3 31 3 32 3 33 b bm归纳推理的特点:容的范围;...精典例题透析例1]11
311
51
11
7…则可归纳出式子 .22 2 22 32 3 22 32 42 411122
1n2
2n1(n2)n[巩固]21(2(22)2213(3(32(323135……照此规律,第n个等式可.(n2)(n3)(nn)2n1235(2n[例2]黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地面块.4n2[巩固]如图①②③④所示,它们都是由小正方形组成的图案.现按相同的排列规则进行排列,记n个图形包含的正方形个数为f(n),则(1)f ;(2)f(n) .41,2n22n1[3]sin230sin290sin2150.
sin25sin265sin2125 .通过观察上述两等式的规律,3 3 [巩固] 有以下三个不等式:
42)(92
52)945)
;(62
82)(22
122)(62812)2;(202102272)(201021072..二、类比推理定义:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同特殊到特殊.类比推理的思维过程:观察、比较 联想、类推 猜测新的结论的性质,得出一个明确的命题(猜想abacbcabacbc精典例题透析[1]ra,b,c,则三角形的面积S1r(abc,根据类比思想,2若四面体的内切球半径为R,四个面的面积分别为S,S ,S ,S ,则此四面体的体积V .1 2 3 41R(S S3 1
S S)3 4[巩固1]在平面上,若两个正三角形的边长的比是1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比. 1:8[巩固2]在RtABC中,若90,ACb,BCa,则ABC外接圆半径r a2b2,运用类比方法,2若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a,b,c,则其外接球的半径R .
a2b2c22[2]
a a11
a20
a a1
a30
成立.类似地,在等比数列{b
}中,有n 10 30 n
10bb b 30bbb1112 20 12 30[1]n
}中,有a a1
2n1
(2n
n1
,类比以上性质,在等比数列{bn
}中,有等式 成立.bbb
b 2n112 2n1 n1[巩固2]设等差数列}的前n项和为S ,则S ,S S ,S S,S S 成等差数.类比以上结论有:设n n 4 8 4 12 8 16 12等比数列{bn
}n项和为Tn
T ,则 .T, 4 T4
T,T8
T,T12
成等比数列x2 y2 x2 y2[例3]椭圆的标准方程为 a2 b2
b0)x
y
r2(r0),及 r2 r2
1,类比圆的面积Sr2推理得椭圆的面积S .ab[巩固]x
y
r2(r0)上一点(x ,y)的切线方程为xxyyr2,类似地,过椭圆0 0 0 0x2y2b0上一点(
,y)的切线方程
x0xy0y1a2 b2 0 0
a2 b2[例4]公差为3的等差数列}中,S 是}的前n项和,则数列S S ,S S ,S S 也成等差数列,n n n 20 10 30 20 40 303004的等比数列}中,T是}n项积,试得出类似结论并证n n n明.[巩固dd1 2
dhhh,3 1 2 3d求证:1
d
d3
1.类比以上性质,给出空间四面体的一个猜想,并给出证明.h h h1 2 3知识模块2演绎推理定义:由一般到特殊.MP(M是P)三段论:三段论是演绎推理的主要形式,常用的格式为:SM(SM)SP(S是P)三段论包含了3个命题:第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题叫小前提,它指出了一个特殊现象;这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题结论.所有的金属都能导电, 个位数是的正整数必的倍数,例:(1)铜是金属, ,(2)的个位数所以,铜能导. 所以237的倍.合情推理与演绎推理的比较:从推理形式上看,归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理;而理是由一般到特殊..精典例题透析[例1]按三段论式推理,进行如下推大前提:所有的车子都有四个轮小前提:自行车是车结论. 自行车有四个轮子[巩固1]“yx3是奇函数yx3的图象关于原点对.”以上推理的大前提.奇函数的图象都关于原点对称[巩固2]“因134682的数字之和等于24是3 的倍数,故134682能被3 整除”这一推理的大前提是 .数字之和能被3整除的正整数一定是3的倍数[巩固3]将“菱形的对角线互相平分”写成三段论的形式,其大前提平行四边形的对角线互相平分[2]用三段论证明:直角三角形两锐角之和为900.[1]用三段论证明:通项为an
pnqp,q为常数的数列
}是等差数列.n[2].若两角是对顶角,则该两角相等,所以若两角不想等,则该两角不是对顶角;.知识模块3经典题型题型一:归纳推理[例]设f(x)= 1
,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.3x+31 1 1
3-1 3-3 3解f(0)+f(1)= +0+ 1
= + =2 +6 =3,3 3 3+3 1+3 3+33同理可得:f(-1)+f(2)=3,3f(-2)+f(3)=3,并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于1.31 2 1 x+x=1f(x)+f(x)=31 2 1 2321证明:设x+x=1,2321∵f(
1 211 1 1
(3x
3)
3)
x3x
2 33121 123121 12
+2311x 3 2311
3
3)(3x
3) 3x
3(3x
)332x 132x
2 3
x3x
2
3.12123(3x1212
)23 3(3x
2 3) 3[巩固](1)观察下列等式
1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律,第五个等式应.1 1 1 5 7n 2 2(2)已知f(n)=1+2+3+…+经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则n 2 2答案(1)5+6+7+8+9+10+11+12+13=81n+2(2)f(2n)> 2 (n≥2,n∈N*)解析(1)由于1=12,2+3+4=9=32,3+4+5+6+7=25=52,4+5+6+7+8+9+10=49=72,所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=92=81.4 5 6 7(2)由题意得f(22)>2,f(23)>2,f(24)>2,f(25)>2,n+2所以当n≥2时,有f(2n)> 2 .n+2故填f(2n)> 2 (n≥2,n∈N*).题型二:类比推理nb-man m n ma[例]已知数}为等差数列,若a=a,a=b(n-m≥1,m,n∈N*),则n m n ma+
n-m
.类比等差数{ }的上述结nn n m n m论,对于等比数{b}(b>0,n∈N*),若b=c,b=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到b =n n m n m+n-m dn答案 cmn 解析设数列{a}的公差为d,数列{b}的公比为qn nb-man 1 n 1 m因为a=a+(n-1)d,b=bqn 1 n 1 m+
n-m,22b所以类比得 bm+n
n-m dn.cma b c [巩固]h,h,hABCPa b c Pa Pb PchhP,P,我们可以得到结论:hhb c
++=1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论.c答案Pa Pb Pc Pdhhhh+++=1hhhha b c da b c 解析h,h,h,hA-BCDA-BCDa b c Pa Pb Pc Pdhhh的距离分别为P,P,P,P,于是可以得出结论:+hhha b c d ha 题型三:演绎推理
++d[例]已知函数f(x)=- a (a>0,且a≠1).ax+a证明:函数y=f(x)的图象关于点1 1对称;(2,-2)(2)f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.证明函数f(x)的定义域为全体实数,任取一(x,y),它关于点1
对称的点的坐标为(1-x,-1-y).(2,-2)由已知y=- a ,ax+a则-1-y=-1+ a =-ax ,ax+a ax+aa a a·ax ax(-=-1x =-a =-
=- ,x xa +
ax+
a+a·a
a+a∴-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点1
对称.(2)解由(1)知-1-f(x)=f(1-x),即f(x)+f(1-x)=-1.∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则
(2,-2)[巩固y=f(x)满足:对任意af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a)R上的单调增函数.1 2 1 证明设x,x∈R,取x<x1 2 1 则由题意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),∴x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0,2 1 2 [f(x)-f(x)](x-x)>02 1 2 2 2 1 2 ∵x1<x,∴f(x)-f(x)>0,f(x)>f(x)2 2 1 2 ∴y=f(x)为R上的单调增函数.夯实基础训练1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等.答案32解析5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,所以x=32.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数,以上推不正.答案小前提解析f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提错误.给出下列三个类比结论:①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn;a a ②log(xy)=logx+logy与sin(α+β)类比,则有sin(α+β)=sinαsinβa a ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数.答案1解析(a+b)n≠an+bn(n≠1,a·b≠0),故①错误.sin(α+β)=sinαsinβ不恒成立.如α=30°,β=60°,sin90°=1,sin30°·sin60°=3由向量的运算公式知③正确.
4,故②错误.a+a+…+an n n若数列{a}是等差数列,则数列{b}(b=1 2n n n
n)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c}是等n 比数列,}也是等比数列,则d的表达式应n n答案d=c·c·…·cn 1 2 n
nn-1n 1 2 n 1解析若{aa+a+…+n 1 2 n 12 1 n-12 1
2 d,b 2∴=b 2n 1
d=n+a-,即{b}为等差数列;若{c}是等比数列,则c·c·…·c=cn·q1+2+…+(n-1)=cn·q
n(n1)2 ,n 1 2 n 1 1n n1∴d=c·c·…·c=c·q2,即{d
}为等比数列,故选D.n 1 2 n 1 n5.仔细观察下面○和●的排列规律:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依规律继续下去,得到一系列的○和●,那么在前120个○和●中,●的个数.答案14解析进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……,nn+3则前n组两种圈的总数是f(n)=2+3+4+…+(n+1)= 2 ,易知f(14)=119,f(15)=135,故n=14.6 1.在平面几何中,有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的3”.拓展到空间,类比平面几何的上述正确结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高.答案14解析设正三角形的边长为a,高为h,内切圆半径为r,由等面积法知3 1ar=ah,所以r=3h;同理,由等体积法知4 1 .SR=HS,所以R=4H7.(2013·陕西)观察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5…照此规律,第n个等式可.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)解析n(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三个等式右边的n2nn2n×1×3×…×(2n-1).n 1{a}d=2an 1n {a}nSn n 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 n Tn=n(2a-5)S,S,S,S,S;T,T,T,T,TSn 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 n 1解(1)∵a=5,d=2,1∴S=5
nn-1n n+
×2=n(n+4).n(2)∵Tn=n(2a-5)=n[2(2n+3)-5]=4n2+n.n1 2 ∴T=5,T=4×22+2=18,T=4×32+3=391 2 4 T=4×42+4=68,T=4×52+5=4 1 2 S=5,S=2×(2+4)=12,S=3×(3+4)=211 2 4 S=4×(4+4)=32,S=5×(5+4)=4 1 1 n S=T2≤n≤5,n∈N时,S<1 1 n n n n n=1时,S=Tn≥2,n∈N<Tn n n 在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BCD,求证:
=1+
,那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.解如图所示,由射影定理AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,1 1 BC2 BC2
AD2
AB2
AC2∴ = = = .AD2 BD·DC BD·BC·DC·BC AB2·AC2又BC2=AB2+AC2,1 AB2+AC2∴ =
1+1.AD2 AB2·AC2
AB2 AC2猜想,四面体ABCD中,AB、AC、AD两两垂直,AE⊥平面BCD,则1=1+1+1.AE2 AB2 AC2 AD2证明:如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.∵AB⊥AC,AB⊥AD,∴AB⊥平面ACD.∴AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴1=1+1.AE2 AB2 AF2Rt△ACD中,AF⊥CD,∴1=1+1,∴1=1+1+1.
AF2
AC2
AD2AE2 AB2 AC2 AD2能力提升训练10.已知①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.根据“三段论”推理出一个结论.则这结论.答案正方形的对角线相解析根据演绎推理的特点,正方形与矩形是特殊与一般的关系,所以结论是正方形的对角线相等.如图(1)OOMONM
SNOMN
OM1·ON1.1 2 1 2
SOM
112
=OM2ON22 1 2 1 如图(2),若从点O所作的不在同一平面内的三条射线OPOQ和OR上分别有点P1P,点QQ和点RR,则类似的结论2 1 2 1 V答案 OPQR
OP1·
OQ1·
OR1111=V=
OP2
OQ2
OR2OPQR222
OQ1OR1解析考查类比推理问题,由图看出三棱锥P
-ORQ1 1 ORQ
-ORQ2 2 ORQ
的底面面积之比为 · ,又过顶点分OQ2OR2OP别向底面作垂线,得到高的比为
1,故体积之比为
VOPQR
=OP1·
OQ1·
OR1.OP
111
OP OQ OR2OPQR
2 2 2222nn+2nn n 1 n数{a的前n项和记为S,已知a=n n 1 n+
n S(n∈N*).证明:(1)数列Sn是等比数列;{n}n1 (2)S =4n1 +
(1) a S S n(1) a S S S证明 ∵ = -, = ,Sn+1 n+1 n n+1 n n
=n(S -S),n n+1 n即nS =2(n+1)S.n+1 n故Sn+1=2·Sn,(小前提)n+1 n故Sn{n}是以2为公比,1为首项的等
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