2022高考数学大二轮 专题限时训练 第1讲 多面体与球 文

PAGEPAGE7第1讲多面体与球【选题明细表】知识点、方法题号多面体(或球)的结构特征1、7、12多面体与球的表面积2、3、11几何体的体积5、6、8、10综合问题4、9、13一、选择题1.下列结论正确的是(D)(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析:选项A错误,如图(1)是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;选项B错误,如图(2),若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥;选项C错误,若该棱锥是六棱锥,由题设知,它是正六棱锥.易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.故选D.2.设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则S1(A)2π (B)6π (C)π解析:设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=34a2即a=23则S1S2=43.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32,则这个四棱锥的外接球的表面积为(B)(A)12π (B)36π (C)72π (D)108π解析:依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为32×2=6,高为(32)2-(124.已知一个四棱锥的高为3,其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形,则此四棱锥的体积为(D)(A)2 (B)62 (C)1 (D)22解析:由斜二测画法可知,原图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为1,在斜二测图形中如图(1),O′B′=2,且∠B′O′A′=45°,那么在原图形中如图(2),∠BOA=90°,且OB=22,所以原平面图形的面积为1×22=22,故此四棱锥的体积为V=13×22×3=225.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使BD等于a,则三棱锥ABCD的体积为(D)(A)a36(C)3a3解析:如图所示,折起后,形成的三棱锥BACD中,BC=BD=CD=AD=AB=a,AC=2a.取BD的中点E,AC的中点F,连结EF,则BD⊥平面ACE.又EF⊥AC,且CE2=34a2,FC2=12a∴EF=EC2-∴VABCD=VBACE+VDACE=13×12×2a×12a×a=26.如图所示,正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为4,动点E、F在棱AB上,且EF=2,动点Q在棱D′C′上,则三棱锥A′EFQ的体积(D)(A)与点E、F位置有关(B)与点Q位置有关(C)与点E、F、Q位置都有关(D)与点E、F、Q位置均无关,是定值解析:因为VA'EFQ=VQA'EF=13×12×2×47.已知点A、B同位于以点O为球心、1为半径的一个球面上,且O到过点A、B的截面的距离的最大值是22于(D)(A)π6 (B)π4 (C)π解析:设O到过点A、B的截面的距离为d,截面半径为r,则有d=1-当r最小,即截面以AB为直径时,d取得最大值.因此依题意得22=1-(又AB2=OA2+OB2,得∠AOB=π2故点A、B间的球面距离等于π2×1=π故选D.8.如图所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D为棱AA1的中点,若截面三角形BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为(B)(A)163 (B)83(C)43 (D)8解析:设正三棱柱的底面边长为a,高为2h,则BD=C1D=a2BC1=a2由△BC1D是面积为6的直角三角形,得2解得a故此三棱柱的体积为V=12×8×sin60°×4=839.高为24的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为(C)(A)24 (B)22解析:设球心为O,正方形的中心为O1,则OB=1,O1B=12BD=2所以点O到平面ABCD的距离OO1=OB2-因为四棱锥SABCD的高为24,故四棱锥SABCD的顶点S在与平面ABCD平行且距离为24的一个小圆的圆周上,此小圆的圆心O2在OO1的中点上,易知SO2为线段OO1的垂直平分线,所以SO1=SO=1.故选C.二、填空题10.(2012年高考上海卷)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为.

解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,高为h,则π∴l=2,r=1∴V圆锥=13π×12×3=33答案:3311.若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为.

解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底等高等棱长的正四棱锥),所有棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为22,故正八面体的体积为V=2V正四棱锥=2×13×12×22答案:212.(2012年高考辽宁卷)已知正三棱锥PABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为.

解析:由正三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,将其补成一个正方体,此正方体的体对角线长恰等于外接球的直径,而球心到截面ABC的距离等于体对角线长的三等分的一半,即d=16×23=33答案:313.如图所示,在三棱锥PABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.若M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥MPAB,三棱锥MPBC,三棱锥MPCA的体积.若f(M)=（12,x,y）,且1x+ay≥8恒成立,则正实数a的最小值为.

解析:由已知条件可得m+n+p=16×3×2×则f(M)=12,x,y中x+y+12=