《材料力学》课件-第三章 扭转

第三章扭转第五节圆轴扭转时的变形第一节扭转的概念和实例第二节外力偶矩的计算扭矩和扭矩图第三节纯剪切第四节圆轴扭转时横截面上的应力第六节非圆截面杆的扭转汽车的转向操纵杆FFM'eMe3.1扭转的概念和实例轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。扭转：在一对大小相等、转向相反、作用面垂直于直杆轴线的外力偶Me作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生相对转动，杆件表面纵向线将成斜线，而轴线仍维持直线。ABA'B'MeMe3.1扭转的概念和实例ABA'B'jgMeMe外力偶作用平面和杆件横截面平行扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪（切）应变（）：直角的改变量。3.1扭转的概念和实例设某轮所传递的功率是P(kW)，轴的转速是n(r/min)3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图3.2.1.外力偶矩的计算PP使杆件产生扭转变形的力偶矩,数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。

[例1]传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。

MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图3.2.2扭矩和扭矩图3扭矩的符号规定：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线n的方向一致时，T为正；反之为负。1扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。

2截面法求扭矩MeTxMeMe[例2]已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nABCDM2

M3

M1

M4解：①计算外力偶矩3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图M2②求扭矩（扭矩按正方向设）3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图nABCDM2

M3

M1

M4112233T2AT1T3M2T3-M4=0T3=M4=6.37KN·m③绘制扭矩图nABCDM2

M3

M1

M4xT4.78kN·m9.56kN·m6.37kN·m––3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图δ<<R0---薄壁圆筒规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正MM11扭矩3.3纯剪切TM3.3.1

薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒：壁厚δ（R0：为平均半径）3.3纯剪切扭转实验后①圆周线的大小、形状、间距不变；②纵向线变成斜直线,倾角相同。扭转实验前纵向线圆周线①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。3.3纯剪切3.结论：①各圆周线的间距均未改变→横截面上无正应力. ②圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对 转动→周向无正应力. ③纵向线倾斜→横截面上有切应力.

④各纵向线均倾斜了同一微小角度→切应力均匀分布.切应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径3.3纯剪切

根据精确的理论分析,当δ

≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。3.3纯剪切3.3纯剪切微元体单元体acddxbdy´´z扭转前扭转后3.3.2切应力互等定理

3.3纯剪切

单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。微元体单元体acddxbdy´´z切应力互等定理:在相互垂直的一对平面上，切应力一定成对出现，其数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。3.3纯剪切3.3.3剪切胡克定律

剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。rG称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。

剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E

泊松比μ

对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹性常数之间存在着如下关系：3.3纯剪切可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。3.4圆轴扭转时横截面上的应力3.4.1

圆轴扭转切应力的计算公式等直圆杆横截面应力①变形几何方面②物理关系方面③静力学方面

观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度γ1.变形几何方面3.4圆轴扭转时横截面上的应力平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。3.4圆轴扭转时横截面上的应力距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。——扭转角沿长度方向变化率。3.4圆轴扭转时横截面上的应力弧长：

切应力方向垂直于半径2.物理方面3.4圆轴扭转时横截面上的应力Ttmaxtmax胡克定律：代入上式得：根据剪切胡克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时3.4圆轴扭转时横截面上的应力3.静力学关系：令代入物理关系式得：TOdA横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式微面积dA上的微剪力对圆心的力矩：横截面的极惯性矩应力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。3.4圆轴扭转时横截面上的应力1.最大扭转切应力：由知：当Wp—扭转截面系数，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：3.4.2

最大扭转切应力和强度条件3.4圆轴扭转时横截面上的应力

2、强度条件强度条件：3.4圆轴扭转时横截面上的应力强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：τs----

扭转屈服极限——塑性材料τb----

扭转强度极限——脆性材料τu----

扭转极限应力——τs和τb的统称许用切应力

2、强度条件

塑性材料和脆性材料在进行扭转实验时，其破坏形式不同：对于塑性材料．先出现屈服，最后沿横截面断裂对于脆性材料，变形很小，最后沿与轴线约45o方向的螺旋面断裂低碳钢扭转破坏铸铁扭转破坏3.4圆轴扭转时横截面上的应力

例三某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[t]=100MPa，试校核轴的强度。解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。

同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。

若将空心轴改成实心轴，仍使

，则由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：3.4圆轴扭转时横截面上的应力直接计算1.外力偶矩上节回顾-扭矩kWr/min截面法、右手定则右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)√剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。剪应力互等定理薄壁圆筒扭转-切应力剪切胡克定律在弹性范围内剪应力与剪应变成正比关系切应变的定义单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量，定义为角应变或切应变，用γ表示。lφ很小，sinφ=tanφ=φtanφ=x/r=φ

x=rφx距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。—扭转角沿长度方向变化率。弧长：1.平面假设圆轴扭转时横截面上的应力

切应力方向垂直于半径2.物理方面Ttmaxtmax胡克定律：代入上式得：根据剪切胡克定律,当切应力不超过材料的剪切比例极限时切应力方向-右手定则

切应力互等定理-在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都

垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线3.静力学关系：令代入物理关系式得：TOdA横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式微面积dA上的微剪力对圆心的力矩：横截面的极惯性矩1.最大扭转切应力：由知：当Wp—扭转截面系数，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：最大扭转切应力和强度条件（α=d/D）强度条件强度条件：强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：τs----

扭转屈服极限——塑性材料τb----

扭转强度极限——脆性材料τu----

扭转极限应力——τs和τb的统称许用切应力例题1图示空心圆轴外径D=100mm,内径d=80mm,M1=6kN·m,M2=4kN·m,材料的切变模量G=80GPa.（1）画轴的扭矩图；（2）求轴的最大切应力,并指出其位置.M1M2ABCll解:（1）画轴的扭矩图Me1Me2ABCllBC段1Me2CT1T1+Me2=02Me2CMe1BT2T2+Me2-Me1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段

Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求轴的最大切应力,并指出其位置max

最大切应力发生在截面的周边上,且垂直于半径.M1M2ABCllmax已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。解：首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴例题2已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比

=0.5。二轴长度相同。求:

实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。空心轴d2＝0.5D2=23mm确定实心轴与空心轴的重量之比空心轴D2＝46mmd2＝23mm

实心轴d1=45mm

长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：49例题3：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，沿弹簧轴线承受拉力F（密圈螺线弹簧是指螺旋升角a<5°）。设弹簧圈平均半径R，弹簧丝平均直径d。分析弹簧的应力，建立相应强度条件。RRaF50

可见，弹簧丝的横截面上作用有剪力Fs和扭矩T，其分别值为

Fs=F，T=FRdFsTFR解：利用截面法，以通过弹簧轴线的某一平面将弹簧丝切断，选择上部为研究对象。由于螺旋升角a

很小，此切面可视为弹簧丝的横截面。51假设与剪力Fs相应的切应力t’沿截面分布均匀，则

扭矩T引起的最大切应力t’’max

为dFsTFRFsT52由叠加原理可得截面上的最大切应力tmax当D/d10（R/d5）时，可忽略切应力t’的影响，最大剪应力tmax可近似为FsT强度条件：53受扭圆轴的相对扭转角

圆杆受扭矩作用时，dx微段的两截面绕轴线相对转动的角度称为相对扭转角沿轴线方向积分，得到3.5圆轴扭转时的变形

54

对于两端承受集中扭矩的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：

对于各段扭矩不等或截面积惯性矩不等的阶梯状圆轴，轴两端面的相对扭转角为：受扭圆轴的相对扭转角55单位长度的相对扭转角

在很多情形下，两端面的相对扭矩角不能反映圆轴扭转变形的程度，因而更多采用单位长度扭转角表示圆轴的扭转变形，即扭转角的变化率：

扭转刚度设计是将单位长度上的相对扭转角限制在允许的范围内，即必须使构件满足刚度设计准则或称刚度条件：56受扭圆轴的刚度设计准则其中，[]

为单位长度上的许用相对扭转角，其数值根据轴的工作要求而定。例如，精密机械的轴

[]

＝(0.25~0.5)(／m)；一般传动轴[]

＝(0.5~1.0)(／m)；刚度要求不高的轴[]

＝2（／m）。

的单位为rad/m

—工程中（°/m）57例题1：图示圆轴AC，承受大小为MA，MB，MC的扭力偶作用。已知圆轴GIP，长度2l，求轴的总扭转角（即截面A与C之间的相对转角）。CAB58CABBC段：AB段：AC段：正负扭矩引起的圆轴扭转方向相反！！解：

例2

图示钻杆横截面直径为20mm，在旋转时BC段承受均匀分布的扭力矩m作用。已知使其转动的外力偶矩Me＝120N·m，材料的切变模量G＝80GPa，求钻杆两端的相对扭转角。100200mMeTx解：由钻杆的平衡方程得由截面法，BC段任一截面的扭矩为：AB段任一截面的扭矩为：ABC（2）求相对扭转角A和C截面间的相对扭转角3.5圆轴扭转时的变形

例3

图示等截面圆轴AB，两端固定，在截面C和D处承受外力偶矩Me作用，试绘该轴的扭矩图。ACDBMeMeaaaMeMeMAMB解：（1）建立静力平衡方程设AC，CD与DB段的扭矩分别为T1，T2，T3（截面法）（2）建立几何方程：横截面A和B为固定端，截面A和B间的相对转角即扭转角为0，所以轴的变形协调方程为：（3）建立物理方程及补充方程：（4）联列求解：3.5圆轴扭转时的变形MeMeMAMBTx1/3Me2/3Me--+3.5圆轴扭转时的变形（4）作扭矩图：

例4

图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC

作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0.5