线与线线与面面与面平行的判定与性质

线与线线与面面与面平行的判定与性质第一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三1.直线与直线

(1)空间两条直线的位置关系有________、________、________三种．

(2)过直线外一点________一条直线和这条直线平行．

(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________，又叫做空间平行线的传递性．平行相交异面有且仅有平行第二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三(4)定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角________．

(5)空间四边形：顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做________，这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做________；连结不相邻的顶点的线段叫做__________________．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．空间四边形的对角线相等空间四边形四边形的边第三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2．直线与平面平行

(1)直线与平面的位置关系有：

①平行：________

②________：直线和平面有且只有1个公共点

③直线在平面内：_______________________，其中①、③也叫________直线和平面没有公共点相交直线和平面有无数个公共点直线在平面外第四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三知识归纳一、直线与平面平行1．判定方法(1)用定义：直线与平面无公共点．第五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三第六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三二、平面与平面平行1．判定方法(1)用定义：两个平面无公共点第七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三(3)其它方法：第八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2．性质定理：3．两条直线被三个平行平面所截，截得对应线段成比例．第九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三课前训练：1.设AA′是长方体的一条棱，这个长方体中与AA′平行的棱共有()

A．1条B．2条C．3条D．4条解析：AA′∥BB′∥CC′∥DD′.答案：C第十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2．b是平面α外一条直线，下列条件中可得出b∥α的是(

)

A．b与α内一条直线不相交

B．b与α内两条直线不相交

C．b与α内无数条直线不相交

D．b与α内任意一条直线不相交解析：只有在b与α内所有直线都不相交，即b与α无公共点时，b∥α.答案：D第十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三3．在空间，下列命题正确的是(

)

A．若a∥α，b∥a，则b∥α

B．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥α

C．若α∥β，b∥α，则b∥β

D．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故A错误；由面面平行的判定定理知，B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故C错误．答案：D第十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三4．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l、m为直线，α、β为平面)，则此条件为答案：l⊄α

l⊄α

l⊄α第十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三5．a，b，c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：

其中正确的命题是________．

答案：①第十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三

类型一：直线与直线平行

第十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解题准备：平行于同一直线的两条直线互相平行例1如图，若α∩β＝a，α∩γ＝b，γ∩β＝c，且a∥b，求证：a∥b∥c.

第十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[分析]利用线面平行的判定定理及性质定理及公理4即可证得．

[证明]∵b∥a，a⊂β，b⊄β，

∴b∥β(线线平行，则线面平行)．

∵b⊂γ，γ∩β＝c，

∴b∥c(线面平行，则线线平行)，∴a∥b∥c.

第十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[评析]

(1)判定定理应用时要注意条件是平面外的一条直线，应用性质定理时注意确保这条直线是经过这条直线的平面与已知平面的交线，条件必须充分满足了才得结论．

(2)本题证明是：线∥线―→线∥面―→线∥线．

第十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三练习1.已知m、n、l为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②l⊥n，l⊥m，n⊂α，m⊂α，则l⊥α；③α⊥β，α∥γ，则β⊥γ；④m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n.其中正确命题的个数是 (

)A．0

B．1

C．2

D．3第十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：①若α∩β＝l，而m∥l，m⊄α，m⊄β，则m∥α，m∥β，故①错误；②若m∥n，则l不一定垂直于α，故②错误；③一个平面垂直两个平行平面中的一个平面，则必垂直另一个平面，故③正确．④若α∩β＝l，而m⊂α，n⊂β且m∥l，n∥l，则m∥n.故④错误，故选B.答案：B第二十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2.若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是 (

)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α第二十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；第二十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D.第二十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，∵m⊥β，∴m∥n，∵n⊂α，m⊄α，∴m∥α.答案：D第二十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三类型二：线面平行

解题准备：1.证明线面平行的方法

(1)依定义采用反证法．

(2)判定定理法(线线平行⇒线面平行)．

(3)面面平行的性质定理(面面平行⇒线面平行)．第二十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2．应用线面平行判定定理的思路

在应用线面平行的判定定理证明线面平行时，要在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，在找(或作)这一条直线时，由线面平行的性质定理知，在平面内和已知直线共面的直线才和已知直线平行，所以要通过平面来找(或作)这一条直线．在应用其他判定定理和性质定理时，要注意充分利用条件构造定理的题设，在分析思路时也要以定理作为指导．

第二十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三例1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F且B1E＝C1F.

求证：EF∥平面ABCD.

第二十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[分析]要证EF∥平面ABCD，方法有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD内确定EF的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF作与平面ABCD平行的平面．

第二十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[证明]方法一：过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥BC于N，连结MN(如图)．则EM∥BB1，FN∥BB1，

∴EM∥FN.

∵AB1＝BC1，B1E＝C1F，

∴AE＝BF，

∴EM＝FN，

∴四边形EMNF是平行四边形，∴EF∥MN.

又∵EF⊄平面ABCD，MN⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD.

第二十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三方法二：连结B1F，并延长交BC的延长线于点P，连结AP(如图)．

∵BP∥B1C1，

∴△B1FC1∽△PFB，

又∵EF⊄平面ABCD，AP⊂平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD.

第三十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三方法三：过点E作EH⊥BB1于点H，连结FH(如图)．

∵B1C1∥BC，∴FH∥BC.

∵EH∩FH＝H，

∴平面EFH∥平面ABCD.

∵EF⊂平面EFH，

∴EF∥平面ABCD.

第三十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[评析]判断或证明线面平行的常用方法有：

(1)利用线面平行的定义(无公共点)；

(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

第三十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[探究1]如图，已知：P是▱ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．

求证：PD∥平面MAC.

第三十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[分析]根据线面平行判定定理知要证线面平行关键是寻找线线平行．

[证明]连结AC、BD相交于O点，连结MO.

∵O为BD的中点，M为PB的中点，∴MO∥PD.

又∵MO⊂平面ACM，PD⊄平面ACM，

∴PD∥平面MAC.

第三十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[评析]证明线面平行，关键是在平面α内找一条直线b，使a∥b，如果没有现成的平行线，应根据条件作出平行线，有中点的常作中位线，简称中位线法．

第三十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[例2]如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别为CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.第三十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：考虑到P、Q分别是CC1、C1D1的中点，可以知道PQ∥CD1，这样就可将问题转化，通过证明平面ACD1∥平面BPQ来证AC∥平面BPQ.即由面面平行证线面平行．连结CD1、AD1，∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，且AD1⊄平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ，∵AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.第三十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三例.如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

第三十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，∴A′D′∥B′C′.

∵AA′∥BB′，且AA′，A′D′是平面AA′D′D内的两条相交直线，BB′，B′C′是平面BB′C′C内的两条相交直线，∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.

又∵AD，BC分别是平面ABCD与AA′D′D，平面BB′C′C的交线，故AD∥BC.同理可证AB∥CD.

∴四边形ABCD是平行四边形.

第三十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三

练习.如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1棱AA1，CC1上的点且AE＝C1F.

求证：四边形EBFD1是平行四边形．

第四十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三第四十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三第四十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三类型三：面面平行的证明方法

解题准备：1.证明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外，还有：

(1)如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．

(2)如果两个平面和同一个平面平行，那么这两个平面平行．

第四十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2．平行问题的转化方向如图所示：第四十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三注意：(1)在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立．

(2)若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时第三个平面需要作出来．第四十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三例1.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中

求证：平面AB1C∥平面A1C1D[分析]要证明面AB1C∥面A1C1D，根据面面平行的判定定理或推论，只要证明AC∥面A1C1D，AB1∥面A1C1D，且AC∩AB1＝A，即可．第四十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三第四十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三第四十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[评析]证明平面与平面相互平行，一般利用面面平行的判定定理或其推论，将面面平行转化为线面平行或线线平行来证明．具体方法有：

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

第四十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[例2]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、SC和DC的中点，点P在线段FG上．(1)求证：平面EFG∥平面SDB；(2)求证：PE⊥AC.第五十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：(1)∵E、F、G分别为BC、SC、CD的中点，∴EF∥SB，EG∥BD.∵EF⊄平面SBD，EG⊄平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD.∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB.(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B.又∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD.又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE⊂平面EFG，∴PE⊥AC.第五十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三练习1.在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是边长为1的正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．(1)求证：平面AD1E∥平面BGF；(2)求证：D1E⊥平面AEC.第五十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三证明：(1)∵E，F分别是棱BB1，DD1的中点，∴BE与D1F平行且相等.∴四边形BED1F为平行四边形．∴D1E∥BF.又D1E⊂平面AD1E，BF⊄平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.又G是棱DA的中点，∴GF∥AD1.又AD1⊂平面AD1E，GF⊄平面AD1E，∴GF∥平面AD1E.又BF∩GF＝F，∴平面AD1E∥平面BGF.第五十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1B1.又D1E⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1E.又AC∩AE＝A，∴D1E⊥平面AEC.第五十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三练习2.如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.

第五十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三[解]连结A1C交AC1于点E，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点，连结ED，

∵A1B∥平面AC1D，

平面A1BC∩平面AC1D＝ED，

∴A1B∥ED，

∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．

又∵D1是B1C1的中点，

∴在三棱柱ABC—A1B1C1中，BD1∥C1D，A1D1∥AD，

又A1D1∩BD1＝D1，AD∩C1D＝D

∴平面A1BD1∥平面AC1D.

第五十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三

例3.如图，平面α∥平面β，线段GH与α、β分别交于A、B，线段HF与α、β分别交于F、E，线段GD与α、β分别交于C、D，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，S△ACF＝72.求△BDE的面积．第五十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：因为α∥β，所以AC∥BD，AF∥BE.所以∠FAC与∠EBD相等或互补．因为AC∥BD，故△GAC∽△GBD.第五十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解题策略1.线线平行、线面平行、面面平行的转换

2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作辅助线或辅助面．第五十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三课时作业四十三直线、平面平行的判定及其性质第六十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三一、选择题

1．(基础题，易)下列命题中，是假命题的是()

A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面

B．平面α∥平面β，a⊂α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a

C．α∥β，γ∥δ，α、β分别与γ、δ的交线为a、b、c、d，则a∥b∥c∥d

D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件

第六十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：D错误．当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面．如图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β＝l.答案：D第六十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三2．(基础题，易)已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在β内过点B的所有直线中(

)

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线解析：B点与a确定一平面γ与β相交，设交线为b，则a∥b.答案：D第六十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三3．(基础题，易)对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是(

)

A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

第六十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：A中当n∩α＝A，A∉m，则有m、n是异面直线，故A是错误的．B中n与α可能相交，也可能平行，故B是错误的．C中由线面平行的性质定理可知C是正确的．D中m、n可能相交，也可能平行，故D是错误的．

答案：C第六十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三评析：(1)该题主要考查直线和平面的位置关系和空间想象能力．(2)n⊄α包括两种情况n∥α及n与α相交，这是学生常出错的地方，应引起重视．

第六十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三4．(基础题，易)如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(

)

A．平行B．相交

C．平行或相交D．垂直相交

第六十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：可根据题意作图，判断之．

如图中的(1)、(2)分别为两个平面平行、相交的情形．

答案：C第六十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三5．(基础题，易)平面α∥平面β的一个充分条件是(

)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案：D第六十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：对于选项A，当α、β两平面相交，直线a平行于交线时，满足要求，故A不对；对于B，两平面α、β相交，当a在平面α内且a平行于交线时，满足要求，但α与β不平行；对于C，同样在α与β相交，且a，b分别在α、β内且与交线都平行时满足要求；故只有D正确，因为a、b异面，故在β内一定有一条直线a′与a平行且与b相交，同样，在α内也一定有一条直线b′与b平行且与a相交，由面面平行判定的推论可知其正确．评析：本题主要考查了面面平行的判定与基本线面知识．第七十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三6．(基础题，易)过平行六面体ABCD—A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有(

)

A．4条B．6条

C．8条D．12条答案：D第七十一页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：如图，在平平六面体ABCD—A1B1C1D1中E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH、平面MNPQ均与平面DBB1D1平行．

而平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(四条边和两条对角线)满足条件；共有12条直线符合要求．

第七十二页，共八十七页，编辑于2023年，星期三二、填空题

7．(能力题，中)下图中四个正方体图形，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)

第七十三页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：(1)∵面AB∥面MNP，∴AB∥面MNP.(2)观察图知AB与面MNP相交．(3)易知AB∥MP，∴AB∥面MNP.(4)如图所示，过M作MC∥AB，∵MC⊄面MNP，∴AB与面MNP不平行．答案：(1)(3)第七十四页，共八十七页，编辑于2023年，星期三评析：要有线面平行，先有线线平行，故在面MNP内找出或作出与AB平行的直线，是解决此题的关键．另外有些同学对(4)这样的稍微复杂的图感到无从下手，也可借助向量法解决．第七十五页，共八十七页，编辑于2023年，星期三8．(基础题，易)给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

第七十六页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：①由线面关系知α，β也可能相交，故错；②由线面关系知l，m还可能异面；③三个平面两两相交，由线面平行关系知，m∥n正确．

答案：③第七十七页，共八十七页，编辑于2023年，星期三9．(2010·郑州Ⅱ)(开放题，易)考察下列三个命题，在“______________”处都缺少一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，α、β为平面)，则此条件为______________．

第七十八页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解析：①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l为平面α外的直线”即“l⊄α”它同样也适合②③，故填l⊄α.答案：l⊄α第七十九页，共八十七页，编辑于2023年，星期三三、解答题

10．(基础题，易)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论；

(2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论．

第八十页，共八十七页，编辑于2023年，星期三解：(1)BC∥l.

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD.

又BC⊄平面PAD，AD⊂