高中数学-用二分法求方程的近似解教学设计学情分析教材分析课后反思

3．1．2用二分法求方程的近似解一、【教学目标】重点：掌握用“二分法”求方程的近似解的方法及步骤，进一步体会函数零点与方程实数解之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点:对二分法概念的理解，精确度的理解，用二分法求函数零点近似值的步骤的归纳概括．知识点：1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法；2．借助计算器用二分法求方程的近似解的步骤．能力点：数形结合的能力，类比推理能力．教育点：通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识；训练点：1．判断可用二分法求近似解（零点）的方程（函数）类型；2．在给定精确度的前提下用二分法求方程的近似解．考试点：用二分法求方程的近似解．拓展点：二分法在实际生活中的应用．二、【引入新课】“欢乐购物街，猜猜乐翻天“，中央电视台财经频道的《购物街》节目大家都看过吧？喜欢这个节目吗？千元商品，猜对了就是你的，想想就让人兴奋．同学们想不想体验一下这种感觉？这节课就让我一起玩这个游戏好不好？（展示课件的游戏系统）结束不成功“高了结束不成功“高了”“低了”成功确定范围猜中间价数学植根于现实生活，数学服务于现实生活．【设计意图】通过现实生活中的问题进行引入，引起学生的兴趣，同时通过这个实际问题，让学生体会“二分法”的过程和步骤．三、【探究新知】分析游戏的过程，得到一个游戏流程图，为二分法的步骤做准备．同时提出以下问题：第一次猜价的范围是什么？有什么技巧，使你能在较少的次数内猜对价格？你认为系统会依据什么判断是否“成功”？游戏中的什么信息是你重新确定范围并做猜测的依据？引导学生回答以上问题，使其形成以下认识：①可以通过试探，把价格所在范围逐步缩小，最终达到目的；②缩小范围的方法，最好采用取“中间价格”的方法；③游戏不是无限次进行下去的，当猜测的误差小于10时，游戏停止．【设计意图】问题分析的过程，体现出建立数学模型的思想，与本章内容相吻合．让学生自主探究，有助于发挥学生学习的主动性，体现学习过程中学生的主体地位；通过教师的指导点拨，使学生对问题的认识更清晰，体现教师的主导作用．提出问题:求出函数QUOTEfx=lnx+2x-6f在上节课中我们知道该函数有唯一零点，那如何才能求出该零点呢？（类比猜价格游戏，通过课件展示二分法求解的过程）学生通过交流探讨,大致形成以下认识:通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围．(也有同学可能提到取三等分点或四等分点等,教师可适当加以说明和引导:取三等分点或四等分点等带有偶然性,有可能较快得到满足要求的近似解,也有可能较慢．“取中点”是一种比较稳妥的方式．)【设计意图】引发学生思考缩小区间并进一步得到方程近似解的具体做法，明确区间长度与精确度的关系，初步形成“二分法”求解的步骤．引导学生分析理解求函数零点近似值的步骤:步骤一：判断函数在区间内存在唯一的零点．步骤二：取区间的中点，用计算器算得．由，得知，所以零点在区间内．步骤三：取区间的中点，用计算器算得．由，得知，所以零点在区间内．步骤四：取区间的中点，用计算器算得．由，得知，所以零点在区间内．步骤五：取区间的中点，用计算器算得．由，得知，所以零点在区间内．…………经过这几步之后，零点所在的范围逐渐缩小，这样我们一定能得到一定的误差范围内的近似解，这里的“一定的误差范围”即是“精确度”．只要零点所在区间的长度小于精确度即可．精确度一般用表示．在如果精确度，则在上面进行完步骤五后，此时由于,所以可以取区间内的任意一个实数作为函数的零点的近似值．也可以取区间的端点（）作为函数的零点的近似值．即可以取闭区间中的任意一个实数作为函数的零点的近似值，为了方便，我们一般取区间端点的实数作为方程的近似解．下表体现了用这种方法求方程的近似解的过程：区间区间中点的值中点函数近似值区间长度（2,3）2．5-0．0841（2．5，3）2．750．5120．5（2．5，2．75）2．6250．2150．25（2．5，2．625）2．56250．0660．125（2．5，2．5625）2．53125-0．0090．0625（2．53125，2．5625）2．5468750．0290．03125（2．53125，2．546875）2．53906250．0100．015625（2．53125，2．5390625）2．535156250．0010．0078125问题：对于其他函数（方程），如果存在零点（实数解），是不是也可以用这种方法去求它的零点（近似解）呢？引入二分法概念：对于在区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注：应用二分法的前提是零点的存在性定理,只适合求变号零点，即：在区间上连续不断且满足的．四、【理解新知】1．类比“猜商品价格”与“求函数零点的近似值”，将猜价格游戏的一些具体环节类比到求函数零点近似值问题上来，让学生更加直观、清晰的得到二分法的步骤：给学生4分钟合作研讨的时间，由学生类比归纳出用二分法求函数（方程）的零点（实数解）的近似值的一般方法：用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：1．确定区间，验证，给定精确度；2．求区间的中点；3．计算；（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．4．判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或）；否则重复2～4．最后可以用“①定②求③算④判”简单概括．【设计意图】1．进一步理解用二分法求函数（方程）的零点（实数解）的近似值的思想方法．锻炼学生的类比推理能力．2．用二分法求函数（方程）的零点（实数解）的近似值，一般情况下需要多次重复相同的步骤：“求区间中点→计算区间中点函数值→判断零点（实数解）所在区间”，这种重复当区间中点函数值等于0或者满足精确度要求时结束．五、【运用新知】例2．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度0．1）．解：原方程即，令，用计算器或计算机作出函数的对应值表与图象．观察图或表可知，说明这个函数在区间内有零点．取区间的中点，用计算器算得．因为，所以．再取区间的中点，用计算器算得．因为，所以．同理可得，，．由于，所以，原方程的近似解可取为（或）．【设计意图】进一步理解函数的零点与方程的解之间的关系，让学生形成用函数的方式解决问题．进一步理想二分法的思想和步骤．练习1下列函数中不能用二分法求函数零点的近似解的是（）ABCD答案:C【点拨】：判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是零点的存在性定理:在区间上连续不断且满足的函数，故答案为C．【设计意图】本题考查二分法的定义，按定义，只有在上连续不断且满足，才能不断地把函数的零点所在的区间一分为二，进而求出函数的零点．例2．在用二分法求图象连续不断的函数在内零点近似值的过程中得到,,,则函数的零点落在区间（）．A．

B．C．D．不能确定解：．又的图象连续不断，在区间内存在零点．故答案为B．【设计意图】：利用二分法求方程的近似解的依据是零点的存在性定理:函数在上连续不断且满足，才能不断地把函数的零点所在的区间一分为二，进而求出函数的零点．变式练习：用二分法研究函数的零点时，第一次经计算可得其中一个零点第二次应计算____________．答案：（0,0．5），．六、【课堂小结】知识层面：1．二分法求函数零点近似值的步骤定②求③算④判2．能用二分法求函数QUOTEy=f(x)y=f(x)零点的条件①在区间QUOTE[a,b][a,b]上连续不断②QUOTEfafb<0f3．求方程QUOTEfx=0fx=0方程QUOTEfx=0fx=0近似解QUOTEQUOTEy=f(x)y=f(x)零点近似值思想方法层面：类比的方法与思想类比“猜商品价格”的步骤，得到“用二分法求函数（方程）的零点（实数解）的近似值”的步骤．数形结合思想结合函数的对应值表和函数图象，发现函数零点所在的区间．转化的思想将求方程近似解的问题转化为求函数零点近似值的问题．七、【布置作业】1．探究(1)二分法等分区间的次数与精确度QUOTEε的关系．(2)调查生活中的一些实际问题，如电线线路检修、下水道堵塞处的查找等的处理方法，考虑与二分法求函数零点有何相似之处？2．书面作业课本P91练习1．2．课下练习:P92习题3．1A组（必做）B组（选做）2．课外阅读:P91-92中外历史上的方程求解．八、【教后反思】二分法是求方程近似解的一种方法．引入二分法的主要目的是加强函数与方程的联系，二分法中逼近思想和算法思想非常明确．如何安排本节的教学过程？如何达到良好教学效果？如何利用现有的素材？等等问题一直围绕着我．本节课在教授之前，下了很大功夫，试图让学生能够更加轻松、更加深刻的掌握知识点．但教授之后，也发现了一些问题．下边把本节课的优缺点总结如下：优点：多媒体的使用效果比较明显．《欢乐购物节》游戏的设置，让学生能够亲自操作，参与其中，比单纯看电视录像更能让学生体会深刻．引例中，flash演示求函数零点过程，学生总结求解过程变得轻松．例题2中，设计的求函数值的程序，弥补了传统方法的不足，更直观，学生的参与度更高；设计上，各个环节比较完整，且前后呼应．题目设计难度适中，时间把握合理．缺点：部分环节，老师讲解过多，语言不够简练，还可以再加工；例题2，如果能让学生自己操作完成，可能效果更好．但由于课堂时间有限，没放开给学生；课上练习1，部分学生没能理解，应该在之前再加引导．九、【板书设计】3．1．2用二分法求方程的近似解二分法的定义用二分法求一般的函数的零点近似值的步骤引例例2小结：作业：学情分析学生在学习本节内容之前已经学习了“方程的根与函数的零点”，理解函数的零点与方程的根的关系，并具有一定的数形结合思想，这些成为本节知识学习的生长点，在用二分法求近似解的步骤中又渗透着算法思想，为今后的算法内容学习埋下伏笔。但是学生对动态与静态的认识薄弱，对于函数与方程的联系缺乏一定的认识，这些都给学生在缩小零点所在区间的过程造成一定的难度。因此在教学中应该多给学生动手的机会，给学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察，计算，思考和总结，使他们理解问题背后的本质从而得出结论学生在学习本节内容的时候可能会对二分法的本质理解不够透彻，特别是在“循环迭代与替换区间端点”这一环节的理解上相对比较困难，对精确的理解比较困难。同时在运算过程中，数值较繁琐，这些都使学生对本节的学习与理解产生较大的阻碍，在课前应给学生提前预习，以做好思想准备。

效果分析学生通过自己参与《猜猜乐翻天》的游戏，直观体会出“二分法”的核心思想，并提升学习的兴趣；通过flash课件，演示求函数QUOTEfx=lnx+2x-6f配合《函数计算器》完成例题2，让学生能够进一步体会二分法的思想，明确二分法求方程近似解的步骤，进一步巩固理解方程解和函数零点的关系；教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二块内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

本节内容是课标教材中新增的内容。在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。

评测练习(C)(B)(A)1、下列函数中能用二分法求零点的是（）.(C)(B)(A)·y·yxxoo(D)(D)2、用二分法求图象是连续不断的函数在∈(0,4)内零点近似值的过程中得到,,，,则函数的零点落在区间（）(A)（0,1）

(B)（1,2）(C)（2,3）(D)（3,4）3、用二分法求方程在区间（0,2）内的近似解时，若要求精确度为0.1，则最多需要将区间（0,2）平分几次？4、借助计算器或计算机，用二分法求方程在区间（2，3）内的近似解（精确度0.1）.课后反思本节课在教授之前，下了很大功夫，试图让学生能够更加轻松、更加深刻的掌握知识点。但教授之后，也发现了一些问题。下边把本节课的优缺点总结如下：优点：多媒体的使用效果比较明显。《欢乐购物节》游戏的设置，让学生能够亲自操作，参与其中，比单纯看电视录像更能让学生体会深刻。引例中，flash演示求函数零点过程，学生总结求解过程变得轻松。例题2中，设计的求函