2022年江西省吉安市吉水第二中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022年江西省吉安市吉水第二中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象过点（0，），则f（x）的图象的一个对称中心是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0） C．（，0） D．（，0）参考答案：B【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数图象可知A=2，由图象过点（0，），可得sinφ=，由|φ|＜，可解得φ，由2x+=kπ，k∈Z可解得f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z，对比选项即可得解．【解答】解：由函数图象可知：A=2，由于图象过点（0，），可得：2sinφ=，即sinφ=，由于|φ|＜，解得：φ=，即有：f（x）=2sin（2x+）．由2x+=kπ，k∈Z可解得：x=，k∈Z，故f（x）的图象的对称中心是：（，0），k∈Z当k=0时，f（x）的图象的对称中心是：（，0），故选：B．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，正弦函数的对称性，属于中档题．2.已知第Ⅰ象限的点在直线上，则的最小值为A.

B.

C.

D.参考答案：A本题不难转化为“已知，求的最小值”，运用均值不等式求最值五个技巧中的“常数的活用”不难求解。其求解过程如下

(当且仅当时取等号)3.函数y=x+cosx的大致图象是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．4.已知数列是公比为的等比数列，是公差为的等差数列，其首项分别为和，且，且和都是正整数，则数列的前项和为

(

)

参考答案：A5.(07年全国卷Ⅱ理)已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(A)3

(B)

2

(C)1

(D)

参考答案：答案：A解析：已知曲线的一条切线的斜率为，=，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A。6.若则下列不等式：（1）a+b＜a?b；（2）|a|＞|b|（3）a＜b中，正确的不等式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个参考答案：A【考点】不等式的基本性质．【分析】由，可得b＜a＜0．利用不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴b＜a＜0．则下列不等式：（1）a+b＜0＜a?b，正确；（2）|a|＞|b|，不正确；（3）a＜b不正确．故正确的不等式只有1个．故选：A．7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C则球心到各面的距离为，则，即，解得，即内切球的表面积为；故选C．考点：1.三视图；2.球和多面体的组合．8.将函数y＝sin(x＋)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，所得到的图象解析式是（）A．

B．C．D．参考答案：A9.已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于x轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则p的值为（

）A. B.1 C.2 D.4参考答案：C【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。注意到，然后结合三角形的面积来列出方程解出.【详解】过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，，因此DE=AH=CG=AF，由，，得又，则，，可得，又因，所以EF=2，因为EF正好是焦点到准线的距离，即.故选C.【点睛】本题考查了抛物线的性质和利用三角形剖分和切补来计算其面积，是一道有难度的综合题.10.已知在R上是奇函数，且

A.-2

B.2

C.-98

D.98参考答案：【标准答案】A【试题解析】由题意可知函数是周期为4的奇函数,所以,所以选A.【高考考点】考查函数的基本性质:周期性与奇偶性.【易错提醒】没有发现周期性.【备考提示】函数的本质在于把握函数的性质.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；可以推测，1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=

．参考答案：n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）【考点】F1：归纳推理．【分析】根据已知中的等式，分析出第K个等式右边系数和因式个数的变化规律，归纳可得答案．【解答】解：根据已知中的等式：l+2+3+…+n=n（n+l）；l+3+6+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+…n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；归纳可得：第K个等式右边系数的分母是K!，后面依次是从n开始的K个连续整数的积，故1+5+15+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），（n∈N*）【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12.已知正三棱锥A-BCD每个顶点都在球O的球面上，球心O在正三棱锥的内部．球的半径为R，且．若过A作球O的截面，所得圆周长的最大值是8π，则该三棱锥的侧面积为_______．参考答案：【分析】依题意，该球的大圆的周长为8π，可得R＝4，BC=6．设底面BCD的中心为E，连接BE并延长交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中应用勾股定理得到OE．可得三棱锥的高AE＝AO+OE．所以由勾股定理得到三棱锥的斜高AF．求侧面积即可．【详解】依题意，该球的大圆的周长为8π，所以2πR＝8π，得R＝4，如图，正三棱锥A﹣BCD中，设底面三角形BCD的中心为E，则AE⊥平面BCD，设F为CD的中点，连接BF，AF，则E是BF的三等分点，且AF是三棱锥的侧面ACD的斜高．根据正三棱锥的对称性，球心O在AE上．所以BC6．则BE2．EF，又因为三角形OBE为直角三角形，所以OE2．所以三棱锥的高AE＝AO+OE＝4+2＝6．所以三棱锥的斜高AF．该三棱锥的侧面积为S侧＝339．故填：．【点睛】本题考查了正三棱锥的结构特征，正三棱锥的外接球，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．13.设函数，给出四个命题：①时，有成立；②﹥0时，函数只有一个零点；③的图象关于点（0,c）对称；④函数至多有两个不同零点。上述四个命题中所有正确的命题序号是

。参考答案：①②③14.设sin则sin等于

参考答案：.

略15.算法流程图如图所示，则输出的值是

.参考答案：5【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.【试题分析】执行第一次，，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，满足判断条件，输出k，故答案为5.16.如图，如果执行右面的程序框图，输入正整数，满足，那么输出的等于

。参考答案：17.已知函数f（x）=ln（﹣x）（其中e为自然数对数的底数），则f（tan）+2f（tanπ）+f（tan）=_________．参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。(I)求的单调区间和极大值；(II)证明对任意不等式恒成立。参考答案：解析：(I)解：由奇函数定义，应有。即

因此，

由条件

为的极值，必有故

解得

因此，

当

时，，故在单调区间上是增函数。当

时，，故在单调区间上是减函数。当

时，，故在单调区间上是增函数。所以，在处取得极大值，极大值为(II)解：由(I)知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意恒有

19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥面.（1）求证：DE⊥平面PAE；（2）求三棱锥的体积.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意得为正三角形，所以，结合余弦定理，可得，，即，又根据线面垂直的性质定理可得，再根据线面垂直的判断定理，即可得证。（2）由题意得，代入数据，即可求解。【详解】（1），，，又，为正三角形，又，，由余弦定理可知，，根据勾股定理可知.又，，.（2），，即三菱锥的体积为.【点睛】本题考查空间几何元素垂直关系的证明，考查空间几何体体积的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握程度，属基础题。20.设是矩阵的一个特征向量，求实数a的值．参考答案：【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】利用特征向量的定义，建立方程，即可求实数a的值．【解答】解：设是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则，…5分故解得…10分．20.（本小题满分13分）椭圆C:=1(a>b>0)的离心率，a+b=3.(1)

球椭圆C的方程；(2)

如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m-k为定值。参考答案：

所以再由a+b=3得a=2,b=1,

①将①代入，解得又直线AD的方程为

②①与②联立解得由三点共线可角得所以MN的分斜率为m=，则（定值）

22.已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（1+sinA，cosA﹣sinA），且⊥．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求y=2sin2B+cos（﹣2B）取最大值时角B的大小．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）根据两向量的垂直，利用两向量的坐标求得（2﹣2sinA）（1+sinA）+（cosA+sinA）（cosA﹣sinA）=0，利用同角三角函数的基本关系整理求得cosA的值，进而求得A．（Ⅱ）根据A的值，求得B的范围，然后利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理后．利用B的范围和正弦函数的单调性求得函数的最大值，及此时B的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴（2﹣