江苏省连云港市灌南县汤沟中学2021年高三数学文期末试题含解析VIP

江苏省连云港市灌南县汤沟中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在空间中，a,b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是A.若a//,b//，则a//bB.若a,b,则a丄bC.若a//,a//b,则b//D.若//，a,则a//参考答案：D2.（改编）已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式可能是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.若函数f（x）为偶函数，且在（0，∞）内是增函数，又f（﹣2015）=0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2015或0＜x＜2015} B．{x|x＜﹣2015＜x＜0或x＞2015}C．{x|x＜﹣2015或x＞2015} D．{x|﹣2015＜x＜0或0＜x＜2015}参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件可得到f=0，f（x）在（﹣∞，0）内为减函数，从而解xf（x）＜0可得，，或，从而根据f（x）的单调性即可得出原不等式的解集．【解答】解：根据题意，f=0，f（x）在（﹣∞，0）内是减函数；∴由xf（x）＜0得：，或；即，或；∴0＜x＜2015，或x＜﹣2015；∴原不等式的解集为{x|x＜﹣2015，或0＜x＜2015}．故选A．4.已知函数是奇函数，则函数的图象为

（

）参考答案：5.已知钝角三角形ABC的最长边的长为2，其余两边长为

则集合所表示的平面图形的面积是

（

）A.2

B.

C.4

D.

参考答案：B略6.设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和=（

）

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C化简可得：，即，，，选C.7.已知复数f（n）=in（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是(

)A．4 B．3 C．2 D．无数参考答案：A【考点】虚数单位i及其性质；集合中元素个数的最值．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的幂运算，化简求解即可．【解答】解：复数f（n）=in（n∈N*），可得f（n）=，k∈Z．集合{z|z=f（n）}中元素的个数是4个．故选：A．【点评】本题考查复数单位的幂运算，基本知识的考查．8.若函数在上是单调函数，则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C9.是的（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A本题主要考查一元二次不等式的解法及充要条件的判断．难度较小．解不等式x2－1＞0，得x＜－1或x＞1，因此当x＜－1成立时，x2－1＞0成立，而当x＜－1或x＞1成立时，x＜－1不一定成立，故选A．10.已知为不相等的正实数，则三个数的大小顺序是

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为，设，若在数列{cn}中，对任意的恒成立，则实数k的取值范围是__________.参考答案：是与中最大值，单调递减，单调递增，故或 解得12.平面直角坐标系xOy内有点，，，，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________参考答案：.【分析】利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，，将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为1，高为2，因此，该几何体的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.13.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图像如图所示若函数有4个零点，则的取值范围为__________.参考答案：14.定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0＜x≤1时，f（x）=log3x，则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为．参考答案：30【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意求出函数周期，并求得方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．然后结合中点坐标公式求得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）=0，f（﹣x）=﹣f（x），又f（x）关于直线x=1对称，∴f（1+x）=f（1﹣x），可得f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（4+x）=﹣f（2+x）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．当0＜x≤1时，f（x）=log3x≤0，当﹣1≤x＜0时，0＜﹣x≤1，∴f（﹣x）=log3（﹣x），则f（x）=﹣log3（﹣x）≥0．=﹣＜0．∴方程的解在（0，2），（4，6），（8，10）上存在，并且每个区间上存在两个关于区间中间值对称的两解．则方程在区间（0，10）内所有的实根之和为2×1+2×5+2×9=30．故答案为：30．15.已知向量，满足，，，则

．参考答案：16.已知，且，那么取最小值时，

．参考答案：

17.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）

已知：函数，其中．（Ⅰ）若是的极值点，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）解：．

依题意，令，解得．

经检验，时，符合题意．

……4分

（Ⅱ）解：①当时，．

故的单调增区间是；单调减区间是．

…5分②当时，令，得，或．当时，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．

当时，的单调减区间是．

当时，，与的情况如下：↘↗↘所以，的单调增区间是；单调减区间是和．③当时，的单调增区间是；单调减区间是．

综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和．

……11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知时，在上单调递增，由，知不合题意．

当时，在的最大值是，由，知不合题意．

当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意．

所以，在上的最大值是时，的取值范围是．…………14分19.(12分)已知函数(a>0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1。(1)用a表示出b、c;(2)若在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围;(3)证明:。参考答案：（Ⅰ）(2)[，+∞)(3)略【知识点】导数的应用B12（Ⅰ）f′(x)=a-，则有得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=ax++1-2a，

令g（x）=f（x）-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞）

则g（1）=0，g′(x)=a--==（i）当0＜a＜，＞1若1＜x＜，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，

所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．

（ii）a≥时，≤1若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx综上所述，所求a的取值范围为[，+∞)(3)由（2）知a时，有f(x)lnx(x1)令a=,则f(x)=(x-)lnx,当x>1时，总有(x-)lnx令x=,则ln<(-)=(+)Ln(k+1)+lnk<(+),k=1,2…..,n将上述n个不等式累加得ln(n+1)<+(++….+)+整理得【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；

（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax++1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．(3)利用累加证明结果。20.【本题16分】有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n),a(2,n),a(3,n),···,a(n,n)成等差数列．

（1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1,p2是m的多项式），并求p1＋p2的值；

（2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn；

（3）设N是不超过20的正整数，当n＞N时，对于（1）中的Sn，求使得不等式(Sn－6)＞dn成立的所有N的值．参考答案：（1）由题意知a(m,n)＝1＋(n－1)dm．

∴a(2,n)－a(1,n)＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)(d2－d1)，

同理，a(3,n)－a(2,n)＝(n－1)(d3－d2)，

a(4,n)－a(3,n)＝(n－1)(d4－d3)，…，

a(n,n)－a(n－1,n)＝(n－1)(dn－dn－1)．

又∵a(1,n),a(2,n),a(3,n),···,a(n,n)成等差数列，

∴a(2,n)－a(1,n)＝a(3,n)－a(2,n)＝···＝a(n,n)－a(n－1,n)

故d2－d1＝d3－d2＝···＝dn－dn－1，即{dn}是公差为d2－d1的等差数列.

∴dm＝d1＋(m－1)(d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2

令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1,p2是m的多项式）

此时p1＋p2＝1. ························4￠

（2）当d1＝1,d2＝3时，dm＝2m－1

数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…

按分组规律，第m组中有2m－1个奇数，

∴第1组到第m组共有1＋3＋5＋···＋(2m－1)＝m2个奇数.

∵前k个奇数的和为1＋3＋5＋···＋(2k－1)＝k2，∴前m2个奇数的和为m4.

∴(cm)4＝m4，∵cm＞0∴cm＝m，∴2cm·dm＝(2m－1)·2m ························6￠

∴Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋···＋(2n－3)·2n?1＋(2n－1)·2n．

2Sn＝

1·22＋3·23＋···＋(2n－5)·2n?1＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n+1．

相减得：－Sn＝2＋2·22＋2·23＋···＋2·2n?1＋2·2n－(2n－1)·2n+1．

＝2×(2＋22＋23＋···＋2n)－2－(2n－1)·2n+1．

＝2×2(2n－1)－2－(2n－1)·2n+1＝(3－2n)·2n+1－6

∴Sn＝(2n－3)·2n+1＋6； ························10￠

（3）由（2）得dn＝2n－1,Sn＝(2n－3)·2n+1＋6.

故不等式(Sn－6)＞dn等价于(2n－3)·2n+1＞50(2n－1).

即f(n)＝(2n－3)·2n+1－50(2n－1)＝(2n－3)·(2n+1－50)－100.

当n＝1,2,3,4,5时，都有f(n)＜0，即(2n－3)·2n+1＜50(2n－1)

而f(6)＝9×(27－50)－100＝9×(128－50)－100＝602＞0

∵当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n)＞0.

∴当n≥6时，(2n－3)·2n+1＞50(2n－1)成立，即(Sn－6