吉林省长春市中国第一汽车集团第八中学高三数学理上学期期末试题含解析

吉林省长春市中国第一汽车集团第八中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数x，y满足：，则的最大值（

）A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：B

2.若2014=αk?5k+αk﹣1?5k﹣1+…+a1?51+a0?50，其中ak，ak﹣1，…，a0∈N，0＜ak＜5，0≤ak﹣1，ak﹣2，…，a1，a0＜5．现从a0，a1，…，ak中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，则点P落在椭圆+=1内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意结合进位制转化求得a0，a1，…，ak，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，3/5=0余3．∴2014=3?54+1?53+0?52+2?51+4?50．则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3．则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，共有52=25个点．其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个．∴点P落在椭圆+=1内的概率是．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题．3.函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致范围是（）A． B．（e，+∞） C．（1，2） D．（2，3）参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数在（0，+∞）上是连续函数，根据f（2）f（3）＜0，可得零点所在的大致区间．【解答】解：对于函数在（0，+∞）上是连续函数，由于f（2）=ln2﹣＜0，f（3）=ln3﹣＞0，故f（2）f（3）＜0，故函数的零点所在的大致区间是（2，3），故选D．4.已知，则（▲）

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.点M为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1的中点，若满足DM⊥BN，则动点M的轨迹的长度为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】LH：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】取BB1的中点H，连结CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，可得NB⊥面DCH，即动点M的轨迹就是平面DCH与内切球O的交线，求得截面圆的半径r=，动点M的轨迹的长度为截面圆的周长2πr【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O的半径R=，由题意，取BB1的中点H，连结CH，则CH⊥NB，DC⊥NB，∴NB⊥面DCH，∴动点M的轨迹就是平面DCH与内切球O的交线，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是2，∴O到平面DCH的距离为d=，截面圆的半径r=，动点M的轨迹的长度为截面圆的周长2πr=．故选：D6.设，若关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，则的最大值的取值范围为（

）A． B． C． D．

参考答案：D7.“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.

A．

B．

C．1

D．参考答案：答案：B9.设为向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C略10.已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为△的内心，若成立，则双曲线的离心率是

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}满足，则{an}的前40项和为．参考答案：420略12.已知角构成公差为的等差数列.若，则

参考答案：13.设直线,直线,若,则

,若,则

．参考答案：试题分析:因,故,即;若,则,故.故应填答案.考点：两直线平行与垂直条件的运用．14.已知等差数列满足，，，则的值为

参考答案：1015.如图，小林从位于街道处的家里出发，先到处的二表哥家拜年，再和二表哥一起到位于处的大表哥家拜年，则小林到大表哥家可以选择的最短路径的条数为

．参考答案：916.如右图，在直角梯形ABCD中，AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点是梯形内或边界上的一个动点，点N是DC边的中点，则的最大值是________.参考答案：617.（6分）（2015?嘉兴一模）在△ABC中，若∠A=120°，AB=1，BC=，=，则AC=；AD=．参考答案：3，【考点】：余弦定理；线段的定比分点．【专题】：解三角形．【分析】：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，代入解得b．利用余弦定理可得cosB=．由=，可得=．在△AB中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcosB即可得出．解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，∴，化为b2+b﹣12=0，解得b=3．cosB===．∵=，∴=．在△AB中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2﹣2AB?BDcosB=1+﹣=，解得AD=．故答案分别为：3；．【点评】：本题考查了余弦定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数。（Ⅰ）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；（Ⅱ）若，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方。ks5u参考答案：(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，………………1分

当a＝－1时，f′(x)＝x－

…………2分令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，

…………3分ks5u

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，

因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，…………

4分当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，……5分

则x＝1是f(x)极小值点，所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=

…………6分

(2)

证明

设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，

则F′(x)＝x＋－2x2＝，

…………9分当x>1时，F′(x)<0，

………

10分故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，………

11分

又F(1)＝－<0，………12分∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立.

因此，当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．…13分19.已知函数，其中.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）

参考答案：（Ⅰ）的单调递减区间是和，单调递增区间是；

（Ⅱ）；（Ⅲ）当时，最大值为，当时，的最大值为.

解析：（Ⅰ），（），

………1分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.……3分（Ⅱ）设切点坐标为，则

解得，.

…………6分

（Ⅲ），则，…………7分解，得，当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为.

…………8分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为.

…………9分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为，时，最大值为.

…………11分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.

……12分

略20.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且{an}、{bn}满足条件：S4=4a3-2，Tn=2bn-2．（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈N*，都有Sn≥S5成立，求a1的取值范围；（3）若a1=1，令Cn=anbn，求数列{cn}的前n项和．参考答案：（1）解：设等比数列{bn}的公比为q，由S4=4a3﹣2，得：

． （2）解：由公差d=1>0知数列{an}是递增数列

由Sn≥S5最小知S5是Sn的最小值

∴

即，解得：－5≤a1≤－4

∴a1的取值范围是[－5，－4]． 另解：由Sn≥S5最小知：S5是Sn的最小值

当时，Sn有最小值

又Sn的最小值是S5，∴

故－5≤a1≤－4

∴a1的取值范围是[－5，－4]． （3）解：a1=1时，an=1+（n﹣1）=n

当n=1时，b1=T1=2b1﹣2，解得b1=2

当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2）=2bn﹣2bn﹣1，化为bn=2bn﹣1．

∴数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴

∴

记数列{cn}的前n项和为Vn，则

∴

两式相减得：

∴．略21.若数列{an}中，a1=，an+1=an（Ⅰ）证明：{}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）若{an}的前n项和为Sn，求证Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等比关系的确定．【专题】证明题；转化思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由题意可得=?，结合等比数列的定义，即可得证，再由等比数列的通项公式即可求得{an}的通项公式；（Ⅱ）运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理可得Sn，再由不等式的性质即可得证．【解答】（Ⅰ）证明：a1=，an+1=an即有=?，则{}是首项为，公比为的等比数列，即有=（）n，即an=n?（）n；（Ⅱ）证明：{an}的前n项和为Sn，即有Sn=1?+2?（）2+3?（）3+…+n?（）n，Sn=1?（）2+2?（）3+3?（）4+…+n?（）n+1，两式相减可得，Sn=+（）2+（）3+…+（）n﹣n?（）n+1，=﹣n?（）n+1，化简可得Sn=﹣﹣＜．则Sn．【点评】本题考查等比数列的定义的运用，考查数列的通项公式的求法，同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及等比数列的求和公式的运用，属于中档题．22.

某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n