高中数学-平面向量基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思

“平面向量基本定理”教学设计教学设计教学主题《平面向量基本定理》（人教B版）一、教材分析本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第2节向量的分解与坐标运算的第一课时。向量是数学中重要的、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等级和度量问题.向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的得知，因此是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现.向量是重要的物理模型，在现实生活中有广泛的应用.与时俱进的审视，向量应该成为高中数学的基础知识.向量在三角函数和三角恒等变换之间，一方面学习向量需要三角函数作准备，另一方面是为了利用向量的数量积推导两角差的余弦公式.平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系，是平面向量坐标表示的依据，是进一步研究向量问题的基础，因而有很高的教学价值.教科书用具体例子引出定理，以培养学生的观察、抽象、概括能力.这是本节课的重点之一，对于定理的证明教科书作为选学内容出现，意图在于降低要求.但证明存在性、惟一性的方法则可介绍给学生.平面向量基本定理的应用则是本节课的第二个重点.教科书安排的例1、例2都要重视，特别是线段中点的向量表达式在解题中经常用到，因此可以结合几何模型，充分挖掘例题，进行适当变式训练，以加强对平面向量基本定理的应用理解.教学中要注意启发学生的积极主动性，减少例题的讲解，尽可能的让学生自主感知，积极探索，发现规律，解决问题,培养学生的数学思维品质.二、学生分析前面学生学习了向量的加法法则，而基本定理的本质是向量的分解，思维层面上与向量的加法是反向的，具有一定难度，但经过恰当设计有利因素如下：这是一节高一下学期的定理课.学生在高一上学期经历了函数和立体几何的学习，初步具备从直观感知上升到理论总结的抽象思维能力，而且有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.对定理中的关键词“任一”“惟一”“不共线”的归纳是本节课的难点，学生在高一上学期函数的学习后对“任一”、“惟一”不陌生，教师只需恰当设置问题，设置思维台阶，就可达到学生自主探究发现定理的目的.有平面几何知识为基础，对教材例题巩固练习，学生完全可以不通过老师的讲解独立完成，教师需要恰当的对两个例题展开变式训练，尤其是例2，数据设置由特殊值到一般参数，让学生经历观察---归纳猜想---证明的思维过程，符合学生的认知规律，能让学生感受研究数学的乐趣.三、教学目标①通过实例说出向量可以分解；②通过小组交流与合作，能由具体的向量分解式归纳总结出一般的向量可以分解；③能在几何画板的帮助下，发现分解式中系数的唯一性、向量的任意性及基底不唯一；④会利用平面向量基本定理写出向量在给定基底下的分解式，培养学生观察，归纳，总结的能力，体会有特殊到一般的思维方法.四、教学环境□简易多媒体教学环境□交互式多媒体教学环境√网络多媒体环境教学环境□移动学习□其他五、信息技术应用思路（突出三个方面：使用哪些技术？在哪些教学环节如何使用这些技术？使用这些技术的预期效果是？）200字在本节教学中主要利用PPT演示（平面向量基本定理）、实物投影展示学生研究结论、利用几何画板动态演示基于参数的向量分解。下列环节采用PPT动画演示：数轴下共线向量之间的可以相互表示；不能用单位向量表示与之不共线的向量；通过展示物理中斜坡上的物块受力分解图，得出结论可以用两个向量表示向量。下列环节采用实物投影展示：在坐标纸上，完成作图题:用表示向量，结果由组长汇总，由实物投影展示表示结果。下列环节采用几何画板动态演示：对于确定的两个向量，任意的向量都可以用其表示，教师演示基于参数的分解结果，学生能直观感知每个分解结果。学生代表演示任意向量的分解结果，发现得出平面向量基本定理。必要情况下，教师借助几何画板演示与两个基底向量共线等特殊情况下的向量表示，完成对平面向量基本的严谨性描述（补充关键词：两个不平行的向量、任一向量、唯一）六、教学流程设计（可加行）教学环节（如：导入、讲授、复习、训练、实验、研讨、探究、评价、建构）教师活动学生活动信息技术支持（资源、方法、手段等）创设情境引入课题问题1：平面内任一向量是否可以用线性表示？必要时分解为两个问题.问题①：你会用单位向量表示向量吗？问题②：你会用单位向量表示向量吗？GGF1F2学生分小组讨论时，教师引导思维受阻的小组结合物理实例说出向量可以分解.Ppt展示数轴上共线向量之间的表示物理中斜坡物体受力分析图动手实践形成定理问题2：在坐标纸上，完成作图题:用表示向量，（小组内每一位同学选定的应不相同）.问题3:从几组具体的运算结果可以得出该式子在形式上有什么规律？将其抽象出来可得出怎样的式子？问题4：借助几何画板观察思考：对于确定的，随着的变化，观察系数的变化，试说明向量与系数之间是什么关系？问题5：任取一对，能否表示任一向量？问题6：根据刚才的交流，进一步完善你的讨论结果.学生坐标纸上画图学生讨论小组派代表展示交流运算结果及归纳结果，其他学生进行评价。学生小组内讨论交流后派代表借助几何画板向同学交流展示讨论结果分小组讨论交流，互相研究，派代表交流，教师补充完善，得出平面向量基本定理，强调关键词并做标注）.实物投影展示：某一小组经过组长总结后的向量表示（4组表示结果）几何画板动态演示：对于确定的两个向量，任意的向量都可以用其表示，教师演示基于参数的分解结果，学生能直观感知每个分解结果。学生代表演示任意向量的分解结果，发现得出平面向量基本定理。必要情况下，教师借助几何画板演示与两个基底向量共线等特殊情况下的向量表示，完成对平面向量基本的严谨性描述（补充关键词：两个不平行的向量、任一向量、唯一）深化定理初步应用例1：已知平行四边形的两条对角线相交于点M，设（1）试用基底.（2）例题变式：在图中任取一组基底表示其他向量.例2：已知平行四边形的两条对角线相交于M，若，试用基底表示；P求证:对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为.P例1（1）学生板演，学生评价，例1变式要求小组间展示交流例2学生板演后，学生评价，优化解题步骤.几何画板做出结果验证。评价检测查漏补缺已知平行四边形的两条对角线相交于点M，若，试用基底表示.PP课堂小结加深理解通过这节课，你学习了那些知识，技能和思想、方法？（学生归纳，老师补充）平面向量基本定理的理解（基础知识）平面向量基本定理的应用（基本技能）平面向量基本定理的本质：将对所有向量的研究转化为对基底的研究，即化多个变量为双变量问题，体现转化化归的思想方法.通过小结使本节课的知识系统化，使学生理解数学思想方法的重要性，养成认真总结的学习习惯.Ppt展示小结课后作业巩固提高巩固题：课本98页4、5,127页自测与评估1创新题：1.已知平行四边形的两条对角线相交于，是面内任意一点，求证：.针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高.七、教学特色（如为个性化教学所做的调整，为自主学习所做的支持、对学生能力的培养的设计，教与学方式的创新等）200字左右新课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化.因此，教学评价既要重视结果，也要重视过程.结合本节课的特点，我的教学特色有以下几点：在定理的发现过程中，小组成员对特殊的向量进行分解后总结出一般向量分解的形式，着重关注学生的类比、归纳等合情推理思维的培养；在对定理的理解过程中，运用几何画板的动态演示表达定理的内容，做到借助直观展示上升到抽象严谨的结论归纳，突破难点的同时提高了学习效率;3.对例题充分变式，挖掘例题的最大功效,让学生经历由特殊到一般的思维过程，收获了研究数学的喜悦.“双曲线及其标准方程”学情分析前面学生学习了向量的加法法则，而基本定理的本质是向量的分解，在思维层面上与向量的加法是反向的，具有一定难度，但经过恰当设计有利因素如下：这是一节高一下学期的定理课.学生在高一上学期经历了函数和立体几何的学习，初步具备从直观感知上升到理论总结的抽象思维能力，而且有物理中力和速度能合成与分解的学习认知做基础，能根据一组向量的分解式概括平面向量基本定理，即向量可以分解.对定理中的关键词“任一”“惟一”“不共线”的归纳是本节课的难点，学生在高一上学期函数的学习后对“任一”、“惟一”不陌生，教师只需恰当设置问题，设置思维台阶，就可达到学生自主探究发现定理的目的.有平面几何知识为基础，对教材例题巩固练习，学生完全可以不通过老师的讲解独立完成，教师需要恰当的对两个例题展开变式训练，尤其是例2，数据设置由特殊值到一般参数，让学生经历观察---归纳猜想---证明的思维过程，符合学生的认知规律，能让学生感受研究数学的乐趣.“平面向量基本定理”评测练习效果分析【课堂练习】例1已知平行四边形的两条对角线相交于点M，设（1）试用基底.（2）例题变式：在图中任取一组基底表示某一向量.PP例2已知平行四边形的两条对角线相交于M，若，试用基底表示；求证:对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为.P当堂检测已知平行四边形的两条对角线相交于点M，若，试用基底表示.P【课堂练习效果分析】例1（1）绝大多数学生在系统学习了向量的加法、减法、数乘向量的基础上，能够表示平面内任一向量；对于第（2）问，在原有例题的基础上设置开放式问题，学生可自行选取基底表示任一向量，大多数学生会选取例如、仅有少数人选取，利用这组基底分解向量相对前者复杂.通过组间交流展示例1的变式，学生在实例中进一步体会了平面向量基本定理中的关键词：“任一”例2（1）为了方便学生理解直线的向量参数方程式，将教材中的例2在例1的基础上铺垫变式，更充分的利用平行四边形这一重要模型,因而绝大部分学生能够熟练准确的做出第（1）问.第（2）问在第（1）问的基础上由特殊到一般，符合学生的认知规律，有效的降低了例2直线方程参数方程式的抽象程度，大部分学生能够经历由特殊到一般的思维过程，得出直线的向量参数方程式，但对于反之，根据方程证明三点共线则有一定难度，因而由于时间的安排，作为思考题让学生课后探究完成.【课后练习】1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③ D．②2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e23．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→)))B.eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)))C.eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→)))D.eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→)))4．若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A．b＋eq\f(1,2)aB．b－eq\f(1,2)aC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b5．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为()A．不共线B．共线C．相等 D．不能确定6．设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这平行四边形所在的平面的基底的是（）（1）与；（2）与；（3）与；（4）与；A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（3）（4）7．在矩形ABCD中，O为两对角线交点，若，，则（）A．B．C．D．8．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（）A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（）A．B．C．D．10．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a、b将eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(NP,\s\up6(→))、eq\o(PM,\s\up6(→))表示出来．11．如图所示，在▱ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点．已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→)).12．如图，△OAB，其中eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up15(→))与eq\o(BM,\s\up15(→))相交于P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up15(→)).13.已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数、，使向量与共线？【课后练习效果分析】作业分别考查三类问题：对平面向量基本定理的理解、平面向量的分解、直线的向量参数方程.注重考查学生的基础知识、基本技能，同时照顾不同学生的学习需要，设置一个选作题。其中，绝大多数学生能正确理解基本定理，即其中的第1，2,6题；重点考查平面向量的分解表示，有上两节课向量的加法、减法的学习，第3、4、7、11、12、13是向量分解的再次巩固练习，绝大部分学生能顺利准确的完成；课后练习的难点是直线的向量参数方程,即第12题，作业纸上标明此题是分层练习，学生选作，有一半的学生可以探究完成.“平面向量基本定理”教材分析本节内容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第2节向量的分解与坐标运算的第一课时。向量是数学中重要的、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等级和度量问题.向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的得知，因此是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现.向量是重要的物理模型，在现实生活中有广泛的应用.与时俱进的审视，向量应该成为高中数学的基础知识.向量在三角函数和三角恒等变换之间，一方面学习向量需要三角函数作准备，另一方面是为了利用向量的数量积推导两角差的余弦公式.平面向量基本定理揭示了平面向量的基本关系，是平面向量坐标表示的依据，是进一步研究向量问题的基础，因而有很高的教学价值.教科书用具体例子引出定理，以培养学生的观察、抽象、概括能力.这是本节课的重点之一，对于定理的证明教科书作为选学内容出现，意图在于降低要求.但证明存在性、惟一性的方法则可介绍给学生.平面向量基本定理的应用则是本节课的第二个重点.教科书安排的例1、例2都要重视，特别是线段中点的向量表达式在解题中经常用到，因此可以结合几何模型，充分挖掘例题，进行适当变式训练，以加强对平面向量基本定理的应用理解.教学中要注意启发学生的积极主动性，减少例题的讲解，尽可能的让学生自主感知，积极探索，发现规律，解决问题,培养学生的数学思维品质.“平面向量基本定理”评测练习【课堂练习与反馈】例1已知平行四边形的两条对角线相交于点M，设（1）试用基底.（2）例题变式：在图中任取一组基底表示其他向量.PP例2已知平行四边形的两条对角线相交于M，若，试用基底表示；求证:对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为.P当堂检测已知平行四边形的两条对角线相交于点M，若，试用基底表示.P【课后练习与反馈】一．选择题1．给出下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可为基底中的向量．其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③ D．②2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是()A．e1和e1＋e2B．e1－2e2和e2－2e1C．e1－2e2和4e2－2e1D．e1＋e2和e1－e23．在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→)))B.eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)))C.eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(AB,\s\up6(→)))D.eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→)))4．若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BE,\s\up6(→))等于()A．b＋eq\f(1,2)aB．b－eq\f(1,2)aC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b5．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1、e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为()A．不共线B．共线C．相等 D．不能确定6．设O点是平行四边形ABCD两条对角线的交点，下列向量组中可作为这平行四边形所在的平面的基底的是（）（1）与；（2）与；（3）与；（4）与；A．（1）（2）B．（1）（3）C．（1）（4）D．（3）（4）7．在矩形ABCD中，O为两对角线交点，若，，则（）A．B．C．D．8．已知向量，不共线，且，，，则一定共线的三点是（）A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D9．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则（）A．B．C．D．二．填空题1．当与平行时k的值是_______2．已知向量，不共线，实数满足，则_______________．三、解答题1．设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a、b将eq\o(MN,\s\up6(→))、eq\o(NP,\s\up6(→))、eq\o(PM,\s\up6(→))表示出来．2．如图所示，在▱ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点．已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AD,\s\up6(→)).3．如图，△OAB，其中eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OB,\s\up15(→))＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且eq\o(OM,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)a，eq\o(ON,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b，设eq\o(AN,\s\up15(→))与eq\o(BM,\s\up15(→))相交于P，用向量a，b表示eq\o(OP,\s\up15(→)).4、已知向量，，其中，不共线，向量，问是否存在这样的实数、，使向量与共线？“平面向量基本定理”课后反思本节课的教学设计的出发点是引导全体学生在学习的全过程中积极参与，在教师提出问题后能够在独立探究的基础上，各小组成员互相讨论，合作探究，发现解决问题的方法，尝试提出问题，体验数学问题发现、解决的思维活动过程。下面我就从我的各个环节环节上谈谈我的教学反思。一、可取之处：1.教学过程脉络清晰，通过问题引领，实现了知识结构与认知结构的和谐统一。这节课的教学，从平面向量共线定理的一维量化出发，到平面向量基本定理的二维量化，再到下一节课的基底的特殊化，进而得到向量的坐标表示，整体脉络清晰。这样设计不仅符合学生的认知规律，而且充分展现了数学结构体系的严谨性和逻辑性，有助于学生领会数学思维的方式和方法，提高学生数学学习的能力。“向量分解”是贯穿这节课的主线：从特殊向量在两个方向上的分解，到任意向量在两个方向上的分解，形成了平面向量基本定理。当然，下节课会由任意向量在两个特殊向量方向上的分解，有了向量的坐标表示，过程自然流畅。在探究定理的过程中，设计了三个问题逐步深入地展现思维过程，有利于学生的学习.2.恰当选择教学方式，合理使用信息技术，整体优化教学过程.这节课借助问题引领，综合运用了探究学习与合作学习的教学方式.在平面向量基本定理的教学中，结合教学目标以及学生的实际情况采用了小组合作学习与自主探究相结合的教学方式。对于问题１的处理，先由小组内每人任意选取方向、大小不同的向量进行分解，之后在组内交流，体验“将任意向量在两个方向上分解”的多种情形，并获得初步结论:.接着通过质疑：是否可以取到任意实数？让学生意识到实际操作的局限，借助几何画板课件来演示向量的任意情形，让学生直观感知对于平面内的任意向量都可以由线性表示。这样的设计，让学生自主探究、小组合作学习，不仅有利于培养学生观察发现的能力，也体现了信息技术的作用。使得平面向量基本定理易于学生接受，既突出了重点，也突破了这节课的难点.