固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型

MACROBUTTONMTEditEquationSection2SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h固体力学作业薄板的振动的固有频率与振型1、问题矩形薄板的参数如下求矩形薄板在（1）四边简支（2）四边固支条件下的固有频率和振型2、薄板振动微分方程薄板是满足一定假设的理想力学模型，一般根据实际的尺寸和受力特点来将某个实际问题简化为薄板模型，如厚度要比长、宽的尺寸小得的结构就可以采用薄板模型。薄板在上下表面之间存在一个对称平面，此平面称为中面，且假定：（1）板的材料由各向同性弹性材料组成；（2）振动时薄板的挠度要比它的厚度要小；（3）自由面上的应力为零；（4）原来与中面正交的横截面在变形后始终保持正交，即薄板在变形前中面的法线在变形后仍为中面的法线。为了建立应力、应变和位移之间的关系，取空间直角坐标Oxyz，且坐标原点及xOy坐标面皆放在板变形前的中面位置上，如REF_Ref420399910图1所示。设板上任意一点a的位置，将由变形前的坐标x、y、z来确定。图SEQ图\*ARABIC1薄板模型根据假定（2），板的横向变形和面内变形u、v是相互独立的。为此，其弯曲变形可由中面上各点的横向位移所决定。根据假定（4），剪切应变分量为零。由薄板经典理论，可以求得板上任意一点沿三个方向的位移分量的表达式分别为根据应变与位移的几何关系可以求出各点的三个主要是应变分量为 胡克定律，从而获得相对应的三个主要应力分量为： 现画薄板微元的受力图如REF_Ref420656647\h图2所示。REF_Ref420656647\h图2所示中分别为OB面、OC面上所受到的单位长度的弯矩、扭矩和横切剪力。弯矩和扭矩都用沿其轴的双剪头表示。Mx、My是由正应力σx、σx引起的合力矩。扭矩是由剪切力τxy引起的合力矩。图SEQ图\*ARABIC2薄板应力示意图p(x,y,t)=P(x,y)f(t)为具有变量分离形式的外载荷集度，沿z轴方向。应用动静法计算时，沿z轴负方向有一虚加惯性力，根据，，则有 整理后，可得 整理得到 由弯矩的计算公式 将式GOTOBUTTONZEqnNum585619REFZEqnNum585619\*Charformat\!(1.2)代入式GOTOBUTTONZEqnNum796045REFZEqnNum796045\*Charformat\!(1.8)，积分后得 再将式GOTOBUTTONZEqnNum129296REFZEqnNum129296\*Charformat\!(1.9)代入式GOTOBUTTONZEqnNum746102REFZEqnNum746102\*Charformat\!(1.5)，即可得到薄板微元的运动微分方程为 这是一个四阶的线性非齐次的偏微分方程。其中为薄板的抗弯刚度。3、矩形板横向振动微分方程的解矩形板的横向自由振动的微分方程为 或写成 其中设解的形式是时间变量和坐标变量可以分离的形式： 将式GOTOBUTTONZEqnNum444221REFZEqnNum444221\*Charformat\!(1.13)代入式GOTOBUTTONZEqnNum393257REFZEqnNum393257\*Charformat\!(1.12)）可得 再根据板的边界条件来求解固有频率，式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)可用分离变量法来求解。假定解具有如下形式：将上式代入式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)中，可得 上式可改写为 现讨论式GOTOBUTTONZEqnNum666410REFZEqnNum666410\*Charformat\!(1.17)中，首先要满足边界条件，设 根据上两式，有 则，故有 将上两式GOTOBUTTONZEqnNum696892REFZEqnNum696892\*Charformat\!(1.21)代入式GOTOBUTTONZEqnNum811783REFZEqnNum811783\*Charformat\!(1.19)第一式中，可写为 即有 于是变量得到了分离，要满足式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)的三角函数为 类似地也可得出另一个平行的能使分离变量的条件为 现设x方向板的长度为a，y方向板的长度为b，且当x=0和x=a边为简支，则满足此边界的条件，故式GOTOBUTTONZEqnNum118927REFZEqnNum118927\*Charformat\!(1.24)可写为 令 代入式GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)有 即为 上式的解为 式中再由y=0及y=b的边界条件，由式GOTOBUTTONZEqnNum849556REFZEqnNum849556\*Charformat\!(1.30)可求得(i=1,2,34)的齐次方程组，再令其系数行列式为零，可得到固有频率方程式，从而求出固有频率。四边简支矩形薄板的自由振动边界条件为 设则满足边界条件。将上式代入方程GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)，得将上式两边乘以并对整个面积进行积分得到：则得固有频率为 因此可得，四边简支矩形薄板在自由振动时的挠度函数为 将上述结果用MATLAB求出：表格SEQ表格\*ARABIC1简支的固有频率计算结果频率D11D12D21D22D13计算结果1110021347341554440138424仿真结果13951231353361045169.39451图SEQ图\*ARABIC3简支的模态Abaqus的计算结果：表格SEQ表格\*ARABIC2简支薄板各阶振型abaqus实体单元有限元仿真结果实体有限元模态频率D1113951D1223135.D2133610.D1339451D2245169.D1459868.4、固支边界条件振动微分方程的解四边固支矩形薄板的自由振动边界条件为 4.1正弦函数平方的逼近根据简支的启发，正弦函数的平方满足边界条件。所以设其是如下形式： 将上式带入方程GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)，整理可得 根据伽辽金法两边乘以并在整个区域内积分可得到 频率计算结果如REF_Ref420610225\h表格3，振型计算结果如REF_Ref420610254\h图4表格SEQ表格\*ARABIC3频率计算结果阶数D11D12D21D22D13角频率值21690.941032.573992.186763.578703.1图SEQ图\*ARABIC4用sin2x作为试函数求解的模态用abaqus有限元模拟上述结果对比，采用四边固支，固支单条边，网格为5层。结果如下REF_Ref420610517\h图5。实体单元模态频率D1120228.D1230990.D2148507.D1348872.D2258116.D1472983.图SEQ图\*ARABIC5模态然而上述的结果的差别很大，在第一阶很接近，但高阶就不在相近。计算值的振型和仿真值的模态一阶的图像是相同的，而用平方的三角函数的振型只有正值，与模拟的相差大。所以型函数的选取可能是上述计算值差别的原因。为解决平方的三角函数得到的模态和频率与有限元模拟的相差较大的缺陷，根据伽辽金法求解的特点，采取不同的试函数来求解方程。首先将试函数分成x的函数与y的函数乘积的形式。即 先单独分析的特点，并类推。试函数的特点是（1）满足边界条件；（2）一组函数序列之和，函数序列在函数空间中线性无关，且应收完备的函数族；（3）函数族尽可以用通式表达，以便于运算与求解，而且函数族中的每个函数都满足边界条件；（4）为了更方便的利用伽辽金法，函数应该是正交的，这样积分可以解决无穷项的难题。然而这样的函数族很难找到，下面分别从幂函数、三角函数等初等函数构造满足上述条件的函数来逼近振型。它们都有一定缺陷，其中幂函数的结果较好。4.2、用幂函数的逼近边界条件：满足上面边界条件的幂函数的常数项和一次项都为零，一般的可设 将第二个边界条件代入，为了一般性和便于区别，边长用表示： 整理写成矩阵形式求解得到根据线性方程解的线性无关性，可以得到 上述的幂函数都是满足边界条件，而且组成了n-1维函数空间的基底，即它们是线性无关的，且可以线性表示满足边界条件的所有幂函数。 由于上面的函数族满足边界条件，但并不正交，积分的时候很难分离。定义两个函数的内积为，于是可以构造一个函数内积空间，并根据Gram-Schmit正交化的方法，构造一系列的正交多项式，下面计算了前四项， 同理，满足边界条件的可以设成 按照上面同样的方法可有求得满足边界条件的函数族 并构造正交多项式于是设 将GOTOBUTTONZEqnNum867941REFZEqnNum867941\*Charformat\!(1.45)代入方程GOTOBUTTONZEqnNum784608REFZEqnNum784608\*Charformat\!(1.14)中，并用卡辽金法，