2020年九年级数学中考全真模拟题：《圆》(北京市专版)

必刷全真模拟题：《圆》(北京市专版)1．（2020•海淀区校级模拟）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∴∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等），∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA⋅ID＝IM⋅IN①如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对圆周角相等），∴△AIF∽△EDB．∴＝，∴IA•BD＝DE•IF②由（2）知：BD＝ID∴IA•ID＝DE•IF又∵DE•IF＝IM•IN∴2Rr＝（R+d）（R﹣d），∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（请利用图1证明）（3）应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．2．（2020•朝阳区校级模拟）如图，点O为∠ABC的边BC上的一点，过点O作OM⊥AB于点M，到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W．图形W与射线BC交于E，F两点（点E在点F的左侧）．（1）过点M作MH⊥BC于点H，如果BE＝2，sin∠ABC＝，求MH的长；（2）将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD，使得∠CBD+∠MOB＝90°，判断射线BD与图形W公共点的个数，并证明．3．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆心O的距离d，满足r，则称点P为⊙O的“随心点”．（1）当⊙O的半径r＝2时，A（3，0），B（0，4），C（﹣，2），D（，﹣）中，⊙O的“随心点”是；（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；（3）当⊙O的半径r＝2时，直线y＝﹣x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．4．（2020•北京模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．（1）当⊙O的半径为2时，①如果点A（0，1），B（3，4），那么d（A，⊙O）＝，d（B，⊙O）＝；②如果直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”，求b的取值范围；（2）⊙G的圆心G在x轴上，半径为1，直线y＝﹣x+5与x轴交于点C，与y轴交于点D，如果⊙G和∠CDO互为“可及图形”，直接写出圆心G的横坐标m的取值范围．5．（2020•丰台区模拟）如图，C是上的一定点，D是弦AB上的一定点，P是弦CB上的一动点，连接DP，将线段PD绕点P顺时针旋转90°得到线段PD′，射线PD′与交于点Q．已知BC＝6cm，设P，C两点间的距离为xcm，P，D两点间的距离为y1cm，P，Q两点间的距离为y2cm．小石根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm4.293.331.651.221.502.24y2/cm0.882.843.574.044.173.200.98（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数据所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接DQ，当△DPQ为等腰三角形时，PC的长度约为cm．（结果保留一位小数）6．（2020•丰台区模拟）如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC＝45°，交弦AB于点C．AB＝6cm．小元根据学习函数的经验，分别对线段AP，PC，AC的长度进行了测量．下面是小元的探究过程，请补充完整：（1）下表是点P是上的不同位置，画图、测量，得到线段AP，PC，AC长度的几组值，如表：AP/cm01.002.003.004.005.006.00PC/cm01.212.092.69m2.820AC/cm00.871.572.202.833.616.00①经测量m的值是（保留一位小数）．②在AP，PC，AC的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为cm（保留一位小数）．7．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．（1）如图1，已知点A（0，3），B（2，3）．①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是，最大值是；②在P1（），P2（1，4），P3（﹣3，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是（2）如图2，已知圆O的半径为1，点D的坐标为（5，0），若点E（x，2）在第一象限，且点D与点E是圆O的一对平衡点，求x的取值范围．（3）如图3，已知点H（﹣3，0），以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K，点C（a，b）（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC＝5，圆C是以点C为圆心，半径为2的圆，若弧HK上的任意两个点都是圆C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．8．（2020•朝阳区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH⊥AB于点H，连接BE（1）求证EH＝EC；（2）若AB＝4，sinA＝，求AD的长．9．（2020•西城区校级模拟）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．10．（2020•丰台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O是斜边AB上一定点，到点O的距离等于OB的所有点组成图形W，图形W与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，∠AED＝∠B．（1）判断图形W与AE所在直线的公共点个数，并证明．（2）若BC＝4，，求OB．11．（2020•朝阳区校级模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．BE平分∠ABC交AC于点D，交△ABC的外接圆于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F．请补全图形后完成下面的问题：（1）求证：EF是△ABC外接圆的切线；（2）若BC＝5，sin∠ABC＝，求EF的长．12．（2020•丰台区模拟）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O是BC的中点，到点O的距离等于BC的所有点组成的图形记为G，图形G与AB交于点D．（1）补全图形并求线段AD的长；（2）点E是线段AC上的一点，当点E在什么位置时，直线ED与图形G有且只有一个交点？请说明理由．13．（2019•海淀区校级一模）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上一点，∠CAB＝30°，D是直径AB上一动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与圆O的其中一个交点记为点E（点E位于直线CD上方或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm，小雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小雪的探究过程：x/cm0123456y1/cm5.24.43.63.02.72.7y2/cm5.24.64.24.85.66.0（1）按照下表中自变量x的值进行取点、面图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整：（保留一位小数）（2）在同一平面直角坐标系xOy中，y2的图象如图所示，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为cm．14．（2019•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy，对于点P（xp，yp）和图形G，设Q（xQ，yQ）是图形G上任意一点，|xp﹣xQ|的最小值叫点P和图形G的“水平距离”，|yp﹣yQ|的最小值叫点P和图形G的“竖直距离”，点P和图形G的“水平距离”与“竖直距离”的最大值叫做点P和图形G的“绝对距离”例如：点P（﹣2，3）和半径为1的⊙O，因为⊙O上任一点Q（xQ，yQ）满足﹣1≤xQ≤1，﹣1≤yQ≤1，点P和⊙O的“水平距离”为|﹣2﹣xQ|的最小值，即|﹣2﹣（﹣1）|＝1，点P和⊙O的“竖直距离”为|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|＝2，因为2＞1，所以点P和⊙O的“绝对距离”为2．已知⊙O半径为1，A（2，），B（4，1），C（4，3）（1）①直接写出点A和⊙O的“绝对距离”②已知D是△ABC边上一个动点，当点D与⊙O的“绝对距离”为2时，写出一个满足条件的点D的坐标；（2）已知E是△ABC边一个动点，直接写出点E与⊙O的“绝对距离”的最小值及相应的点E的坐标（3）已知P是⊙O上一个动点，△ABC沿直线AB平移过程中，直接写出点P与△ABC的“绝对距离”的最小值及相应的点P和点C的坐标．15．（2019•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P1关于y轴对称，点P1和点P2关于直线l对称，则称点P2是点P关于y轴，直线l的二次对称点．（1）如图1，点A（0，1）；①若点B是点A关于x轴，直线l1：x＝2的二次对称点，则点B的坐标为；②若点C（0，5）是点A关于x轴，直线l2：y＝a的二次对称点，则a的值为；③若点D（2，1）是点A关于x轴，直线l3的二次对称点，则直线l3的表达式为；（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M′是点M关于x轴，直线l4：x＝b的二次对称点，且点M′在射线y＝x（x≥0）上，b的取值范围是；（3）E（0，t）是y轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N′是点N关于y轴，直线l5：y＝x+1的二次对称点，且点N′在x轴上，求t的取值范围．

参考答案1．解：（1）∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d；（2）BD＝ID理由如下：如图1，连接BI，∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID（3）题干结论可得：d2＝R2﹣2Rr；将R＝6cm，r＝2cm代入得：d2＝62﹣2×6×2＝12，∵d＞0∴d＝2cm，故答案为：2．2．（1）解：∵到点O的距离等于线段OM的长的所有点组成图形W，∴图形W是以O为圆心，OM的长为半径的圆．根据题意补全图形：∵OM⊥AB于点M，∴∠BMO＝90°．在△BMO中，，∴BO＝．∵BE＝2，∴，解得：OM＝OE＝4．∴BO＝6．在Rt△△BOM中，BM2+OM2＝BO2，∴．∵∴，解得：．（2）解：1个．证明：过点O作ON⊥BD于点N，∵∠CBD+∠MOB＝90°，且∠ABC+∠MOB＝90°，∴∠CBD＝∠ABC．∴OM＝ON．∴BD为⊙O的切线．∴射线BD与图形W的公共点个数为1个．3．解：（1）∵⊙O的半径r＝2，∴＝3，＝1，∴1≤d≤3，∵A（3，0），∴OA＝3，在范围内∴点A是⊙O的“随心点”，∵B（0，4），∴OB＝4，而4＞3，不在范围内，∴B是不是⊙O的“随心点”，∵C（﹣，2），∴OC＝，在范围内，∴点C是⊙O的“随心点”，∵D（，﹣），∴OD＝＜1，不在范围内，∴点D不是⊙O的“随心点”，故答案为：A，C．（2）∵点E（4，3）是⊙O的“随心点”∴OE＝5，即d＝5若，∴r＝10，若＝5，∴，∴；（3）∵如图a∥b∥c∥d，⊙O的半径r＝2，随心点范围，∴1≤d≤3，∵直线MN的解析式为y＝x+b，∴OM＝ON，①点N在y轴正半轴时，当点M是⊙O的“随心点”，此时，点M（﹣1，0），将M（﹣1，0）代入直线MN的解析式y＝x+b中，解得，b＝1，即：b的最小值为1，过点O作OG⊥M'N'于G，当点G是⊙O的“随心点”时，此时OG＝3，在Rt△ON'G中，∠ON'G＝45°，∴GO＝3∴在Rt△GNN’中，NN'＝＝，b的最大值为3，∴1≤b≤3，②当点N在y轴负半轴时，同①的方法得出﹣3≤b≤﹣1．综上所述，b的取值范围是：1≤b≤3或﹣3≤b≤﹣1．4．解：（1）①如图1中，设⊙O交y轴于E，连接OB交⊙于F．由题意d（A，⊙O）＝AE＝1，d（B，⊙O）＝BF＝OB﹣OF＝5﹣2＝3．故答案为1，3．②如图2中，作OH⊥EF于H，交⊙O于G．当GH＝1时，OF＝OG+GH＝3，∵直线EF的解析式为y＝x+b，∴E（0，b），F（﹣b，0），∴OE＝OF＝b，∵OH⊥EF，∴HE＝HF，∵EF＝2OH＝6，∴b＝3，根据对称性可知当﹣3≤b≤3时，直线y＝x+b与⊙O互为“可及图形”．（2）如图3中，当⊙G在y轴的左侧，OG＝2时，GG（﹣2，0），当⊙G′在y轴的右侧，作G′H⊥CD于H，当HG′＝2时，∵直线y＝x﹣5交x轴于C，交y轴于D，∴C（5，0），D（0，5），∴OC＝OD＝5，∠OCD＝45°，∵∠CHG′＝90°，∴CH＝HG′＝2，∴CG′＝2，∴G′（5﹣2，0），当点G″在直线CD的右侧时，同法可得G″（5+2，0），观察图象可知满足条件的m的值为：﹣2≤m≤2或5﹣2≤m≤5+2．5．解：（1）观察图象发现规律可知：表格数据为：2.44；（2）如图所示：即为两个函数y1，y2的图象；（3）观察图象可知：两个图象的交点的横坐标即为△DPQ为等腰三角形时，PC的长度，两个交点的横坐标为1.3和5.7．故答案为：1.3或5.7．6．解：（1）①经测量：m＝3.0；②在AP，PC，AC的长度这三个量中，可以确定AP的长度是自变量，PC的长度和的AC长度都是这个自变量的函数；故答案为：AP，PC，AC；（答案不唯一）（2）设AP为x，AC为y1，PC为y2，通过描点，画出图象如图1所示：（答案不唯一，和（1）问相对应）；（3）①当AC＝PC时，即：y1＝y2，从图象可以看出：x＝4.2cm；②当AP＝PC时，画出函数：y＝x的图象，如图2所示：y＝x的图象与y1的交点处x的为2.3cm；∴当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为4.2cm或2.3cm．7．解：（1）①由题意知：OA＝3，OB＝＝，则d的最小值是3，最大值是；②根据平衡点的定义，点P1与点O是线段AB的一对平衡点，故答案为3，，P1．（2）如图2中，由题意点D到⊙O的最近距离是4，最远距离是6，∵点D与点E是⊙O的一对平衡点，此时需要满足E1到⊙O的最大距离是4，即OE1＝3，可得x＝＝，同理：当E2到⊙的最小距离为是6时，OE2＝7，此时x＝＝3，综上所述，满足条件的x的值为≤x≤3．（3）∵点C在以O为圆心5为半径的上半圆上运动，∴以C为圆心2为半径的圆刚好与弧相切，此时要想上任意两点都是圆C的平衡点，需要满足CK≤6，CH≤6，如图3﹣1中，当CK＝6时，作CM⊥HK于M．由题意：，解得：或（舍弃），如图3﹣3中，当CH＝6时，同法可得a＝，b＝，在两者中间时，a＝0，b＝5，观察图象可知：满足条件的b的值为≤b≤5．8．解：（1）如图，连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，且BC⊥AC，∴OE∥BC∴∠CBE＝∠OEB，∵EO＝OB，∴∠EBO＝∠OEB∴∠CBE＝∠EBO，且CE⊥BC，EH⊥AB，∴CE＝EH（2）∵sinA＝＝，∴设OE＝2a，AO＝3a，（a≠0）∴OB＝2a，∵AB＝AO+OB＝3a+2a＝4∴a＝∵AD＝AB﹣BD＝4﹣4a∴AD＝9．解：（1）连接OC．如图1所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝2∠1．又∵∠4＝2∠1，∴∠4＝∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴CF∥AD，∴∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sinF＝＝，∴AB＝BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴sinF＝＝，解得：OF＝5．10．解：（1）图形W与AE所在直线的公共点个数为1．理由：连接OE．∵BD是⊙O是直径，∴∠DEB＝90°，∴∠ABC+∠EDB＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠AED＝∠ABC，∴∠AED+∠OED＝90°，∴∠AEO＝90°，∴OE⊥AE，∴AE是⊙O的切线，∴图形W与AE所在直线的公共点个数为1．（2）在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，BC＝4，∴tanB＝＝，∴AC＝2，∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∴DE∥AC，∴∠CAE＝∠AED＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，∴AC2＝CE•CA，∴CE＝＝1，∴BE＝BC﹣EC＝3，∴tanB＝＝，∴DE＝，∴BD＝＝＝，∴OB＝BD＝．11．（1）证明：补全图形如图所示，∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的外接圆圆心O是斜边AB的中点．连接OE，∴OE＝OB．∴∠2＝∠3，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴OE∥BF．∵EF⊥BF，∴EF⊥OE，∴EF是△ABC外接圆的切线；（2）解：在Rt△ABC中，BC＝5，sin∠ABC＝，∴＝．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝12．∵∠ACF＝∠CFE＝∠FEH＝90°，∴四边形CFEH是矩形．∴EF＝HC，∠EHC＝90°．∴EF＝HC＝AC＝6．12．解：（1）如图所示，在Rt△ACB中，∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，∴AB＝5cm；连接CD，∵BC为直径，∴∠ADC＝∠BDC＝90°；∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴Rt△ADC∽Rt△ACB；∴＝，∴AD＝＝；（2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切；证明：连接OD，∵DE是Rt△ADC的中线；∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD；∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD；∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．13．解：（1）当x＝3时，∵AB＝6，AD＝3，∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形，∴CD＝DE＝3，∴y2＝3≈4.2，当x＝6时，点D与B重合，∴CD＝BC，∵∠CAB＝30°，∴CD＝BC＝AB＝3.0，故答案为：4.2，3.0．（2）函数图象如图所示：（3）当∠ECD＝60°时，在Rt△ECD中，∵∠EDC＝90°，∴∠CED＝30°，∴EC＝2CD，∴y2＝2y1，观察图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6.0cm．故答案为：4.5或6.0．14．解：（1）如图1中，①∵点A和⊙O的