水力学第三章

水力学第三章第一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三理想液体的元流能量方程

取1-1和2-2断面间的空间为控制体，应用动量方程来推导元流的能量方程。

第二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三控制体在s方向上的外力有1-1断面和2-2断面上的动水压力和重力分量;控制体受力分析

理想液体，在元流侧壁上没有摩擦力作用；第三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三1-1断面上动水压力

2-2断面上动水压力

重力分量

s方向的作用力

第四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三动量方程右端的非恒定项

动量方程右端的第二项通量项第五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三1-1断面流入的通量

2-2断面流出的通量

第六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三动量方程右端的第二项通量项第七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三微分形式的理想不可压缩液体元流能量方程第八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三非恒定元流能量方程的积分式对微分形式的能量方程沿s轴从s1积分到s2

—单位重量液体具有的位能；

—单位重量液体具有的压能；

—单位重量液体具有的动能；

—单位重量液体具有的惯性力；

第九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三

—单位重量液体的惯性力在ds距离上做的功；

—单位重量液体的惯性力在距离s=s2-s1上做的功。

第十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三伯努利方程意义：恒定流时，对于理想液体，在元流的任意两个过水断面1-1和2-2上，单位重量液体所具有的总机械能（位能、压能、动能之和）是相等的。第十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三实际液体的元流能量方程

实际液体总是具有粘性的，因此实际液体在运动时就会出现内摩擦力。内摩擦力的存在会产生机械能损失。

元流中单位重量液体由1－1断面运动到2－2断面时的能量损失,也称为水头损失

第十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.5.1试建立图中所示U形管中水面振荡方程。

假设U形管断面内流速分布均匀且管中液体为理想液体，没有水头损失。

第十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三取坐标轴z轴向上为正，静水水面为基准面。初始时刻左管水面下降-z时，则右管水面将上升z。

第十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三设t=0时2-2断面处

水面位移公式

水体振荡的周期

角频率

第十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§3-6实际液体恒定总流的能量方程

工程中的液体总是以总流的形式出现的，将元流的能量方程推广到总流。

重力作用下实际液体恒定元流的能量方程为

第十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三（1）假设在渐变流中取过水断面，则在断面A上的动水压强按静水压强规律分布，即常数。

第十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三（2）

α称为动能校正系数：在单位时间内实际流速计算的总流过水断面上的总动能与用断面平均流速计算的总流过水断面上的总动能之比。影响因素：与断面上的流速分布有关，流速分布愈均匀α值接近于1，α＝1.05～1.10，近似取α＝1。第十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三（3）将过水断面上各元流单位重量液体由1－1断面流到2－2断面的能量损失用某一平均值代替。

第十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三总流的能量方程z—总流过水断面上单位重量液体具有的平均位能，又称为位置水头；

—总流过水断面上单位重量液体具有的平均压能，又称为压强水头；

—总流过水断面上单位重量液体具有的平均势能，又称为测压管水头；

第二十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三—总流过水断面上单位重量液体具有的平均动能，又称为流速水头；

—总流过水断面上单位重量液体具有的总机械能，又称为总水头；

—总流单位重量液体由1－1断面到2－2断面时的平均能量损失，又称为水头损失。

第二十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三（一）总流能量方程与元流中的能量方程不同之处;（二）非恒定总流的能量方程讨论动能用断面平均流速v表示，能量损失采用平均值表示。

第二十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三3.6.2实际液体恒定总流能量方程的图示

理想液体恒定总流的能量方程可以表示为

实际液体恒定总流的能量方程可以表示为各项均具有长度量纲，可以用线段表示。各断面的(z+p/γ)的连线为测压管水头线。各断面(z+p/γ+αv2/2g)的连线称为总能线或者总水头线。第二十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三说明：

1.对于管路，一般取断面形心的位置水头z和压强水头p/γ为代表。

2.测压管水头线可以是上升的，也可以是下降的，可以是直线，也可以是曲线。这取决于边界的几何形状。第二十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三3.总水头线可以是直线，也可以是曲线，但总是下降的，因为实际液体流动时总是有水头损失的。而理想液体的总水头线时水平的。

第二十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三4.单位流程长度上总水头线的降低值称为水力坡度，记为J。

当总水头线为直线时

当总水头线为曲线时

第二十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三3.4某收缩管段长，管径D=30cm，d=15cm,通过的流量Q=0.3m3/s。若逐渐关闭阀门，使流量在30s内直线地减小到零，并假设断面上的流速均匀分布，试求阀门关闭到第20s时A、B点处的加速度和。

第二十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§3-7实际液体恒定总流能量方程的应用

应用条件:1.不可压缩液体；

2.质量力只有重力;

3.两个过水断面取在渐变流区，以确保z+p/γ＝常数，两个过水断面的中间可以是急变流。

第二十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三注意事项:基准面和压强标准可以任意选取，但是在同一个问题里要统一。计算点可以在过水断面上任意选取。选取已知量多的断面作为计算断面。当在能量方程式中同时出现两个未知量，如压强p和流速v时，可以借助连续方程式联解。在没有特殊说明时，可以取过水断面上的能量校正系数α＝1。第二十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三当管路分叉时，能量方程仍可用。能量方程的推广第三十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三当能量方程的两断面间有能量输入输出时能量方程也仍可应用。当有能量输入（如管路中有水泵），方程左端需加上水泵的水头H′,当有能量输出（如管路中有水轮机时），方程左端需减去水轮机的水头H′,这样左右两侧断面上的能量才能守恒。第三十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.7.1有一如图所示的管路向大气出流，已知：水头H=4m，管径d=200mm，管长l=60m，管路进口的局部水头损失,管路的沿程水头损失随管长直线增加，与管径成反比，即,其中λ称为沿程水头损失系数，λ=0.025，v为管中断面平均流速，管轴线与水平夹角θ=5°，试求：(1)管中通过的流量Q；(2)管路中点C的压强水头。第三十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(1)流量Q的计算

以过管路出口断面中心的水平面0-0为基准面，计算点分别取在水池水面上和出口断面中心第三十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(2)管路中点C的压强水头的计算

以0-0为基准面，写c-c与2-2断面的能量方程

第三十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.7.2如图所示的水泵管路系统。已知水泵管路中的流量Q=101m3/h,由水池水面到水塔水面的高差△z=102m,中间的水头损失hw1-2=25.4m,水泵的效率ηp＝75.5%，吸水管的直径ds=200mm,由水池至水泵前3-3断面的水头损失hw1-3=0.4m，水泵的允许真空度水柱hv=6m。试求：（1）水泵的安装高度;（2）水泵的扬程水头;（3）水泵的功率。

第三十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三水泵叶轮的旋转使水泵进口3-3断面处形成负压或真空，水池水面为大气压强，在两个断面压力差作用下，水池中的水被吸入水泵。又在旋转叶轮的离心力作用下，水体被压入压水管，进人水塔。水泵的工作原理第三十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三水泵的允许真空度hv、水泵的扬程水头Hp及水泵的功率Np。第三十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三以水池水面为基准，写1－1和3－3断面的能量方程

（1）安装高度hs

第三十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三（2）水泵的扬程水头Hp

以水池水面为基准，写1-1和2-2断面的能量方程

第三十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(3)水泵的功率Np

第四十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.7.3如图所示，有一矩形断面近似平底的渠道，已知底宽b=2m，渠道在某断面处有一上升坎，坎高P=0.5m，坎前渐变流断面处水深H=2m，坎后水面下降△h=0.3m,底坎处的局部水头损失为,v2为图中2－2断面的平均流速，试求该渠道中通过的流量Q。

第四十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三以渠底为基准面，写1－1和2－2断面的能量方程

第四十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.7.4试用能量方程式导出小孔口和管嘴的泄流量公式。

小孔口泄流：当d/H≤0.1时，可以认为出流断面上的流速与压强均匀分布。假设水箱较大，可以认为在孔口泄流时箱中水位不变，因此属于恒定流。

第四十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三以过孔口中心的水平面为基准面。选距孔口一定距离的上游断面作为1-1断面,水股最细断面c-c称为收缩断面。

第四十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三令

φ为流速系数，一般为0.97-0.98

设收缩断面的断面面积Ac与孔口的断面面积A之比定义为小孔口的收缩系数ε(0.63-0.64)令

为小孔口的流量系数，为0.60-0.62

小孔口泄流量公式第四十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三在小孔口处外接一个长度l=(3-4)d的短管，则在水头作用下形成的出流称为管嘴出流。

管嘴泄流

与孔口出流的区别：收缩断面处将产生真空现象第四十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三同孔口相比，管嘴出流的作用水头除了H0之外又增加了一个真空水头。与小孔口出流问题相同，仍写1-1和c-c断面的能量方程，同样可得管嘴的泄流量公式。

第四十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三管嘴的泄流量公式μ为小孔口的流量系数，取0.62。

取

管嘴的流量系数大于孔口的流量系数。在相同的条件下，管嘴的出流量约为孔口的1.32倍。第四十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三管嘴的工作条件管嘴的长度l=（3-4）d；要求管嘴的作用水头H0小于或者等于9m。如果管嘴太短，收缩断面后的水流来不及扩散成满管，外面的空气就会进入管嘴内部而破坏真空，结果起不到管嘴的作用;如果管嘴过长，收缩断面后的沿程水头损失不可忽略，这就变成管道问题了。

如果H0＞9m，收缩断面处负压过大，液体将会气化，结果反而破坏了真空现象。

第四十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.7.4试用能量方程导出用皮托管测量流速的公式和用文丘里管测量管中流量的公式。

皮托管:测定流动水流中点流速的一种仪器第五十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三对1、2点写能量方程，且基准面取在管道的轴线处，则得h1中不包含流速水头，直管称为静压管。

h2中包含静压和流速水头，弯管称为动压管或总压管。

第五十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三上述能量方程时没有考虑水头损失，因此由上式算得的流速称为理论流速。

实际流速，需在式中引入一个系数φ

φ称为流速系数，它表示实际流速与理论流速之比，由实验率定，一般取φ=0.98-1.00。第五十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三文丘里管:量测管道中流量的一种装置在管道和喉管处装上两根测压管（或者比压计），已知测压管中的水位差时，应用能量方程就可以计算出管道中通过的流量。

第五十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三选择水平面0-0为基准面，计算点选在1-1和2-2断面的中心。设1-1和2-2断面处的位置水头、压强和断面平均流速分别为z1、z2，p1、p2，v1、v2。

第五十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第五十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三1.当考虑水头损失时，应该在流量表达式中引入一个μ＝0.95-0.98的流量系数。μ表示实际流量与理论流量之比。2.当用水银比压计测定1－1、2－2断面间的测压管水头差时，式中的△h=12.6△hm,△hm为水银比压计中的水银柱高差。

第五十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三3-10如图所示为一装有文丘里流量计的输水管路，已知管径d1=10cm，文丘里管的喉部直径d2=5cm，水银比压计中的液面高差Δh=20cm，实测管中的流量Q实=60L/s，试求该文丘里流量计的流量系数μ值。第五十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§3-8恒定总流的动量方程

在工程实际中，常遇到求流动的水流对固体边界的作用力问题，此类问题用动量方程求解。

第五十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三动量方程

控制体形式的动量方程的一般形式为

对于恒定流，上式右端的非恒定项为零

上式说明：对于恒定流，作用在控制体上外力的向量和等于单位时间内通过控制体表面流出与流人控制体的动量之差。

第五十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三恒定总流动量方程

元流单位时间流出与流入的动量差为

总流单位时间内流出与流入的动量差为

引入动量校正系数α0，用v代替u。α0与断面上流速分布有关，约为1.02-1.05,简化取1.0。

第六十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三考虑到ρ=常数和连续方程

矢量形式的恒定总流动量方程分量形式

总流单位时间内流出与流入的动量差为

第六十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三应用动量方程注意事项

1.在渐变流断面间取控制体，便于用能量方程求压强p;2.压强标准可以采用相对压强或绝对压强，但是，采用相对压强更方便些；3.视方便选取座标轴方向，注意作用力及速度的正负号；第六十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三4.外力F应该包括作用在控制体上的所有质量力、表面力（主要指压力）和固体边界的反作用力。5.动量方程的右端项应为流出控制体的动量减去流入控制体的动量。6.当问题中所需要的流速和压强均未知时，需要与连续方程和能量方程联解。固体边界的反作用力的方向可以事先假设。解出为正时说明假设的反作用力方向与实际相符合，否则实际反作用力方向与假设方向相反。第六十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.8.1有一如图所示的溢流坝,当通过的流量Q为50m3/s时,坝上游水深H=10m,坝下游收缩断面的水深hc=0.5m,已知坝长(垂直于纸面方向)L=10m,试求水流对坝体的总作用力。第六十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三第六十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.8.2如图所示喷嘴射流冲击弯曲叶片。已知射流流量为Q,喷嘴出口流速为v,叶片出口的流速与水平方向的夹角为β,试求:（1）射流对弯曲叶片的作用力;（2）射流对平板叶片的作用力;（3）当叶片以速度u向右移动时,射流对弯曲叶片的作用力。第六十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(1)弯曲叶片的作用力

设叶片对控制体的作用力为Rx,x方向的动量方程为第六十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三(2)平板叶片时

(3)当弯曲叶片以速度u向右移动时

速度v应用相对于叶片的速度v-u代替,流量Q用(v-u)A代替。第六十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三例3.8.3在立体图上有一如图所示的弯管段。已知:弯管段入出口的直径分别为0.5m和0.25m;折角θ=60°;管中通过的流量Q=0.4m3/s;弯管入口处的相对压强p1=147kN/m2;弯管段的水重G=5kN,进出口断面的高程差△z=2m。试求水流对弯管的作用力。

第六十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三X方向的动量方程为

z方向的动量方程为

第七十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三合力与水平方向的夹角为

水流对弯管的作用力大小为28.29kN,方向与R方向相反。第七十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三小结§3-1液体运动的若干基本概念恒定流与非恒定流恒定流的运动要素只是位置坐标(x,y,z)的函数，与时间无关。而非恒定流的运动要素同时与位置坐标(x,y,z)和时间t有关。第七十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三迹线和流线

迹线：某液体质点在不同时刻所占据的空间点连线，也即某液体质点运动的轨迹线称为迹线。

流线:在指定时刻，通过某一固定空间点在流场中画出一条瞬时曲线，在此曲线上各流体质点的流速向量都在该点与曲线相切，此曲线定义为流线。

第七十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三流线的特点1．恒定流流线的形状及位置不随时间而变化。2．恒定流流线与迹线重合。3．一般情况下流线本身不能折曲，流线彼此不能相交。第七十四页，共九十四页，编辑于2023年，星期三由流线的形状和分布可以看出如下几点1．由流线上各点处切线的方向可以确定流速的方向；2．由流线的疏密可以了解流速的相对大小，密处流速大，疏处流速小；

3．由流线弯曲的程度可以反映出边界对流动影响的大小，以及能量损失的类型和相对大小。第七十五页，共九十四页，编辑于2023年，星期三过水断面、流管、元流、总流

过水断面：与流线正交的液流横断面称为过水断面，过水断面的面积大小称为过水断面面积。

流管：在流场中取一非流线的任意闭曲线L，然后通过此封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线所构成的管状曲面称为流管。

流管的特点：流管是由一族流线所围成的，流管内外的液体不能穿越它流出或流入，只能由流管的一端流入而从另外一端流出，流管就可以看作为管壁。第七十六页，共九十四页，编辑于2023年，星期三元流：当封闭曲线L所包围的面积无限小时，充满微小流管内的液流称为元流，元流的过水面面积记为dA。

元流的特点：元流的过水断面面积很小，可以认为元流过水断面上的流速、动水压强等运动要素是均匀分布的。总流：当封闭曲线L所包围的面积具有一定尺度时，充满流管内的液流称为总流。总流可以看作为无数元流的总和，其过水断面面积记为A。

第七十七页，共九十四页，编辑于2023年，星期三均匀流与非均匀流，渐变流与急变流

定义:流线是相互平行直线的流动称为均匀流。均匀流特点:（1）过水断面为平面，其形状和尺寸沿程不变；（2）各过水断面上的流速分布相同，各断面上的平均流速相等；（3）过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上常数，但是，不同过水断面上这个常数不相同，它与流动的边界形状变化和水头损失等有关。第七十八页，共九十四页，编辑于2023年，星期三渐变流：流线几乎是平行的直线（如果有弯曲其曲率半径很大，如果有夹角其夹角很小）的流动称为渐变流。非均匀流：流线不是相互平行直线的流动称为非均匀流。根据流线弯曲的程度和彼此间的夹角大小又将非均匀流分为渐变流和急变流。急变流：流线弯曲的曲率半径很小，或者流线间的夹角很大的流动均称为急变流。渐变流的特点：由于流线近乎是平行直线，则流动近似于均匀流，可以近似地认为：渐变流过水断面上的动水压强也近似按静水压强规律分布，即常数。第七十九页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§3-2描述液体运动的两种方法拉格朗日法是以个别液体质点为研究对象，描述出每个质点的运动状况，综合所有质点的运动就可获得整个液体的运动规律。这种方法又叫做质点系法。

欧拉法就是考察流场中不同空间点上流体质点的运动规律，进而获得整个流场的运动规律。第八十页，共九十四页，编辑于2023年，星期三某一液体质点在任一时刻的速度某一液体质点在任一时刻的加速度第八十一页，共九十四页，编辑于2023年，星期三流场中任一点处的加速度分量为加速度可用向量表示为速度用向量表示为微分算子为时间加速度位移加速度第八十二页，共九十四页，编辑于2023年，星期三§3-3用控制体概念分析液体运动的基本方程

关于质点系水流运动的基本方程1.质量守恒定律

质点系内，没有质量变化(没有液体流进或流出)，或者说质点系中的质量对时间的导数等于零。

2.动量守恒定律

作用在质点系上的所有外力的向量和，等于质点系所具有的动量对时间的导数。第八十三页，共九十四页，编辑于2023年，星期三左端项是对质点系而言的物理量N的随体导数，它描述物理量N的体积分变化的过程；右端的第一项描述控制体内的物理量N随时间的变化率，反映了物理量N的非恒定性；右端的第二项表示单位时间内液体通过控制体表面流出与流入的物理量N之差，也称为物理量N的通量。系控方程

系控关系式或系控方程，或简称为