第二节线性方程组解法

线性方程组的解线性方程组有解的判定条件线性方程组的解法

a11

x1

+

a12

x2

++

a1n

xn

=

b121

1

22

2

2n

n

2am1

x1

+

am2

x2

++

amn

xn

=

bm

a

x

+

a

x

++

a

x

=

b设线性方程组若常数项b1

,b2

,,bn不全为零,

则称此方程组为非齐次线性方程组;若常数项b1

,b2

,,bn

全为零,此时称方程组为齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念(1)线性方程组的解设一组数将（c1,c2,…,cn)带入到方程组(1)，每个方程都成立，则称（c1,c2,…,cn)是方程组（1）的一个解。方程组（1）的所有的解构成的集合称为（1）的解集合。方程组（1）也可以表示为矩阵形式：(2)

b1

a2n

x2

=

b2

mn

n

m

a1n

x1

m1

m2

a11

a12

a21

a22

a

a

a

x

b向量的线性表示(3)

2n

mn

m

2n2

m2

221

m1

21

bb

b1

x

=

aa

a1n

aa

a12

x

+

aa

a11

x

++

或AX=β如果方程组（1）与方程组b11x1

+

b12x2

++

b1n

xn

=

d1221

122

2

2n

nb

x

+

b

x

++

b

x

=

d

bl

1x1

+

bl

2x2

++

blnxn

=

dl有相同的解集合，则称方程组（1）与（4）是同解方程组（4）mn

m1

m2a2n

a1n

a11

a12a22A

=

a21

a

a

a（1）的系数矩阵m

mn

m1

m22

2n21

22a1n

a11

a12B

=

b1

a

a

a

b

a

a

a

b（1）的增广矩阵定理6.m×n的矩阵A经过一系列的初等行变换后得到矩阵B，那么矩阵A和B的列向量组有相同的线性关系。解释：设矩阵A的列向量组为{α1,α2,…,αn}，矩阵B的列向量组为{β1,β2,…,βn}若有

l1α1+l2α2+…+lnαn

=

0

(1)必有

l1β1+l2β2+…+lnβn

=

0

(2)若有α1＝k2α2

+

k3α3

+…+

knαn

（3）必有β1＝k2β2

+

k3β3+…

+

knβn

（4）复习定理1 n

元非齐次线性方程组Am·n

X

=

β有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B

=(A,β)的秩.证：必要性如果方程组有解的话，方程组可以用（3）表示一、线性方程组有解的判定条件

2n

mn

m

2n2

m2

221

m1

21

bb

b1

x

=

aa

a1n

aax

+

aa

a11

a12

x

++

mn

m1

m2b2

b1

a1na2n

a11

a12a22B

=

a21

a

a

a

bccn

+1

-

x1c1000＝

Cam1

am2

amncn

+1

-

x2c2

fi

a21m

a1na2n

a11

a12a22

R(B)

=

R(C), (矩阵的初等变换不改变矩阵的秩）R(C)

=

R(A) (矩阵C中的0列对秩没有影响）所以R(A)=R(B)n

+1

-

xncn利用（3）充分性.设R(A)=R(B),设R(A)=R(B)=r(r

£

n),am1

am2

amn

bm

b1

a1na2n

a11

a12

a21

a22B

=

b2

行变换0

00

0f0r

2

rr

0d

drn00

0

00

02n2r21d1nd1r

d11

d12

f1

0

d

d

d

fD＝根据上一节定理6，B与D的列向量组有相同的线性关系

0

f

x

=

0

d

xx

+

d

x

+

0

0r

+1d2(r+1)

r

f2

nrnd2n

d1n

+

f1

dii

都不为0rrrd2r

2

0

d22

1

d11

d12

d1r

d1(r+1)

dr(r+1)

0

0

x

++

0

0

所以

并不妨设A的前r个列向量线性无关．用方程组表示d11x1+

drrxr

+

dr(r+1)xr

+1

++

drnxn

=

fr=

f+

d2r

xr

+

d2(r+1)xr

+1

++

d2n

xn

2=

f1+

d1r

xr

+

d1(r+1)xr

+1

++

d1n

xn22

2+

d12x2

+d

x

+或者2r

r

2

2(r+1)

r

+1rn

nrr

r

r

r(r+1)

r

+1+

d

x

=

f

-

dd11x1x

--

d

x22

2+

d12x2+

d

x

=

f

-

d

x

--

d

x+

+

d1r

xrd

x

+=

f1

-

d1(r+1)xr

+1

--

d1n

xn2n

n（5’）

显然，方程组（1）与（5）或者（5’）是同解方程组那么方程组（5’）有解吗？令(xr+1,xr+2,…xn)=(gr+1,gr+2,…gn)代入方程组（5’）（5）+

d2r

xr

=

f2

-

d2(r+1)gr

+1

--

d2ngn+

d1r

xr

=

f1

-

d1(r+1)gr

+1

--

d1ngnrr

r

r

r(r+1) r

+1

rn

nd11x1+

d

x

=

f

-

d

g

--

d

g22

2+

d12x2+d

x

+这是关于x1,x2,…xr

的线性方程组，有r个方程，r个未知数其系数行列式的值＝

d11d22…drr

（不等于0）方程组（6）有唯一解，设其解为(g1,g2,…gr)那么（g1,g2,…gr,gr+1,…gn)是方程组（5）的解，也是方程组（1）的解（6）设R(A)=R(B)=r(r

£

n),即如果那么方程组（1）有解，充分性得证当R(A)=R(B)=n(未知量的个数）方程组有唯一解。当R(A)=R(B)=r<n(未知量的个数）时方程组有无穷多解事实上，以上的证明过程也是解方程的过程当R(A)„R(B)时，方程组(1)无解定理2 n

元齐次线性方程组

Am·nx

=

0

有非零解的充分必要条件是系数

矩阵的秩

R(A)<

n.证充分性.设系数矩阵的秩R(A)=r<n.原方程组与以下方程组是同解方程组d11x1+

drrxr

=

-dr(r+1)xr

+1

--

drnxn2r

r

2(r+1)

r+1

2n

n22

2+

d12x2+

d

x

=

-d

x

--

d

x+

+

d1r

xrd

x

+=

-d1(r+1)xr+1

--

d1n

xn任意取一组非零的（xr+1,…,xn)=(gr+1,…,gn),可以得到一组解因此，方程组有非零解必要性设方程组Ax

=0

有非零解，证明R(A)<n假设R(A)＝

r＝

nd11x12r

r

2(r+1)

r+1

2n

nrn

nr(r+1) r

+1rr

r+

d

x

=

-dx

--

d

x22

2+

d12x2+

d

x

=

-d

x

--

d

x+

+

d1r

xrd

x

+=

-d1(r+1)xr+1

--

d1n

xnd11x1d11d22

dnn+

dnn

xn

=

0+

d

x

=

02n

n22

2+

d12x2+

+

d1r

xn

=

0d

x

+

„

0方程组只有零解，与题设矛盾因此，R(A)<n小结有唯一解Ax

=

βR(A)=

R(B)=

nR(A)=

R(B)<

nAx

=β

有无穷多解.定义：含有若干个参数的方程组的任一解，称为线性方程组的通解．齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；例1

求解齐次线性方程组x1

+

2x2

+

2x3

+

x4

=

01

2

3

4

2x

+

x

-

2x

-

2x

=

0

.x

-

x

-

4x

-

3x

=

0

1

2

3

4解A=21

2

21

-2

-21-1

-4

-3-40-40二、线性方程组的解法对系数矩阵A

施行初等行变换：132

1

r

-

r1

1

2

2 1

r

-

2r-3

-6-3

-6341

2

2

10

1

20

0

0

0r2

‚

(-3)r3

-

r21

24

3

0

3-5r

-

2r

0

00

1

201

0

-2即得与原方程组同解的方程组34341

3x2

+

2x3

+

x4

=

0,

x

-2x

-

5

x

=

0,335

x1

=

2c1

+

c2

,22

1x3

=c1,x4

=c2

,x

=

-2c

-

4

c

,(x3

,x4

可任意取值).由此即得

34341

3x2

=

-2x3

-

x4

,

x

=

2x

+

5

x

,令

x3

=

c1

,

x4

=

c2，把它写成通常的参数形式3

0

1

2

3

5

-3

4

0

2

+c-

4.

2

=

c

x

x

1

1

x

x1

2

\例２

求解非齐次线性方程组

2

x1

+

x2

+

2

x3

-

2

x4

=

3.

x1

-

2

x2

+

3

x3

-

x4

=

1,1

2

3

4

3

x

-

x

+

5

x

-

3

x

=

2,解

3213对增广矩阵B进行初等变换，r2

-

3r123r

-

rr

-

2r

12

0-101

-2

3

-1

1

1

-2

3

-1 1

B

=3

-1

5

-3

2

5

-4

01

2

-2

50

-04

0显然，R(A)=2,R(B)=3,故方程组无解．例３

求解非齐次方程组的通解

x1

-

x2

-

2

x3

+

3

x4

=

-1

2解

对增广矩阵B进行初等变换

x1

-

x2

-

x3

+

x4

=

01

2

3

4

x

-

x

+

x

-

3

x

=

1

.-1

211

-1

-1

1

0B

=1

-1

1

-3

1-1

-2

3-1

201

-1

-1

1

00

2

-4

10

-1

2

~

00

0

1

-

1

0

-

1 1

2

~

0

0

1

-

2 1

2.0

0

043

x1

=

x2

+

x4

+

1

23

2

4

x4

=

0

x2

+

x4=

2

x

+

1

2

=

0

x

+

2

x

+

1

2

x

x由于R

A)=

R

B)=

2,

故方程组有解，且有

x1

=

x2

+

x4

+

1

2

x

=

x

+

0

x2

2

4x1

2

0

1

0

3

4

x

1

0

2

2

1

2

x2

=

c

1

+

c

0

+

0

.

x1

1

1

其中c1

,c2是任意常数.所以方程组的通解为有解的充要条件-

x3

=

a22

x5

-

x1

=

a5是a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

=

0.在有解的情况下，求出它的一切解．

x

-

x

=

a4

5

4例４

证明方程组

x3

-

x4

=

a3

x

x1

-

x2

=

a1解证对增广矩阵B进行初等变换，方程组的增广矩阵为5

a

a4

a3

a2

a1

0B

=

0

0

-1

1-10001-10001-10001-1000153

0i

=1

ai

~

0

1

-

1

0

a

0

0

0

1

-

1

a4

0

0

0

0

0

1-

1000a101-

100a25

R

A)=

R

B)

ai

=

0

i

=15\

方程组有解的充要条件是

ai

=

0.

x4

-

x5

=

a4由于原方程组等价于方程组

x

-

xi

=1

x1

-

x2

=

a1

x

-

x

=

a2

3

23

4

3=

a

x

=

a

+

c

x

=

a

+

a

+

a

+

c4x5

=

cx1

=

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

c4

x3

=

a3

+

a4

+

c2

2

3

4c为任意实数).5由此得通解：设x =

c例５

设有线性方程组

lx1

+

x2

+

x3

=

11

2

3

x

+

x

+

lx

=

l21

2

3

x

+

lx

+

x

=

l2

1l1

l21

l

l

1

l

1

1问l取何值时,有解?有无穷多个解?解对增广矩阵B

=(A,b)作初等行变换，

1

l

1

1 1

B

=

1

l

1

l

~

11

l

ll

-

l2

1-

l3

0

1l2

0

1

1

l~

0

l

-1

1-

l1-

l

1-

l2

1

l~

0

l

-

1 1

-

l0l

-

l2l2

0=

0

11l

-

102l

1

-

l

1

+

l1

-

l

2

+l2l(1

-

l)(

)(

)

(

)(

)2

-

l

-

l2

1

+

l

-

l2

-

l3

l1

-

l1)当l

=1时,

0

0

1

1

1

1

B

~

0

0

0

00

0R

A)=R B

)<3,方程组有无穷多解.

x1

=

1

-

x2

-

x3

x3

=

x32

2=

x其通解为

xx2

,x3为任意实数).2)当l

„1时,(

)

0

1B

~

021

l

l21

-

1

-

l0 2

+

l

1

+

l这时又分两种情形：1)

l

„

-2时,

R

A)=

R

B)=

3,方程组有唯一解

:1.l

+

2(l

+

1)2l

+

1x1

=

-

l

+

2

,

x2

=

l

+

2

,

x3

=R

A)„R B

),故方程组无解.2)l

=-2时,

3

0

1

1

-

2

4

B

~

0

1

-1

-

20

0非齐次线性方程组R(A)=

R(B)=

nR(A)=

R(B)<

n有无穷多解.Ax

=

βAx

=

bAx

=b有唯一解;齐次线性方程组R

A)=

nR

A)<

nAx

=

0Ax

=0只有零解;Ax

=0有非零解.三、小结R(A)≠R(B),

方程组无解思考题x4

=

3,x1

+

3

x2

+

6

x3

+x1

+

x2

+

2

x3

+

3

x4

=

1,1

2

3

4讨论线性方程组

x1

-

5

x2

-

10

x3

+

12

x4

=

t当p,t取何值时,方程组无解?有唯一解?有无穷多解?在方程组有无穷多解的情况下,求出一般解.

3

x

-