华南理工2005数学分析试题和解答

博士家园华南理工大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试试题Zhubin846152注：本题在解答过程中，参考了博士家园论坛的意见，特别是10、11题的解答，在此表示感谢！给出了3、一、设xa0,xx22ax2a2.求极限limxn1n1nnnx，又解：显然有xxa2a2a0n1a12a11xxnn1nn即，序列为单调减小，且有下界，故存在极限，不妨设limxA，则对nnxx22ax2a2AA22aA2a2两边取极限，得Aalimxa，即，故nn1nnn二、求积分x3dyy3dxxy21,逆时针为正向.,其中C是圆:2x4y4C，有解：令xcos,ysin,0，22cos4sind22x3dyy3dxx4y4cos2sin222cos2sind4C001321-sin22d220三、讨论函数序列ftsinnt0,在上的一致收敛性.ntn解：利用定义来做，就可以了。f(t)sinntnnt利用定义来做：f(t)limf(t)0nn1(1)0,0,t,N,0|f(t)f(t)||sinnt||1ntn|n(2)0,0,0t,n0|f(t)f(t)||sinnt|t|sinnt|tntnnt令(0,2)，根据一致收敛的定义知，上式一致收敛于0博士家园1博士家园z0所确定.证明:yzzyzzxyzzx,y,yFxx四、设由方程xyx0两边分别对x和y求偏导数，zz,yFx证明:yx1z1z11z1z1F1Fz0,F0zF1yxxxxyyyxy121222z1FFzFF2zzy2x121,2从而有，x，FFFFy1212yxyxFFzzxy1F1yy2FF2Fz12zzyxFF2yxx12x故有yyx2zxyFFFF12x112yxyx即，问题得证.f01,f02,五、设是偶函数,在x0的某个邻域中有连续的二阶导数,fx1nf1试证明无穷级数绝对收敛.n1fxx0证明:由题意,可写出的在处的Taylor展开式fxf0f0x2ox1xox2222!1n111o，故，nn2f从而有2，而级数为收敛的，111oo21112n2nnnnnn2n222222n11nf1由比较判别法知，级数为绝对收敛的，问题得证.n1六、设曲线由方程组yytxxtxy2t1t1t0确定.求该曲线在处的切线tey2xy2方程和法平面方程.（注：原题为法线方程，个人觉得曲线不可能有法线，只能有法平面，平面才能有法线）解:博士家园2博士家园Fxy2t1t11xy1当t0时，,有，x1,y0由题意得：，2xy2Ftey2xy-221Dx,yt022tey12DF,FDF,F23,-3,121tey1Dt,x12t0t0t01tey1DF,F3,12Dy,t2-2teyt0t0tx1y3t3x-13y0，-33-tx1y故，有切线方程，法平面3txy1也即切线方程，法平面1nn1xn2n的收敛域,并求该级数的和.七、求幂级数解:收敛半径Rn011,limn1nn1n2n1nn1,显然为发散的.同样级数在处也发散.x1n2x1当时,级数变为n0从而,收敛域为1,1.nfx1nn1xnn2-xn-xn-xnx1,1当时，有n2n0对第一部分，n12nn12fxn2xn-xn-x-xn1-x-xn1-x-xn-1n0n1n0n0n1第二部分，n1-xfx2n-xn-xn-x-x-x-xn1nn1n0n1n0n0-xx-x1x1x2xx1，1x3xfx-x故1x12x1xfx同样，对第三部分，，3博士3家园博士家园xx1xx1xx2xx2xx32x2xxx3原式从而有1x1x1x1x3323xdydzydxdzzdxdy,S为椭球面x2yz21的上2八、求第二曲面积分:a2bc22S半部分,其定向为下侧.x2yz21在z0交线所围的部分,方向取向上,记Q，所围空间记2解：不妨添加a2bc22体积为V,故有xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdy111dxdydzSSV,22xdydzydxdzzdxdyabc0-abc33QS其中为取外法线方向为正的曲面,dxa0,证明积分0aaxa2关于一致收敛;九、(1)设0220证明：记fadx,且,xatg,0,则，2xa220211facos4d,从而，2acos24a440要fa一致收敛，故，对0,要有41aa1111fafaaa4a44a4aa3aaa3aa40121212414221212aa4400只需取即可满足，对0,存在，使得，当aa时，12有fafa12dxaa也即0xa关于一致收敛2220dxx2a2(2)a0,计算积分和0博士家园4博士家园dxxa2302解：令xatg,0,,则有，2dxx2a211d12d21a2cos2a22a2000cos2dx1a6d1a62cos4d1cos44cos21d2cos628xacos2a630220001a1616a66十、设在上有连续的二阶导数,fx0,fxA,fxB.试证明fx2AB.证明：利用到了一元二次函数的判别式来做的首先由于f(x)有界，limf'(x)0。x又由于二阶可导，所以一致连续。换句话说，f'(x)有界不妨设f'(b)max{|f'(x)|}|C|,x[0,)(1)当|A|0的时候，显然b不趋于无穷大。考虑Taylor展开的情形：2|A||f(x)f(b)||f'(b)(xb)f"()(xb)||C||xb||B|(xb)22222|A||B|(xb)|C||xb|0，在x[0,)时候恒成立22C24|AB|0(2)当|A|0的时候,f(x)C(C为常数)综上所述，知命题成立上一致收敛，收敛。试证明fxdxfx0,十一、设在limfx0.x证明：仍然用定义来证明：利用反证法博士5家园博士家园fx0反证法，如果limfx0的结论不成立x那么，根据定义，>0,G0,|x|G,f(x)0000f(x)一致连续，所以0,x[x,x],f