2021年湖南省衡阳市县上峰中学高二数学理期末试卷含解析

2021年湖南省衡阳市县上峰中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.曲线在点P（1，1）处的切线方程是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】先求得函数在处的导数，也即切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意，当时，，即切线的斜率为，故切线方程为，即，故选B.【点睛】本小题主要考查函数的导数的求法，考查函数在某点处切线方程的求法，考查直线方程点斜式和一般式，属于基础题.2.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是

参考答案：B3.在y=2x2上有一点P，它到A（1，3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（﹣1，2）参考答案：B【考点】抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】把抛物线y=2x2中，准线方程为L：y=﹣=﹣．过点A作准线的垂线，垂足为B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．点M的坐标为（1，2）．在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，|PA|+|PF|＞|AB|．抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．【解答】解：把抛物线的解析式y=2x2变为x2=y，与标准形式x2=2py对照，知：2p=．∴p=．∴抛物线x2=y的准线方程为L：y=﹣=﹣．由抛物线定义知：抛物线上任意一点到准线距离等于到焦点距离．∴点P到焦点的距离等于点P到准线的距离．分析点A与已知抛物线y=2x2的位置关系：在y=2x2中，当x=1时，y=2，而点A（1，3）在抛物线内．过点A作准线的垂线，垂足为B，设线段AB与抛物线及x轴分别交于点M、点N，∵AB⊥准线y=﹣，而点A的纵坐标为3，∴AN=3且点M的横坐标与点A的横坐标相同均为1．把x=1代入y=2x2得y=2，∴点M的纵坐标为2．∴点M的坐标为（1，2）．下面分析“距离之和最小”问题：在抛物线y=2x2上任取一点P，过P作准线的垂线，垂足为Q，过P作AB的垂线，垂足为H，在Rt△PAH中，斜边大于直角边，则|PA|＞|AH|．在矩形PQBH中，|PQ|=|HB|，∴|PA|+|PF|（这里设抛物线的焦点为F）=|PA|+|PQ|＞|AH|+|HB|=|AB|．即：抛物线上任意一点P到A的距离与它到焦点的距离之和最小为|AB|．此时点P与点M重合，其坐标为P（1，2）．故选：B．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．作为选择题，可以用数形结合的方法，对明显不符合的选项进行排除，可不用按部就班的计算出每一步骤，节省时间．4.直线与直线和直线分别交于，两点，且的中点坐标为，则直线的方程为A．

B．

C．

D．

参考答案：A略5.已知，其中为自然对数的底数，则（

）A. B.C. D.参考答案：D当时，单调递增，当时，单调递减，所以故有选D.6.已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n异面”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B7.已知数列{an}的前n项和为Sn，，，,则Sn=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D8.命题甲：“a，b，c成等差数列”是命题乙：“”的(

)．A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略9.复数z＝的共轭复数是

（

）（A）2+i

（B）2－i

（C）－1+i

（D）－1－i参考答案：D略10.设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．y=±2x C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在内有极大值，则实数的取值范围是参考答案：略12.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则共有____________多少种参赛方法（用数字作答）．参考答案：

252略13.已知等比数列{an}中，，则公比q=______；______．参考答案：2

4【分析】根据等比数列通项公式构造方程求解即可.【详解】

本题正确结果：；【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.14.已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围为．参考答案：k＜2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的简单性质列出不等式求解即可．【解答】解：方程表示焦点在y轴上的双曲线，可得：2﹣k＞0＞k﹣3，解得：k＜2．故答案为：k＜2．15.已知为双曲线上一点，，为该双曲线的左、右焦点，若则的面积为

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．参考答案：略16.双曲线的渐近线方程是．参考答案：y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．解答：解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．17.已知，则=________参考答案：【分析】首先根据诱导公式化简，再由即可得【详解】∵，则，【点睛】本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）设数列{an}的前N项和为’为等比数列’且(1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.参考答案：略19.已知曲线C1：（为参数），曲线C2：（t为参数）．（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都拉伸为原来的两倍，分别得到曲线．写出的参数方程．与公共点的个数和C公共点的个数是否相同？说明你的理由．参考答案：解：（1）C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为，圆心C1（0，0），半径r=2．C2的普通方程为x-y-1=0．因为圆心C1到直线x-y+1=0的距离为，所以C2与C1有两个公共点．（2）拉伸后的参数方程分别为C1′：θ为参数）；C2′：（t为参数）化为普通方程为：C1′：，C2′：联立消元得其判别式，所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然有两个公共点，和C1与C2公共点个数相同

20.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=，当a变化时，求x的取值范围．参考答案：【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max=，∵正切函数y=tanx在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x==，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ===，即x2﹣4x+4=﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2=﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题．21.（12分）已知正方体中，E，F分别是，CD的中点 （1）证明：AD⊥ （2）证明：平面AED⊥ （3）设，求三棱锥的体积。参考答案：（1）AD⊥面 （2） （3）22.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,PA＝AB＝4，

G为PD中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC.(1)求证：AG⊥平面