2021年江西省赣州市兴国第三中学高三数学文期末试卷含解析

2021年江西省赣州市兴国第三中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015秋?太原期末）设变量x，y满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1，若2x﹣y的最大值为5，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．3参考答案：D【分析】满足条件的点（x，y）构成趋于为平行四边形及其内部区域，令z=2x﹣y，显然当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，由此求得a的值．【解答】解：设点M（a，a）则满足|x﹣a|+|y﹣a|≤1的点（x，y）构成区域为平行四边形及其内部区域，如图所示：令z=2x﹣y，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距的相反数，故当直线y=2x﹣z过点C（1+a，a）时，z取得最大值为5，即2（1+a）﹣a=5，解得a=3．故选：D．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、简单的线性规划问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．2.已知是定义在上的奇函数，对恒有，且当时，，则A. B. C. D.参考答案：【知识点】函数的奇偶性B4【答案解析】B

：∵对?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），

∴f(-2)=f()+f（2），f（2-2）=2f（2），化为f()=f(-)-f(2)，f（2）=f（0），

∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f(-)=-f()，f（2）=f（0）=0．∴f()=-f()，

∵当x∈（0，1）时，f（x）=x2-x，∴f()=()2-=-．∴f()=．故选：B．【思路点拨】对?x∈R恒有f（x-2）=f（x）+f（2），分别取x=，2可得f()=f(-)-f(2)，f（2）=f（0），利用f（x）是定义在R上的奇函数，可得f(-)=-f()，f（2）=f（0）=0．即可得出f()=-f()，再利用已知即可得出．3.某几何体的三视图如图所示，图中小方格的长度为1，则该几何体的体积为（）A． B．4 C．2 D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是四棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面的位置关系，由椎体的体积公式求出该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知几何体是：四棱锥P﹣ABCD为棱长为2的正方体一部分，直观图如图所示：且D是棱的中点，由正方体的性质可得，PA⊥平面ABCD，∴该几何体的体积V==2，故选：C．4.若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：5.过点作圆的两条切线,,为切点，则A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3

B．4

C．

D．

参考答案：B7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，该几何体是由一个半圆柱与一个半球组成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球的半径为1，几何体的体积为=π，故选C．8.变量满足下列条件：，则使的值最小的是(

)A.(4.5,3)

B.(3,6)

C.

(9,2)

D.(6,4)

参考答案：A略9.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D,所以,选D.10.已知，则“”是“”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是 。参考答案：图象如图所示。的实根即是可以看做是两个函数在图像上的交点个数。g（x）的图像是恒过点（0,1）的直线，临界值是图中经过B，D两点的割线和过C的切线。计算出斜率值即可。12.函数的值域为．参考答案：[，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可得函数的定义域为[，+∞），函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．【解答】解：由2x﹣1≥0可得x≥，∴函数的定义域为：[，+∞），又可得函数f（x）=+x在[，+∞）上单调递增，∴当x=时，函数取最小值f（）=，∴函数f（x）的值域为：[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．13.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为 参考答案：14.已知函数的图象上任意一点处的切线方程为，那么

的单调减区间

参考答案：15.给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是

．参考答案：②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答： 解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．16.已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于y轴对称，则的值是

参考答案：17.已知、是方程的两根，且、，则

；参考答案：答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，其中e是自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处切线方程；（Ⅱ）若g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，求t的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1）再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）由g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，可得ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．分离参数t，可得即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．两次求导可得x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，得到F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．从而得到F（x）≥F（1）=1．由此可得t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ex﹣xlnx，得f′（x）=e﹣lnx﹣1，则f′（1）=e﹣1．而f（1）=e，∴所求切线方程为y﹣e=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x+1；（Ⅱ）∵f（x）=ex﹣xlnx，g（x）=ex﹣tx2+x，t∈R，∴g（x）≥f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立．?ex﹣tx2+x﹣ex+xlnx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立．即t≤对任意x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=．则F′（x）=，设G（x）=，则G′（x）=对任意x∈（0，+∞）恒成立．∴G（x）=在（0，+∞）单调递增，且G（1）=0．∴x∈（0，1）时，G（x）＜0，x∈（1，+∞）时，G（x）＞0，即x∈（0，1）时，F′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，∴F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+∞）上单调递增．∴F（x）≥F（1）=1．∴t≤1，即t的取值范围是（﹣∞，1]．19.（本小题满分13分）如图，圆锥顶点为。底面圆心为，其母线与底面所成的角为22.5°。和是底面圆上的两条平行的弦，轴与平面所成的角为60°，（Ⅰ）证明：平面与平面的交线平行于底面；（Ⅱ）求。参考答案：20.已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且.(1)求a1；(2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式；(3)设,试问是否存在正整数p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.参考答案：解:(1)令n=1,则a1=S1==0

(2)由,即,

①得

.

②②-①,得

.

③于是,.

④③+④,得,即

又a1=0,a2=1,a2-a1=1,所以,数列{an}是以0为首项,1为公差的等差数列.所以,an=n-1

(3)假设存在正整数数组(p,q),使b1,bp,bq成等比数列,则lgb1,lgbp,lgbq成等差数列,于是,

所以,(☆).易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解

当p≥3,且p∈N*时,<0,故数列{}(p≥3)为递减数列,于是≤<0,所以此时方程(☆)无正整数解.综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比数列

略21.（本小题满分14分）已知函数(1)若函数的图象切x轴于点(2，0)，求a、b的值；(2)设函数的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；(3)若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于l，求证．参考答案：22.(本小题满分12分