2021年浙江省温州市泰顺县第一中学高三数学理期末试题含解析

2021年浙江省温州市泰顺县第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为；(2)图象关于直线对称；(3)在区间上是增函数．则的解析式可以是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：答案：D2.下列集合运算正确的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：D逐一考查所给的选项：A.，该选项错误；B.，该选项错误；C.，该选项错误；D.，该选项正确本题选择D选项.

3.若，都是实数，则“”是“”的（

）(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：A4.已知向量，，且，则实数的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.命题“使得”的否定是（

）A．,均有

B．,均有C．使得

D．,均有参考答案：B．试题分析：命题“使得”的否定是,均有．故选B．考点：全称命题．6.在△ABC中，，D是BC边上一点，，，，则AB的长为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】首先求得的值，然后利用正弦定理解三角形即可.【详解】由题意，在△ADC中，由余弦定理可得：，则，在中，由正弦定理可得：，即：，据此可得：.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.若双曲线的一条渐近线与圆至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：A9.若平面满足，则下列命题中的假命题为（

）A．过点垂直于平面的直线平行于平面B．过点垂直于平面的直线在平面内C．在平面内过点垂直于的直线垂直于平面

D．过点垂直于的直线在平面内参考答案：D略10.（5分）（2015?西安校级二模）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将容量为50的样本数据,按从小到大的顺序分成4组如右表,则第3组的频率为____(要求将结果化为最简分数)参考答案：略12.已知数列{an}满足，，则当时，an=．参考答案：解：数列满足，

，，则，，，，由此可得当时，．故答案为：．13.若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是

．参考答案：由题意可知对应的线性方程组为，解得。所以该线性方程组的解是。14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，则______参考答案：【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【详解】解：，可得时，，时，，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.15.设集合A=，B=，则实数的值为______.参考答案：116.由曲线所围成的图形面积为___________参考答案：17.对任意两个实数，定义若，，则的最小值为．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2016?湘潭一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣（x为实常数）．（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）若方程e2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[]上有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数最值的应用．【分析】（1）求导数，求得函数的单调性，即可求函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；（2）化简方程，分离参数，再构建新函数，确定函数的单调性，求出函数的值域，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，函数φ（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+，∴φ′（x）==；x∈[4，+∞），∴φ′（x）＞0∴函数φ（x）=f（x）﹣g（x）在x∈[4，+∞）上单调递增∴x=4时，φ（x）min=2ln2﹣；（2）方程e2f（x）=g（x）可化为x2=﹣，∴a=﹣x3，设y=﹣x3，则y′=﹣3x2，∵x∈[]∴函数在[]上单调递增，在[，1]上单调递减∵x=时，y=；x=时，y=；x=1时，y=，∴y∈[]∴a∈[]【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．19.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲：已知函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）原不等式等价于或

解得：.即不等式的解集为．

……5分（Ⅱ）不等式等价于，因为，所以的最小值为4，于是，即，所以或．20.已知为等差数列，且，，等比数列满足，。求的通项公式和的前n项和公式参考答案：解：设等差数列的公差。

因为

所以

解得

…………4分所以

…………5分

设等比数列的公比为

因为

所以

即=3

………8分所以的前项和公式为

………10分21.（本小题满分14分）如图4，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图5的五棱锥，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值.参考答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）由，，可证平面，进而可证平面；（2）先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可算出二面角的平面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系，即可得二面角的平面角的正弦值.试题解析：（1）证明：∵点，分别是边，的中点，∴∥.

…………1分∵菱形的对角线互相垂直，∴.∴.∴，.

…………2分∵平面，平面，，∴平面.

…………3分∴平面.

…………4分（2）解法1：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.……5分在Rt△中，，在△中，，∴.

…………6分∵，，平面，平面，∴平面.

…………7分过作，垂足为，连接，由（1）知平面，且平面，∴.∵，平面，平面，∴平面.

…………8分∵平面，∴.

…………9分∴为二面角的平面角.

…………10分在Rt△中，，在Rt△和Rt△中，，∴Rt△～Rt△.

…………11分∴.∴.

…………12分在Rt△中，.……13分∴二面角的正切值为.

…………14分解法2：设，连接，∵，∴△为等边三角形.∴，，，.………5分在Rt△中，，在△中，，∴.

…………6分∵，，平面，平面，∴平面.

…………7分以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，.…………8分∴，.设平面的法向量为，由，，得……9分令，得，.∴平面的一个法向量为.

…………10分由（1）知平面的一个法向量为，……11分设二面角的平面角为，则.………12分∴，.………13分∴二面角的正切值为.

…………14分考点：1、线面垂直；2、二面角；3、空间向量及坐标运算；4、同角三角函数的基本关系.22.已知函数．（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：．

参考答案：解：（1）因为，，则，

----------------------------1分当时，；当时，．

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值．--------------------------------------------------------2分因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以

解得

-----------------------------------------------------------------4分（2）不等式，即为记-----------------------------------------------6分令则，

在上单调递增，，从而

故在上也单调递增，，所以

-------------------------------8分（3）由（2）知：恒成立，即令，则，---------