2023年福建省宁德市福鼎重点高中高考数学最后一模试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2023年福建省宁德市福鼎重点高中高考数学最后一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合A={x|x2A.A∩B=⌀ B.A∪B2.已知复数z满足z(−1+3i)=A.−12−32i B.3.已知一种放射性元素最初的质量是500g，按每年10%衰减．(已知lg2=0.3010，lg3=0.4771)A.7.6年 B.7.8年 C.6.2年 D.6.6年4.“不等式x2−x+m>A.m>1 B.m<14 5.已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P−ABC全部顶点都在表面积为16πA.3 B.323 C.6.已知一组数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x−，标准差为s.若3x1−2，3xA.−712 B.−74 C.7.已知抛物线C：y2=2px的焦点为F(1,0)，准线与x轴交于点A，点MA.y=2x+1 B.y=8.已知定又在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，当1≤x<2时，A.6 B.8 C.10 D.14二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数f(x)=sin[cosxA.f(x)的一个周期是2π B.f(x)是偶函数

C.f(10.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H，I分别为ADA.直线D1E与直线GD垂直

B.点D与点B到平面D1EF的距离相等

C.直线EF与平面HI11.已知正实数a，b满足a+2b=A.2a+1b≥2 B.a12.将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则(

)A.事件A与B相互独立 B.事件A与C不相互独立

C.P(B|三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若向量a，b满足|a|=10，b=(−2,114.(1+1x2)(15.如图，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|16.已知函数f(x)=3x2,0≤x≤11x,x>1．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2+a2−b2=2ab．

(1)若s18.(本小题12.0分)

已知数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且anSn19.(本小题12.0分)

如图，已知多面体EACBD中，EB⊥底面ACBD，EB=1，AB=2，其中底面由以AB为直径的半圆ACB及正三角形ABD组成．

(20.(本小题12.0分)

“斯诺克(Snooker)”是台球比赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，所以斯诺克台球有时也被称为障碍台球，是四大“绅士运动”之一，随着生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一．现甲、乙两人进行比赛比赛采用5局3胜制，各局比赛双方轮流开球(例如：若第一局甲开球，则第二局乙开球，第三局甲开球……)，没有平局已知在甲的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为13，在乙的“开球局”，甲获得该局比赛胜利的概率为12，并且通过“猜硬币”，甲获得了第一局比赛的开球权．

(1)21.(本小题12.0分)

已知双曲线C与双曲线x212−y23=1有相同的渐近线，且过点A(22,−1)．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知D(22.(本小题12.0分)

已知f(x)=x2ex−a(x+2ln答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】化简集合A={x|x2−【解答】解：A={x|x2−2x<0

2.【答案】A

【解析】解：z(−1+3i)=2，

则z3.【答案】D

【解析】解：设这种元素的半衰期为x年，则500(1−10%)x=250，

两边同时取常用对数得xlg0.9=lg12，

∴4.【答案】A

【解析】解：由不等式x2−x+m>0在R上恒成立，可得Δ=1−4m<0，即m>14．

选项A，(1,+∞)⫋(14,+∞)，符合题意；

选项B5.【答案】C

【解析】解：球O的半径为R，由已知可得S△ABC=934，4πR2=16π，得R=2，

球心O到平面ABC的距离为R2−(26.【答案】A

【解析】解：由题意可得3x−−2=9s2，则s=3x−−23.因为s2≥0，所以3x−−2≥0，解得x−≥23．

令y=s−7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，属中档题．

由题意可得当直线MA与抛物线相切时|AM【解答】解：过M作MP与准线垂直，垂足为P，

则|AM||FM|=|AM||MP|=1cos∠AMP=1cos∠FAM，

则当|AM||FM|取到最大值时，∠MAF必须取到最大值，此时AM与抛物线相切；

易知此时直线AM的斜率不为0，抛物线C：y2=2px的焦点F

8.【答案】D

【解析】解：因为f(x+2)=−f(x)，

所以f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，

又因为f(x)是R上的奇函数，

所以f(x+2)=−f(x)=f(−x)⇒f(x+1)=f(1−x)，

所以直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴，

且9.【答案】BC【解析】解：对于A选项，f(x+2π)=sin[cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin[cosx]+cos[sinx]=f(x)，

所以，函数f(x)的一个周期为2π，A选项正确；

对于B选项，f(π4)=sin[22]+cos[22]=sin0+cos10.【答案】AB【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令AB=2，

E，F，G，H，I分别为AD，AB，BB1，B1C1，D1C1的中点，

则D(0,0,0)，D1(0,0,2)，B(2,2,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，G(2,2,1)，H(1,2,2)，I(0,1,2)，

对于A，D1E=(1,0,−2),GD=(−11.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．

先得到2a【解答】解：∵正实数a，b满足a+2b=ab，∴2a+1b=1，

A：∵2a+1b=1，∴A错误;

B：∵a+2b=(a+2b)(2a+1b)=a

12.【答案】BD【解析】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有C42A33=36个基本事件，它们等可能，

事件A含有的基本事件数为A33+C32A22=12，

则P(A)=1236=13，同理P(B)=P(C)=13，

事件AB含有的基本事件数为A22=2，则P(AB)=236=118，事件AC含有的基本事件数为C22+C21C21=5，则P(AC)=13.【答案】3π【解析】解：由题意得|b|=(−2)2+12=5，

所以cos〈a,b〉=a14.【答案】30

【解析】【分析】

本题考查了二项式定理的运用，属于基础题．

关键是明确展开式得到x2的两种情况．分析展开式中x2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．解：当(1+1x2)选择1时，(1+x)6展开式选择x2的项为C62x2；

当(1

15.【答案】−2【解析】解：连接QF1，

设|QF2|=x，则|PF1|=4x，|QF2|=2a−x，

由椭圆的定义可得|PQ|=|PF2|+|QF2|=2a−4x+x=2a−3x，

在Rt△P16.【答案】[0,3【解析】解：(1)当0≤x≤1时，y=3x2∈[0,3]；当x>1时，y=1x∈(0,1)，

所以函数f(x)=3x2,0≤x≤11x,x>1的值域为[0,3]；

(2)关于x的方程f(x)=−14x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解，

即函数f(x)=3x2,17.【答案】解：(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2+a2−b2=2ab．

整理得c2+a2−b2=2accosB=2ab，

所以ccosB=b，

利用余弦定理得：sinCcosB=sinB，

整理得：sinC=33=tan【解析】(1)直接利用已知条件和正弦定理的应用求出结果．

(2)18.【答案】解：(1)由anSn=3n+2得：3Sn=(n+2)an且an≠0，

当n≥2且n∈N*时，3an=3Sn−3Sn−1=(n+2)an−(n+l)【解析】(1)利用an与Sn关系可推导得到anan−1=n+1n−1，利用累乘法即可求得数列{a19.【答案】解：(1)证明：由题意可得：AC⊥BC，则sin∠CAB=BCAB=12，且∠CAB为锐角，则∠CAB=30°，

因为三角形ABD为正三角形，则∠DAB=0°，

可得∠DAC=∠DAB+∠CAB=90°，即AD⊥AC，

所以AD//BC，

AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，

所以BC/​/平面ADE．

(2)如图，以AB的中点O为坐标原点，ABx轴，AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0)，B(−1,0【解析】(1)根据题意分析可得∠CAB=30°，进而可证AD⊥AC，AD20.【答案】解：(1)甲以3：1赢得比赛，则前3局中甲赢得了2局，第4局甲获胜，

所以甲以3：1赢得比赛的概率为P=23×12×13×12+13×12×13×12+13×12×23×12=5【解析】本题考查独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的期望公式，属于中档题．

(1)利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；

(21.【答案】(1)解：因为双曲线C与已知双曲线有相同的斩近线，

设双曲线C的标准方程为x2−4y2=λ，

代入点A坐标，解得λ=4，

所以双曲线C的标准方程为x24−y2=1；

证明：(2)(i)当直线EF斜率存在时，设EF：y=kx+m，

设E(x1,y1)，F(x2,y2)，联立y=kx+m与双曲线x24−y2=1，

化简得(4k2−1)x2+8kmx+4(m2+1)=0，

Δ=(8km)2−4(4m2+4)(4【解析】(1)根据双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C的标准方程为x2−4y2=λ，代入点A坐标求解；

(2)(i)当直线EF斜率存在时，设EF：y22.【答案】解：(1)∵当a=e时，f(