专题61平行四边形的性质（知识讲解）-八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题6.1平行四边形的性质（知识讲解）【学习目标】1．理解平行四边形的定义，从角、边、对角线三个角度理解平行四边形的性质定理；2．能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．4.灵活运用综合运用平行四边形的性质定理进行证明和计算．【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.特别说明：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.要点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形对角相等，邻角互补；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等；2.平行四边形对角线得的四个三角形面积相等，如图1平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系：如图2图1图二图三要点四、平面直角坐标系中平行四边形在平面直角坐标系中，如图三，四边形ABCD是平行四边形，若;;;,则有：【典型例题】类型一、平行四边形的性质➽➼作图✬✬求线段长✬✬求角度✬✬求面积 1．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC的中线．(1)用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；(2)求△ACE的面积．【答案】(1)详见分析；(2)6【分析】（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；根据平行四边形的性质可得BO为△ABC的中线，根据AC=BC，可得△ACE≌△BCO，从而得到AE=BO，进而得到△ABO≌△BAE，可得到FA=FB，再根据线段垂直平分线的判定定理，即可求解；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．（1）解：如图，连接BD，BD与AE交于点F，与AC交于点O，连接CF并延长到AB，则它与AB的交点即为H．理由如下：∵BD、AC是平行四边形ABCD的对角线，∴点O是AC的中点，即BO为△ABC的中线，∵AE是△ABC的中线，AC=BC，∴CO=CE，AO=BE，∵∠BAC=∠BAC，∴△ACE≌△BCO，∴AE=BO，∵AO=BE，AB=BA，∴△ABO≌△BAE（SSS），∴∠ABO=∠BAE，∴FA=FB，∵AC=BC，∴CH是AB的垂直平分线，∴CH是△ABC的高；（2）解：∵AC=BC=5，AB=6，CH⊥AB，∴AH=AB=3，由勾股定理可得，∴S△ABC=AB•CH=×6×4=12，∵AE是△ABC的中线，∴S△ACE=S△ABC=6．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式1】已知平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△CDE；

（2）如图，若∠1=65°，求∠B的大小．【答案】（1）证明见分析；（2）50°．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，得出∠1=∠DCE，证出∠AFB=∠1，由AAS证明△ABF≌△CDE即可；（2）由（1）得∠1=∠DCE=65°，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∴∠1=∠DCE，∵AF∥CE，∴∠AFB=∠ECB，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠ECB，∴∠AFB=∠1，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）由（1）得：∠1=∠ECB，∠DCE=∠ECB，∴∠1=∠DCE=65°，∴∠B=∠D=180°﹣2×65°=50°．考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质．【变式2】如图，在中，BD是它的一条对角线，(1)求证：；(2)尺规作图：作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）；(3)连接BE，若，求的度数．【答案】(1)见分析 (2)见分析 (3)50°【分析】（1）由平行四边形的性质得出，可利用“SSS”证明三角形全等；（2）根据垂直平分线的作法即可解答；（3）根据垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质求解即可．解：（1）四边形ABCD是平行四边形，，，（2）如图，EF即为所求；（3）BD的垂直平分线为EF，，，，，．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．类型二、平行四边形的性质➽➼证明➽➼求线段✬✬求角度✬✬求面积（周长） 2．如图，在中，点E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，．求证：；求证：平分；若，，求的面积．【答案】(1)见分析； (2)见分析； (3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，根据对顶角相等，，再根据点E是边的中点，即可求证；（2）通过证明为等腰三角形，即可求证；（3）由题意可得，的面积等于的面积，利用含角直角三角形的性质，即可求解．解：（1）证明：在中，，∴，∵点E是边的中点，∴，又∵，∴；（2）证明：由（1）可得，∴，即为的中线，，又∵，∴为等腰三角形，∴，∴，即平分；（3）解：由（2）可得平分；又∵∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴，由（1）可得，则，∴．【点拨】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．举一反三：【变式1】如图，在中，．用尺规完成以下基本作图：在上截取，使；作的平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法）在（1）所作的图形中，连接交于点G，证明：．【分析】（1）利用尺规作图画出图形，即可求解；（2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由平分，可得，从而得到，进而得到，即可．（1）解：如图所示，点E、F即为所求；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴．【点拨】本题主要考查了平四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握平四边形的性质，尺规作图的作法是解题的关键．【变式2】如图，在平行四边形中，分别平分和，交边于点E，F，线段相交于点M．求证：；若．求的长．【答案】(1)见分析 (2)AB=14【分析】（1）因为在中，，分别平分和，得，得到，即可得答案；（2）证明，，再利用平行四边形的性质，证出，由已知得出，，求出，得出，即可得答案．解：（1）证明：在中，，，分别平分和，，，即，，；（2）在中，，，又平分，，，，同理可得：，又在中，，，，即，，，，，．【点拨】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，．类型三、平行四边形性质的应用➽➼等分面积✬✬作平分线✬✬求面积（周长）3．如图四边形ABCD是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求作图：在图1中作一条线段，将的面积平均分成两份；在图2中过点E作一条直线，将的面积平均分成两份．【分析】（1）做出平行四边形的一条对角线即可；（2）先确定对角线的交点O，然后再作过O、E的直线即可．（1）解：如图所示，线段AC（或BD）即为所示．（2）解：如图所示，直线OE即为所示．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质的应用，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．举一反三：【变式1】探究：如图1，在ABCD中，AC，BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F．求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等．直线EF是否将ABCD的面积分成二等份？试说明理由．应用：张大爷家有一块平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图2，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你帮助张大爷把地分开．【答案】(1)证明见分析 (2)直线是将的面积分成二等份，理由见分析 (3)见分析【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可证出，，然后根据四边形的周长公式即可得证；（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形全等的判定证出，从而可得，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得出结论；（3）连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等．解：（1）证明：四边形是平行四边形，，，在和中，，，，同理可证：，，，四边形与四边形的周长相等．（2）解：直线是将的面积分成二等份，理由如下：四边形是平行四边形，，在和中，，，，由（1）已证：，，，，，四边形与四边形的周长相等，即直线将的面积分成二等份．解：连接交于点，作直线，则直线两侧的四边形面积相等，如图所示：【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．【变式2】如图，中，点E在BC上，且，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出的平分线；在图2中，画出的平分线，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）见分析【分析】（1）依据等腰三角形的性质以及平行线的性质，即可得到AC平分∠DAE；（2）依据平行四边形的性质以及全等三角形的性质，即可得到EO平分∠AEC．解：（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC，BD交于点O，∴AO=CO，又∵AE=CE，OE=OE∴△AOE≌△COE∴∠AEO=∠OEC∴EO平分∠AEC．【点拨】本题主要考查了复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．类型四、平面直角坐标系➽➼平行四边形性质➽➼求坐标✬✬求线段长4．如图，在平面直角坐标系中，已知点、、．试说明点A在线段的垂直平分线上；若点Q为平面直角坐标系中一点，且是以为斜边的等腰直角三角形，求点Q的坐标；在直线和y轴上，是否分别存在点M和点N，使得以点M，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)见分析 (2)点Q的坐标为（1，0）或（2，3）； (3)存在，点M的坐标为（4，）或（-2，）或（2，）．【分析】（1）由两点间的距离公式可得AB=AC，从而说明结论；（2）利用勾股定理的逆定理可知△ABC是等腰直角三角形，则点Q与点A重合，利用对称性得出点Q的另一个点的坐标为（2，3）；（3）设M（t，−t+2），N（0，n），利用中点坐标公式可得答案．（1）解：∵点A（1，0），B（0，2），C（3，1），∴OA=1，OB=2，AB==，AC==，BC==，∴AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上；（2）解：设Q（x，y），∵AB=，AC=，BC=，∴，∴△ABC是等腰直角三角形，∴点Q与点A重合，∴点Q（1，0），利用对称性得出点Q的另一个点的坐标为（2，3），∴点Q的坐标为（1，0）或（2，3）；（3）解：∵B（0，2），C（3，1），∴直线BC的表达式为：y=−x+2，∵M在直线BC上，N在y轴上，设M（t，−t+2），N（0，n），①当AC、MN为平行四边形的对角线时，AC中点的横坐标为，MN中点的横坐标为，∴2=，∴t=4，∴M（4，）；②当AN、CM为平行四边形的对角线时，AN中点的横坐标为，CM中点的横坐标为，∴=，∴t=-2，∴M（-2，）；③当AM、CN为平行四边形的对角线时，AM中点的横坐标为，CN中点的横坐标为，∴=，∴t=2，∴M（2，）；综上所述：点M的坐标为（4，）或（-2，）或（2，）．【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．举一反三：【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（m，0）和（0，n），m、n满足，点C在y轴上，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点E．直接写出A、B两点的坐标；如图1，若点C在y轴负半轴上，且AB＝BC，求点E的坐标；如图2，若点C与原点O重合，OH⊥BD于H，M为AB的中点，求MH的长．【答案】(1)A（4，0），B（0，4） (2)E（2，） (3)MH=【分析】（1）利用非负性求出m、n的值即可得到A、B两点的坐标；（2）根据AB＝BC求出C点坐标，利用平行四边形的性质和中点坐标公式即可求出点E的坐标；（3）根据等积法和勾股定理求出OH和BH，根据OH和BH求出H点的坐标，再结合M点的坐标即可求出MH的长．（1）解：∵即：∴∴A（4，0），B（0，4）（2）解：∵OB=OA=4∴AB=∴BC=AB=，OC=BC-OB=C点坐标为（0，）∵点E是AC中点，∴，∴E(2，)．（3）解：∵C与O重合，∴E为OA的中点，∴OE=2，∴BE=，∵即：∴OH=，∴BH==设H点的坐标为（x，y）则：由①-②得：，解得：把代入①得：或（舍）∴H又∵M为AB的中点，∴M（2，2）∴MH．【点拨】本题考查坐标系和几何的综合应用．本题的综合性较强，利用非负性、平行四边形的性质和中点坐标公式，以及勾股定理进行解题．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；平行四边形ABCD的面积是多少？在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)图见分析，，，， (2)12 (3)存在，或【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点的坐标；（2）先求出，，再利用平行四边形的面积公式即可得；（3）设点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得．（1）解：，，，解得，，，，补全图形如下：由平移的性质得：，，即，．（2）解：，，，，，则平行四边形的面积是．（3）解：如图，设点的坐标为，则，的面积等于平行四边形的面积，，即，解得或，所以存在这样的点，此时点的坐标为或．【点拨】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．类型五、平行四边形性质➽➼折叠问题➽➼证明✬✬求线段长✬✬其他5．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结论：中，，将△ABC沿AC翻折至，AD与交于E，连接，不难发现新图形中有两个等腰三角形．请利用图1证明是等腰三角形：(2)【应用与探究】如图1，已知：，若，∠求：∠ACB的度数；(3)如图2，已知：，，，与边CD相交于点E，求的面积．【答案】(1)见详解； (2) (3)【分析】（1）根据折叠的性质得到，，；再根据平行四边形的性质得到；最后根据等腰三角形的性质即可求解．（2）根据折叠的性质得到，即．（3）过C点分别作，垂足分别为G、H，再根据直角三角形的性质定理求解即可．（1）解：沿AC翻折至，四边形ABCD是平行四边形，是等腰三角形（2）解：由（1）可知，和是等腰三角形（对顶角）（3）解：如图2，过C点分别作，垂足分别为G、H在中，，设由勾股定理得，，即：，，的面积＝．【点拨】本题考查平行四边形的性质即三角形翻折的性质，难点在于找到两者的联系．举一反三：【变式1】如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，边与边交于点，此时恰为等边三角形．求的长度；请直接写出重叠部分的周长．【答案】(1) (2)【分析】（1）由折叠的性质可得∠ACB＝∠ACE，由平行线的性质可得∠DAC＝∠ACB，可证AE＝EC，由等边三角形的性质可求解；（2）由勾股定理求出AC的长，再证明A，B，B′三点共线，则可得出答案．（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm，ADBC，∴∠DAC＝∠ACB，∵将纸片沿对角线AC对折，∴∠ACB＝∠ACE，∴∠DAC＝∠ACE，∴AE＝EC，∵△DEC是等边三角形，∴DE＝EC＝CD＝3cm，∴AE＝3cm，∴AD＝6cm；（2）∵△DEC是等边三角形，∴∠D＝∠ECD=∠DEC=60°，∵四边形是平行四边形，,∵将纸片沿对角线AC对折，,,,,三点共线，∵将纸片沿对角线AC对折，∴∠BAC＝90°，∵∠B＝∠D＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝6cm，∴AC＝（cm），由（1）可知AE＝CE＝3cm，∴△AEC的周长为AE＋CE＋AC＝3＋3＋3＝．【点拨】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，证明AE＝EC是解题的关键．【变式2】已知，如图1，在中，，将沿翻折至，连接．求证：；若点在直线下方，如图2，，，求的长；在翻折过程中，若为直角三角形，求的值．【答案】(1)证明见分析 (2) (3)的值为或或或【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，再根据折叠的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论；（2）首先设与的交点为，根据平行四边形的性质，得出，，再根据折叠的性质，得出，，，根据等量代换，得出，，再根据，可得，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等角对等边，得出，再根据三角形的内角和为，得出，然后再根据直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据直角三角形的勾股定理，得出，再根据线段的关系，得出，再利用等量代换，得出，进而算出，然后再利用，即可得出结果；（3）根据题意，分四种情况，利用直角三角形的性质，分别进行讨论，即可得出结果．（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，又∵沿翻折至，∴，∴．（2）解：如图，设与的交点为，∵四边形是平行四边形，∴，，∵沿翻折至，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，又∵，∵，∴，解得：，∴．（3）解：如图，当时，∵，∴，由（2）可知，，∴，∴，∴，∴．如图，当时，同理可得：．如图，当，点在的上方时，过点作，交于，∵四边形是平行四边形，，∴，∴，∵沿翻折至，∴，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．如图，当，点在的下方时，同理可得：．综上可得：的值为或或或．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等量代换，全等三角形性质与判定，直角三角形的性质，解本题的关键在熟练掌握相关性质和找出所有符合条件的情况．类型五、平行四边形性质➽➼最值问题➽➼证明✬✬求最小（大）值✬✬其他6．如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是，，，．将这个平行四边形向左平移4个单位长度，向上平移3个单位长度，得到平行四边形，点A，B，C，O的对应点分别是点，，，．画出平移后的平行四边形，并写出，的坐标；直接写出平行四边形的面积；若点N是x轴上的一个动点，直接写出线段的最小值：，数学依据是：．【答案】(1)见分析，， (2)6 (3)3；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案；（2）利用平行四边形的面积公式计算即可；（3）根据直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短，可知当轴时，线段取最小值，即可得出答案．（1）解：如图，平行四边形即为所求．点，．（2）解：平行四边形的面积为．故答案为：6；（3）解：∵点，点N在x轴上，∴当轴时，线段取最小值，最小值为3，数学依据为：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短．故答案为：3；直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短．【点拨】本题考查了作图﹣平移变换、平行四边形的面积公式、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．举一反三：【变式1】如图1，在ABCD中，∠B＝45°，过点C作CE⊥AD于点E，连接AC，过点D作DF⊥AC于点F，交CE于点G，连接EF．若DG＝8，求对角线AC的长；求证：AF＋FG＝EF；如图2，点P是直线AB上一动点，过点A作AM⊥BC于点M，取线段AB的中点N，作点B关于直线PM的对称点，连接，若AB＝10，请直接写出当取得最大值时PB的长．【答案】(1)8 (2)见分析 (3)【分析】（1）证明△DEG≌△CEA，可得结论；（2）过E作EH⊥EF于点E，交DF于点H，证明△DEH≌△CEF，可得EF＝EH，DH＝CF，进而AF＝HG，在△EFH中FH＝FG＋GH＝EF，即可得结论；（3）如图，连接、MN，由题意,推出在NM的延长线上时，的值最大，即可求出BP的长．解：(1)∵在ABCD中，∠B＝45°，∴∠ADC＝∠B＝45°，∵CE⊥AD，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝DE，∠DEC＝∠AEC＝90°，∵DF⊥AC，∴∠CFD＝∠DEC＝90°，又∵∠DGE＝∠CGF，∴∠EDG＝∠ECA，∴△DEG≌△CEA（ASA），∴AC＝DG＝8；(2)如图，过E作EH⊥EF于点E，交DF于点H，∵∠FEH＝∠DEC＝90°，∴∠FEH-∠GEH=∠DEC-∠GEH,∴∠DEH＝∠CEF，∵∠EDH＝∠ECF，DE＝CE，∴△DEH≌△CEF（ASA），∴EF＝EH，DH＝CF，∴AC﹣CF＝DG﹣DH，即AF＝HG，∵FH＝FG＋GH＝EF，∴AF＋FG＝EF．(3)如图2，连接、MN，∵AB=10，∠AMB=90°，AN=BN，∴AM=BM=，,∵B与关于PM对称，∴，∴，∴当在NM的延长线上时，的值最大，如图3，∵∠BMN=45°，∴，∴，∴∠AMP=1