九年级上册一元二次方程根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系蔡店中学九年级上册教学目标：1、理解根系关系的推导过程；2、掌握不解方程，应用根系关系解题的方法；3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路教学重点：应用根系关系解决问题；教学难点：根系关系的推导过程教学流程：引入新知，推导新知，巩固新知，应用新知，1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？

已知：如果一元二次方程ax2+bx+c=0

的两个根分别是x1、x2。求证：证明：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别是x1,x2.那么：

这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。x1,x2是方程的根ax2+bx+c=0则有ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,ax12=-bx1-c,ax22=-bx2-c一元二次方程的

根与系数的关系

16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。

1.3.2.4.5.口答下列方程的两根之和与两根之积。x1+x2=2,x1x2=-15x1+x2=6,x1x2=4练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回(1)解：x1+x2=3,x1x2=1例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程

2x2+3x-1=0

两个根的；（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值

例3,已知方程5x2+kx-6=0

的一个

根是2

,求它的另一个根及k的值.方法一解：设方程的另一根是x1,

由根与系数的关系知答：它的另一个根及k的值分别为

例3,已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,

求它的另一个根及k的值.方法二解：把x=2代入5x2+kx-6=0

中得

5×

22+2k-6=0k=-7把k=-7代入5x2+kx-6=0

中得5x2-7x-6=0

答：它的另一个根及k的值分别为1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____。2、设X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则X1+X2=

___,X1X2=____，X12+X22=(X1+X2)2-___=

___(X1-X2)2

=(___)2-4X1X2=___

3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2－X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是

_____。X1+X22X1X2-3411412×2和-1基础练习练习：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2（2）x13x2＋x1x23

解：原方程变形为,x2-4x-2=0由根与系数的关系知，x1+x2=4,x1x2=-2（1）（x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42-4(-2)=24（2）x13x2+x1x23=x1x2(x12+x22）=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=(-2)[(4)2-2×（-2）]=-40B2.已知锐角三角形的边长是2,3，x,那么第三边x的取值范围是（）B练一练3已知实数a,b（其中a>0)B若a=b时，能力提升∴4x2-4x+1=20094x2=4x+2008或4x2-4x=20084x3=4x2+2008x∴4x3-2012x-2010=4x2+2008x-2012x-2010=4x2-4x-2010=2008-2010=-2（4x3-2012x-2010）2012=（-2）2012=22012A.22012,B.2-2012,C.1,D-12已知a,b是一元二次方程x2+x-3=0的两实数根.（2008）解：由根与系数的关系知；a+b=-1,ab=-3

a2+a-3=0,b2+b-3=0则a2=-a+3

因为a2+a-3=0,所以a2=-a+3，则a3=-a2+3a=-(-a+3)+3a=4a-3因为b2+b-3=0,所以b2=-b+3，则-4b2=-4(b)2=-4(-b+3)=4b-12a3-4b2+19=(4a-3)+(4b-12)+19=4a-3+4b-12+19=4(a+b)+4=4（-1）+4=03已知x2-x-1=0,（1）求x的值,解：（1）a=1,b=-1,c=-1

△=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5（2）由x2-x-1=0知x2=x+14.已知三个x关于的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共根，则解:设公共根为x0,则ax02+bx0+c=0,bx02+cx0+a=0,cx02+ax0+b=0.三个相加得（a+b+c)x02+(a+b+c)x0+(a+b+c)=0提取公因式得（a+b+c)(x02+x0+1)=0∵x0为实数时，x02+x0+1总不为0∴a+b+c=0∴(a+b)=-c(a+b)3=-c3a3+3ab(a+b)+b3=-c3a3+b3=-c3-3ab(a+b)=-c3+3abc引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0

;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0无实根,甲看错了二次项系数得到方程的解是2和4，乙看错了某项系数的符号得到方程的解是-1和4，求

∵若方程的ax2+bx+c=0的解是-1和4，又乙看错了某项系数的符号，且ax2+bx+c=0无实根则c=4a

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.

2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.

3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当

时，才能应用根与系数的关系.

1.一元二次方程根与系数的关系是什么?总结归纳作业：1方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？2.已知两根求作新的方程以2,3,