数学分析第二十一章重积分第二次课

数学分析第二十一章重积分第二次课第一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三定义1的函数,J是一个确定的数，在Ω上可积,在Ω上的三重积分,记作积分和积分域被积函数积分表达式体积元素是定义在三维空间可求体积的有界闭区域Ω上第二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三三重积分的可积性条件和性质与二重积分相似。性质:例如，3)中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,第三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三二、利用直角坐标系计算三重积分第四页，共六十七页，编辑于2023年，星期三方法1.截面法(“先二后一”)

方法2.投影法(“先一后二”)方法3.三次积分法先假设连续函数并将它看作某物体通过计算该物体的质量引出下列各计算可用于一般可积函数的积分计算.的密度函数,方法:三种计算方法第五页，共六十七页，编辑于2023年，星期三方法1.截面法(“先二后一”)第六页，共六十七页，编辑于2023年，星期三因此为底,dz为高的柱形薄片质量为该物体的质量为面密度≈记作第七页，共六十七页，编辑于2023年，星期三方法2.投影法(“先一后二”

)如图，注意第八页，共六十七页，编辑于2023年，星期三因此该物体的质量为细长柱体微元的质量为微元线密度≈记作第九页，共六十七页，编辑于2023年，星期三方法3.三次积分法设区域利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得:第十页，共六十七页，编辑于2023年，星期三方法1.截面法“先二后一”方法2.投影法

“先一后二”方法3.“三次积分”第十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三第十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三第十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三解第十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期三解如图，第十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期三

将用三次积分表示,其中由所提示:练习1六个平面围成,第十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期三第十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期三其中V为三个坐标计算三重积分所围成的闭区域.解:面及平面练习2第十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例6.

计算三重积分解:

用“先二后一”第十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期三练习3作业：P251,1(1)(3),2(1).第二十页，共六十七页，编辑于2023年，星期三三、三重积分换元法第二十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三1.利用柱坐标计算三重积分

就称为点M

的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面第二十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三第二十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三其中为由练习4.计算三重积分所围成解:

在柱面坐标系下及平面柱面半圆柱体.第二十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期三2.利用球坐标计算三重积分

直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面锥面半平面第二十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期三第二十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例8.计算三重积分解:

在球面坐标系下所围立体.其中与球面第二十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例9.解.第二十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例10.计算三重积分解.第二十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期三练习5.

设由锥面和球面所围成,计算提示:利用对称性用球坐标第三十页，共六十七页，编辑于2023年，星期三内容小结三重积分也有类似二重积分的换元积分公式.被积函数形式简洁.坐标系体积元素适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系投影,切片,三次积分.积分区域多由坐标面围成;作业：P251,3,4(1),7(1).第三十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三§6重积分的应用一、立体体积二、曲面的面积三、物体的质心四、物体的转动惯量五、物体的引力第三十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三1.问题的特点:所求量是

对区域具有可加性分布在有界闭域上的整体量2.解决问题的方法:用微元法(元素法)，化为重积分

3.解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便

第三十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三一、立体体积

曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为

占有空间有界域

的立体的体积为第三十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例1.求半径为a

的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为第三十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期三二、曲面的面积第三十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期三故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为则有第三十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例2.计算双曲抛物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影为则出的面积S.练习.计算半径为a的球的表面积.第三十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期三三、物体的质心设物体占有空间域,有连续密度函数则采用“分割,近似代替,求和,取极限”可导出其质心公式。将分成

n

小块,在第k块上任取一点例如,令各小区域的最大直径即得此质点系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.第三十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期三同理则得形心坐标：第四十页，共六十七页，编辑于2023年，星期三若物体为占有xoy面上区域D的平面薄片,其面密度(A

为D

的面积)得D

的形心坐标:则它的质心坐标为—对x

轴的

静矩—对y

轴的

静矩第四十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例3.求位于两圆和的质心.

解:

利用对称性可知而之间均匀薄片练习.计算密度均匀的上半椭球体的重心.(教材Ｐ256例3)第四十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三四、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元因此物体对z轴的转动惯量:对z轴的转动惯量为因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故连续体的转动惯量可用积分计算.第四十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三类似可得:对x

轴的转动惯量对y

轴的转动惯量对原点的转动惯量第四十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期三如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.第四十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例4.求半径为a的均匀半圆薄片对其直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.第四十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期三解:

取球心为原点,z轴为l

轴,则球体的质量例5.求均匀球体对于过球心的一条轴

l

的转动惯量.设球所占域为(用球坐标)第四十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期三

G

为引力常数五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于，利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为原点的单位质量质点的引力第四十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期三对xoy面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为第四十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例6.设面密度为μ,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。作业：P259,1,3(1),5(1),6(1)*.第五十页，共六十七页，编辑于2023年，星期三例7*.求半径R的均匀球对位于的单位质量质点的引力.解:

利用对称性知引力分量点第五十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三“第21章重积分”的习题课（2）一、内容要求1、了解二重积分的概念和性质2、掌握利用直角坐标系、极坐标系计算二重积分的方法，会利用坐标变换计算二重积分3、掌握格林公式及应用，会曲线积分与路线无关的条件及应用4、了解三重积分的概念和性质5、掌握利用直角坐标系、柱面坐标系和球坐标系计算三重积分的方法，会利用坐标变换计算三重积分6、会重积分在几何、物理上的简单应用第五十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三二、练习１.把积分化为三次积分,其中由曲面答:积分域为及平面所围成的闭区域.原式第五十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三２.试计算椭球体的体积V.利用“先二后一”计算.解法1解法2利用三重积分换元法.令则注意：只计算上半椭球体体积呢？第五十四页，共六十七页，编辑于2023年，星期三计算积分其中是两个球(R>0)的公共部分.解:可以用柱坐标。但由于被积函数缺x,y,利用“先二后一”计算方便.原式=３.P2513(1).

第五十五页，共六十七页，编辑于2023年，星期三４.计算三重积分解:

在柱面坐标系下所围成.与平面其中由抛物面原式=另：原式第五十六页，共六十七页，编辑于2023年，星期三5.计算其中解:利用对称性第五十七页，共六十七页，编辑于2023年，星期三6.计算三重积分其中是由

xoy平面上曲线x=5所围成的闭区域.解:

利用柱坐标原式绕x

轴旋转而成的曲面与平面第五十八页，共六十七页，编辑于2023年，星期三7.求曲面所围立体体积.解:

由曲面方程可知,立体位于xoy面上部,利用对称性,所求立体体积为yoz面对称,并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为且关于

xoz

第五十九页，共六十七页，编辑于2023年，星期三8.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个的另一边长度应为多少?提示:

建立坐标系如图.由对称性知由此解得问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上,第六十页，共六十七页，编辑于2023年，星期三(t

为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm

的雪堆全部融化需要多少小时?(2001考研)提高题1第六十一页，共六十七页，编辑于2023年，星期三提示:记雪堆体积为V,侧面积为S,则(用极坐标)第六十二页，共六十七页，编辑于2023年，星期三由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.第六十三页，共六十七页，编辑于2023年，星期三提高题2.解:在球坐标系下利用洛必达法则与