振动与冲击理论基础

振动与冲击理论基础第一页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1概述商品破损的原因:（1）冲击——冲击过程的时间历程不能用数学式描述；冲击幅值是多峰状态，包装的响应是随机分布的；冲击波的形状比较复杂，难以用简单的函数表达；没有明确的冲击作用时间，很难用脉宽来定量时间；

(2)振动

——某个物理量的值在观测时间内不断地经过极大值和极小值地变化，这种状态的改变称为振动。

机械振动——物体在平衡位置附近所做的周期性往复运动，称为机械振动。（包装动力学研究的重点）（3）气候条件（温湿度、风雨、盐雾等）（4）其他因素（如有害气体、热源、放射源、气味源和日光照射等）脆值第二页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.1机械振动组成：

振动系统（单摆），振源（给一初始位移），响应振动问题：已知振源、系统特性，求响应环境预测：已知系统特性、响应，求输入系统识别：已知输入、响应，求系统特性车床+混凝土机座弹性垫振动系统激励响应第三页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.1实际包装系统——简化第四页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.2力学模型简化力学模型的原则：（1）要正确反映包装系统的特性；（2）在正确反映包装系统的特性的前提下尽可能简化模型。考虑的具体问题：（1）包装产品是均质刚体，还是由多个部件组成？产品的摆放方式？（2）是否考虑外包装箱的质量和弹性？（3）是否考虑缓冲材料的质量？（4）是否考虑缓冲材料的粘性？第五页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.2力学模型——单自由度系统假设：被包装产品为均质刚体，略去外包装箱的质量和弹性，不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m：产品质量k：缓冲衬垫材料的弹性系数c：缓冲衬垫材料的粘性阻尼系数第六页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.2力学模型——二自由度系统假设：略去外包装箱的质量和弹性，不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m1,m2：易损件和产品质量；k1，c1：易损件与产品间的弹性系数和粘性阻尼系数；k2，c2：产品主体与外包装箱间的缓冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。第七页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.2力学模型——三自由度系统假设：不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m1,m2：易损件和产品质量；m3：外包装箱的质量（外包装箱很重时）；k1，c1：易损件与产品间的弹性系数和粘性阻尼系数；k2，c2：产品主体与外包装箱间的缓冲材料的弹性系数和粘性阻尼系数。

第八页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.2力学模型——多自由度系统第九页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.2力学模型——多自由度系统假设：产品叠放在同一包装箱中或同一产品有多个关键零部件不计缓冲材料的质量，并视为粘性和阻尼的弹性体。m1,m2…mn：质量；k1，k2…kn：弹性系数；c1，c2…cn：粘性阻尼系数。第十页，共六十二页，编辑于2023年，星期三1.3机械振动的分类（1）按自由度分：单自由度系统，二自由度系统，三自由度系统，多自由度系统，连续介质系统；（2）按系统运动的微分方程分：

线性振动（运动方程为线性微分方程）；非线性振动（运动方程为非线性微分方程）；（3）按系统输入类型分：自由振动：系统只受初干扰或外界激励取消后，系统仅在弹性恢复力的作用下产生振动。强迫振动：系统在外界激励下产生的振动；自激振动：系统在输入和输出之间有反馈特性，并有能量补充而产生的诊断。（4）按系统输出规律分：周期振动随机振动第十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2单自由度线性系统的振动2.1单自由度线性系统的自由振动

自由振动——振体在受到初干扰（初位移或初速度）后，仅在系统恢复力的作用下在平衡位置附近作往复运动称为自由振动。第十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.1.1无阻尼系统的自由振动(a)(b)(c)平衡位置第十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解图（b）W=F=k（2-1）图（c）F=-k()负号表示力的方向根据牛顿第2定律F=ma得振动体的运动微分方程：W-k()=m由（2-1）得m=-k（作用在振动方向的常力只影响振动中心的位置，而不影响振动规律）第十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解设系统的固有特性，固有频率）得（二阶常系数线性齐次微分方程）解：C，D待定系数代入初始条件：

所以,得方程的解第十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（1）无阻尼系统自由振动的微分方程及求解令A振幅：振体偏离振动中心的最大距离相位角，A，由运动的初始条件定。第十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（2）周期、频率和圆频率周期：物体作一次完全振动（来回一次）所需的时间称为振动周期，用T表示，则物体在任一时刻t的运动状态（位置和速度）应该与物体在t+T的运动状态（位置和速度）相同——运动状态具有周期性由于正弦函数的数值每经过2π重复一次，故

频率：周期的倒数称为频率。它表示单位时间内（每秒）物体所作的完全振动的次数，单位为赫兹（Hz）。

圆频率：表示振动体在2π秒内的振动次数。（弧度/秒）第十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（2）周期、频率和圆频率之间的关系说明：周期、频率或固有频率都是由振动系统本身的性质所决定的量；这种由系统本身性质所决定的周期、频率或圆频率往往称为

固有周期、固有频率或固有圆频率。

第十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例：求质量—弹簧系统的周期、频率或圆频率。结论：质量—弹簧系统的周期、频率和圆频率与重力作用下的静变形有关。代入

第十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（3）计算固有频率的能量法

根据能量守恒定理，系统的机械能守恒：T+V=常数T：动能，V：势能具体研究质量—弹簧系统：振动体在任意位置且有速度，则第二十页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（3）计算固有频率的能量法平衡位置：极限位置：在上述系统中：

，即代入

第二十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度串联弹簧

第二十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（4）串联弹簧和并联弹簧的等效刚度并联弹簧：推广到N个并联弹簧：

第二十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.1.2阻尼对自由振动的影响——衰减振动(1)阻尼振动：振幅随时间而减小的振动称为阻尼振动。(2)粘滞阻尼的大小:当振体以不大的速度在流体介质（空气、油类等）中运动时，介质给振体的阻尼的大小与振体速度成正比，即

——粘滞阻尼系数，取决于振体的形状、大小和介质的性质，单位为牛顿•秒/米。

——

振体速度，米/秒。

——

牛顿。

-号表示阻尼的方向与振体速度的方向相反。第二十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（3）单自由度有阻尼系统的受力分析取平衡位置为坐标原点，该系统的运动微分方程为方程的解可设为代入微分方程得

——

该系统的特征方程（二阶常系数线性齐次微分方程）

第二十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期三特征方程的解产生重根的情况在物理上具有特殊意义，将对应的阻尼系数称为临界阻尼系数。设——系统中实际存在的阻尼与该系统临界阻尼系数之比，称为阻尼比。第二十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期三(A)小阻尼系统的自由振动（<1）——弱阻尼系统特征方程有两个虚根：振体运动的微分方程的解为：或式中：A和取决与系统本身的特性和初始条件第二十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期三第二十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期三衰减周期和对数衰减率

衰减周期：无阻尼自由振动的周期较小，对系统周期影响较小。在小阻尼情况下，可忽略不计。设相邻两次的振幅分别为和，则振幅比为：任意两个相邻振幅的比值都是常数，通常用振幅比的自然对数来表示幅值的衰减率——对数衰减率（主要用于由实验方法来确定系统的阻尼）

第二十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期三(B)临界阻尼系统的自由振动（=1）振体运动的微分方程的解为：

—按指数规律衰减的响应，A、B取决于初始条件。(C)大阻尼系统的自由振动（>1）——强阻尼系统特征方程有两个负实根：

振体运动的微分方程的解为两个衰减指数函数的和：取决于初始条件

第三十页，共六十二页，编辑于2023年，星期三第三十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例题1：缓冲衬垫的排列如图所示，其中缓冲衬垫的弹簧刚度为，，，求等效弹簧刚度。解：

第三十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例题2：已知单自由度小阻尼系统在时的第三个振幅比的第二个振幅降低了20%，求此系统的阻尼系数和固有频率。解：（1）求阻尼系数小阻尼系统对数衰减率：（2）求固有频率振动周期，阻尼系统的固有频率为：第三十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.2单自由度系统的受迫振动

受迫振动：振动系统在长时间或瞬间的激励作用下发生的振动。

2.2.1运动微分方程及求解以静平衡位置为坐标原点，坐标向下为正。F（t）简谐扰力（二阶常系统非齐次微分方程）

第三十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.2.1运动微分方程及求解

方程的解为：其中：为对应的齐次方程的通解，设，则

是一个衰减运动，瞬态解，通常不考虑；为特解（稳态解）：为强迫振动的振幅，为相位角。将代入非齐次微分方程中，可得

——强迫振动的振幅和相位角只决定于系统本身的特性和干扰力的性质，与运动的初始条件无关。第三十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期三第三十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期三(1)频率比：

稳态解为：(2)静力偏移

：

—力幅作用下系统的偏移(3)动力放大系数：

表示干扰力对振动系统动力作用的效果，取决于和。第三十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期三(4)曲线（以为参变量）

第三十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期三(4)曲线（以为参变量）A．《1，即（低频段），接近1，接近——缓慢交变的干扰力的动力作用接近其静力的作用。B．》1，即（高频段），接近0，——干扰力交变极其迅速时，振体由于惯性几乎来不及振动。C．对的各条曲线，当增大时，对于确定的和，都有相应的最大值——共振——解决问题！——求出共振时和，——求极值的问题。当值较小（实际中往往如此），认为，即干扰力频率接近于系统的固有频率时发生共振，。当，无共振现象。D.当=0，无阻尼自由振动。从图上可以看出，小阻尼系统和无阻尼系统的响应没有区别。因此，在和时可以按无阻尼系统来计算值。

第三十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例题3：

在如图所示的振动系统中，已知弹簧常数，物块质量，粘滞阻尼系数，干扰力的力幅，干扰力频率，试求振体的受迫振动。第四十页，共六十二页，编辑于2023年，星期三解：分析——求和

——求和（1）求系统的固有频率（注意单位）（2）求频率比（3）求阻尼比（4）求和第四十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.2.2支座激励与隔振强迫振动——外界的激励力，位移干扰。（1）系统运动微分方程及求解运动微分方程为

将

方程的稳态解为：第四十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（2）传递率

:（振体振幅与支座振动的振幅的比值）（3）曲线（为参变量）第四十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期三A．《1，《1，，隔振体的固有频率远大于激励频率时，≈1，没有隔振效果。B．区域内，，振体振幅会被放大，当，发生共振。——放大区。运输包装工具在起制动过程中可能会经过放大区，因此隔振体（缓冲结构）应有适当的阻尼。C．，，有隔振效果，称为隔振区。在实际应用中取。（4）传递率曲线分析第四十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例4：

包装件内装产品在静平衡时压缩缓冲衬垫引起的静变形为5.08cm，如果此包装放在运输车上，支座扰频为，支座扰力幅值，求产品最大位移和最大加速度。

解：分析，求在本题中不考虑阻尼，故第四十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（1）求系统固有频率

（注意单位）（2）求传递率（3）求

第四十六页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.2.3任意周期激励力引起的强迫振动（1）非简谐周期激振力引起的受迫振动系统的运动微分方程为

应用谐波分析法，可将按富里埃级数展开成一系列不同频率的简谐激振力，即

为常力，取静平衡位置为坐标原点，方程中不出现该项。当系统阻尼较小时，可忽略不计，，方程的解为：

为第j阶谐波响应的相位差

为第j阶频率比

第四十七页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（2）非简谐的周期性支承运动引起的受迫振动

单自由度系统在支承运动作用下的稳态响应为：

根据叠加原理，得非简谐周期性支承运动作用下系统的稳态响应：若忽略阻尼=0，则，方程的解可简化为：

第四十八页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.2.4任意激励力引起的强迫振动系统的运动微分方程为：

——任意激励力，非周期，无法直接求解解决方法：任意激励力——分解成无数多个脉冲宽度（脉冲作用时间）为无限小的脉冲，在的间隔内，系统质量受到一个微冲量的作用——阴影面积表示——求出单独脉冲作用下系统的响应——叠加——系统的总响应。它包括了任意激励力作用下的瞬态振动和激励停止后的自由振动。若忽略阻尼，则=0，，方程的解可简化为：

Duhamel积分法第四十九页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例5：试求有阻尼单自由度系统对图2-15（a）所示的阶跃函数激励的响应。

解：单位阶跃函数可表示为：阶跃函数可表示为,系统运动微分方程为：利用Duhamel积分法，在t>0,,则响应为：对无阻尼系统，=0，，系统响应为：当时，响应达到最大，即，为静变形的2倍，其响应曲线见图（b）.第五十页，共六十二页，编辑于2023年，星期三例6：求半周期正弦脉冲激励对单自由度无阻尼系统的响应。第五十一页，共六十二页，编辑于2023年，星期三解：时间间隔为的半周期正弦脉冲波形如图a所示，可表示成：式中：

利用Duhamel积分法，半周期正弦脉冲在的响应为：

当，激振力为0，响应只取决于时的状态，有：当的值不同时，响应曲线不同，（c）半周期正弦脉冲的冲击响应谱。

第五十二页，共六十二页，编辑于2023年，星期三2.3多自由度线性系统的振动

2.3.1两自由度线性系统的振动第五十三页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（1）系统的运动微分方程整理得：

耦合方程

引入矩阵和向量：矩阵方程第五十四页，共六十二页，编辑于2023年，星期三（2）无阻尼系统的自由振动方程的解为：

为任意常数（由初始条件确定）为在频率时的振幅。

基波：较低的频率项为基波；如果，为基波。谐波：其他的项称为谐波。其中为常数第五十五页，共六十二页，编辑于2023年，星期三主振型：系统按给定的一个固有频率作自由振动为主振动，系统作主振动的任何瞬间的各点位移之间所具有的一定比值，即整个系统具有确定的振动形态，成为