2022高二数学上册期末考试试卷及答案

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试卷分第Ⅰ卷（挑选题）和第Ⅱ卷（非挑选题）两部分。共150分.考试时光120分钟.

第Ⅰ卷（挑选题共60分）

一、挑选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则(C)

A．?p：?x∈R，sinx≥1

B．?p：?x∈R，sinx≥1

C．?p：?x∈R，sinx>1

D．?p：?x∈R，sinx>1

2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于(B)．

A．160

B．180

C．200

D．220

3．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分离为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值

等于(C)．

A．5

B．13

C．13

D．37

4．若双曲线x2a2－y2

b

2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(D)

A.

73B.54C.43D.53

5．在△ABC中，能使sinA＞

3

2

成立的充分不须要条件是(C)A．A∈?????

0，π3B．A∈?????π3，2π3C．A∈?????π3，π2D．A∈?????π2，5π6

6．△ABC中，假如

Aatan＝

Bbtan＝C

c

tan，那么△ABC是(B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形

7.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当

BF⊥PE时，AF∶FD的值为(B)

A．1∶2

B．1∶1

C．3∶1

D．2∶1

8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(A)

A.

55B.5

3

C.255

D.35

9．当x＞1时，不等式x＋

1

1

-x≥a恒成立，则实数a的取值范围是(D)．A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]

10．若不等式组??

?

??4≤34≥

30≥

yxyxx＋＋，所表示的平面区域被直线y＝kx＋34分为面积相等的两部分，则k的值是(A)．

A．

73B．37C．43D．34

11．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是(A)

A．a≤－4

B．a≥－4

C．a≥－

12

D．a≤－12

12．定义域为R的偶函数f(x)满足：对?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2(x－3)2，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围为(B)

A.?????0，22

B.?????0，33

C.?????0，55

D.?????0，66

解析因为定义为R的偶函数f(x)满足：对?x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T＝2，图象以x＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，

∵y＝loga(x＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有loga(2＋1)>f(2)＝－2且01，解得a∈?

????

，33。

第Ⅱ卷（挑选题共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置

13．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________。x2＝－4y14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b相互垂直，则k的值是______

7

5

__。15．过椭圆

2

2

1164

xy+=内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线的斜率等于________－1

2

16．已知函数

f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝

1

fn＋1＋fn

，n∈N*。记数列{an}

的前n项和为Sn，则S2016＝________。2017－1

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证实过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.

17．(12分)已知a，b，c分离是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC。

(1)若a＝b，求cosB；

(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积。

解(1)由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac，

∵a＝b，∴a＝2c。由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b2

2ac＝a2

＋14a2

－a22a×12

a

＝1

4

。

(2)由(1)得b2＝2ac。∵B＝90°，a＝2，∴a2＋c2＝2ac，∴a＝c＝2，∴S△ABC＝1

2ac

＝1。

18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2

＜0，其中a≠0，q：实数x满足?????

x2－x－6≤0，x2

＋2x－8＞0。

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的须要不充分条件，求实数a的取值范围。

解(1)由x2－4ax＋3a2＜0，得：(x－3a)(x－a)＜0，当a＝1时，解得1＜x＜3，

即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3。

由?????

x2－x－6≤0，x2

＋2x－8＞0。

解得：2＜x≤3，

即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3。

若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3。(2)p是q的须要不充分条件，即q推出p，且p推不出q，

设集合A＝{x|p(x)}；集合B＝{x|q(x)}，则集合B是集合A的真子集，又B＝(2,3]，

当a＞0时，A＝(a,3a)；a＜0时，A＝(3a，a)。所以当a＞0时，有?

??

??

a≤2，

3＜3a，解得1＜a≤2，

当a＜0时，明显A∩B＝?，不合题意，

19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切。

(1)求动圆圆心P的轨迹M的方程；

(2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|。

解(1)设动圆圆心P(x，y)。

由于动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切，

所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等，

故点P的轨迹是一条抛物线，其焦点为F，准线为x＝－2，设轨迹方程为y2＝2px(p＞0)，则p

2

＝2，

所以轨迹M的方程为y2＝8x。

(2)轨迹M的焦点(2,0)，直线l的斜率k＝tan135°＝－1，于是其方程为y＝－(x－2)。

由?

????

y＝－x－2，

y2

＝8x，消去y得x2

－12x＋4＝0。

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，于是|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。

20．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是直角三角形，且PA＝AB＝

AC。又平面QBC垂直于底面ABC。

(1)求证：PA∥平面QBC；

(2)若PQ⊥平面QBC，求锐二面角Q－PB－A的余弦值。解(1)证实：过点Q作QD⊥BC交BC于点D，由于平面QBC⊥平面ABC。所以QD⊥平面ABC。又PA⊥平面ABC，所以QD∥PA。

而QD?平面QBC，PA?平面QBC，所以PA∥平面QBC。(2)由于PQ⊥平面QBC，所以∠PQB＝∠PQC＝90°。

又PB＝PC，PQ＝PQ，所以△PQB≌△PQC，所以BQ＝CQ。

所以点D是BC的中点，衔接AD，则AD⊥BC，因此AD⊥平面QBC，故四边形PADQ是矩

形。

分离以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设PA＝2a，则Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。设平面QPB的法向量为n＝(x，y，z)，由于PQ→＝(a，a,0)，PB→＝(0,2a，－2a)，所以??

?

ax＋ay＝0，2ay－2az＝0，

取n＝(1，－1，－1)。

又平面PAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，设锐二面角Q－PB－A的大小为θ，

则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n|m||n|＝3

3，

即锐二面角Q－PB－A的余弦值等于

33

。21．(本小题满分12分)若{}na的前n项和为nS，点),(nSn均在函数y＝xx2

1

232-的图像上。

（Ⅰ）求数列{}na的通项公式;na=3n-2（Ⅱ）1

3

+=

nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，(1)点),(nSn均在函数y＝xx2

1

232-的图像上,

∴nS=nn21

232-,

故=-1nS)1(2

1

)1(232nn)2(≥n,…

从而当2≥n

nS-1-nS=3n-2,即na=3n-2,

又当n=1时,11

1

==Sa,满足上式

∴na=3n-2

(2)1

3

+=

nnnaab,na=3n-2,∴)13)(23(3+-=

nnbn=1

31

231+-

-nn∴++-+-+-

=...101717141411nT131231+--nn=.1

331311+=+-nn

n

22．(本小题满分12分)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知直线y＝k(x－1)与椭圆C交于A，B两点，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得对随意的k∈R，MA→·MB→为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

解(1)设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，则b2

＝a2

2，由c2＝a2－b2，得c2＝a2